Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ABCD একটি সামান্তরিক।

উত্তর: [চিত্র] এখানে, MNRQ চতুর্ভুজের MN, NR, RQ এবং QM বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A, B, C এবং D। A, B; B, C; C, D এবং D, A যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক। প্রমাণ : মনে করি, [গণিত] , [গণিত] , [গণিত] এবং [গণিত] তাহলে, [গণিত] অনুরূপভাবে, [গণিত] , [গণিত] এবং [গণিত] কিন্তু [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] তাহলে, [গণিত] ও [গণিত] এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। অতএব, ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল। [গণিত] এবং [গণিত] AB = DC [গণিত] AB ও DC রেখাদ্বয় সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, AD ও BC রেখাদ্বয় সমান ও সমান্তরাল। অতএব, ABCD একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ABCD একটি সামান্তরিক।

উদ্দীপক

△PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N এবং MNRQ চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A, B, C ও D।

Mymensingh · 2026

উত্তর

বিপরীত ভেক্টরের ধর্ম অনুযায়ী a‾+(−a‾)=0‾\underline{\mathrm{a}} + (-\underline{\mathrm{a}}) = \underline{0} আবার, (−a‾)+(−(−a‾))=0‾(-\underline{\mathrm{a}}) + (-(-\underline{\mathrm{a}})) = \underline{0} ∴ (−a‾)+(−(−a‾))=a‾+(−a‾)\therefore\ (-\underline{\mathrm{a}}) + (-(-\underline{\mathrm{a}})) = \underline{\mathrm{a}} + (-\underline{\mathrm{a}}) ∴ −(−a‾)=a‾\therefore\ -(-\underline{\mathrm{a}}) = \underline{\mathrm{a}}। [ভেক্টর যোগের বর্জন বিধি] (দেখানো হলো)

উত্তর

△PQR\triangle \mathrm{PQR} এ PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। M, N যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, MN=12QR\mathrm{MN} = \dfrac{1}{2}\mathrm{QR}। question image প্রমাণ : ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, MN→=PN→−PM→\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \overrightarrow{\mathrm{PN}} - \overrightarrow{\mathrm{PM}} …...(1)\ldots...(1) এবং QR→=PR→−PQ→\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \overrightarrow{\mathrm{PR}} - \overrightarrow{\mathrm{PQ}} …...(2)\ldots...(2) কিন্তু PR→=2PN→\overrightarrow{\mathrm{PR}} = 2\overrightarrow{\mathrm{PN}} এবং PQ→=2PM→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = 2\overrightarrow{\mathrm{PM}} [∵\because PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N] MN→=PN→−PM→\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \overrightarrow{\mathrm{PN}} - \overrightarrow{\mathrm{PM}} হতে পাই, MN→=12PR→−12PQ→=12(PR→−PQ→)\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{PR}} - \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right) ∴ MN→=12QR→\therefore\ \overrightarrow{\mathrm{MN}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}} এখন, ∣MN→∣=12∣QR→∣|\overrightarrow{\mathrm{MN}}| = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| ∴ MN=12QR\therefore\ \mathrm{MN} = \dfrac{1}{2}\mathrm{QR}। (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, MNRQ চতুর্ভুজের MN, NR, RQ এবং QM বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A, B, C এবং D। A, B; B, C; C, D এবং D, A যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক। প্রমাণ : মনে করি, MN→=m‾\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \underline{\mathrm{m}}, NR→=n‾\overrightarrow{\mathrm{NR}} = \underline{\mathrm{n}}, RQ→=r‾\overrightarrow{\mathrm{RQ}} = \underline{\mathrm{r}} এবং QM→=q‾\overrightarrow{\mathrm{QM}} = \underline{\mathrm{q}} তাহলে, AB→=AN→+NB→=12MN→+12NR→=12(MN→+NR→)=12(m‾+n‾)\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{AN}} + \overrightarrow{\mathrm{NB}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MN}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{NR}} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{MN}} + \overrightarrow{\mathrm{NR}}) = \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{m}} + \underline{\mathrm{n}}) অনুরূপভাবে, BC→=12(n‾+r‾)\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{n}} + \underline{\mathrm{r}}), CD→=12(r‾+q‾)\overrightarrow{\mathrm{CD}} = \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}} + \underline{\mathrm{q}}) এবং DA→=12(q‾+m‾)\overrightarrow{\mathrm{DA}} = \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{q}} + \underline{\mathrm{m}}) কিন্তু (m‾+n‾)+(r‾+q‾)=MR→+RM→=MR→−MR→=0‾(\underline{\mathrm{m}} + \underline{\mathrm{n}}) + (\underline{\mathrm{r}} + \underline{\mathrm{q}}) = \overrightarrow{\mathrm{MR}} + \overrightarrow{\mathrm{RM}} = \overrightarrow{\mathrm{MR}} - \overrightarrow{\mathrm{MR}} = \underline{0} অর্থাৎ, m‾+n‾=−(r‾+q‾)\underline{\mathrm{m}} + \underline{\mathrm{n}} = -(\underline{\mathrm{r}} + \underline{\mathrm{q}}) ∴ AB→=12(m‾+n‾)=−12(r‾+q‾)=−CD→=DC→\therefore\ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{m}} + \underline{\mathrm{n}}) = -\dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}} + \underline{\mathrm{q}}) = -\overrightarrow{\mathrm{CD}} = \overrightarrow{\mathrm{DC}} তাহলে, AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও DC→\overrightarrow{\mathrm{DC}} এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। অতএব, ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴ AB→∥DC→\therefore\ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{DC}} এবং ∣AB→∣=∣DC→∣|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = |\overrightarrow{\mathrm{DC}}| ∴\therefore AB = DC ∴\therefore AB ও DC রেখাদ্বয় সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, AD ও BC রেখাদ্বয় সমান ও সমান্তরাল। অতএব, ABCD একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন