Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, 4AD² = 3AB²

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, ∆ABC সমবাহু অর্থাৎ AB = BC = CA এবং AD ⊥ BC প্রমাণ করতে হবে যে, 4AD² = 3AB² প্রমাণ: ধাপ (১) AD ⊥ BC [দেওয়া আছে] ∠ADB = ∠ADC = 90°. (২) এখন, সমকোণী ∆ABD এবং সমকোণী ∆ACD-এ অতিভুজ AB = অতিভুজ AC [∵ ABC সমবাহু ত্রিভুজ] এবং AD = AD [∵ সাধারণ বাহু] ∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [∵ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অতিভুজ এবং অপর একটি বাহু সমান] সুতরাং, BD = CD ∴ BC = 2BD (৩) আবার, সমকোণী ∆ABD-এ ∠ADB = 90° এবং অতিভুজ = AB. (৪) পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, AB² = AD² + BD² বা, AD² = AB² - BD² বা, 4AD² = 4AB² - 4BD² [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে।] বা, 4AD² = 4AB² – (2BD)² বা, 4AD² = 4AB² – BC² [∵ BC = 2BD] বা, 4AD² = 4AB² - AB² [∵ AB = BC] ∴ 4AD² = 3AB². (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus) · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, 4AD² = 3AB²

উদ্দীপক

সমকোণী ∆PQR এর ∠Q = এক সমকোণ এবং ∆АВС সমবাহু যার AD ⊥ BC.

Dinajpur · 2017

উত্তর

question image ∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। যার AD⊥BC। প্রমাণ করতে হবে যে, BD = CD প্রমাণ: ধাপ যথার্থতা (১) AD ⊥ BC হওয়ায় ∠ADB = ∠ADC = 1 সমকোণ (২) এখন ∆ABD ও ∆ADC সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ AB = অতিভুজ AC [সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহু সমান] AD সাধারণ বাহু সুতরাং, ∆ABD ≅ ∆ADC ∴ BD = CD (প্রমাণিত)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCA B C সমকোণী ত্রিভুজের ∠ACB\angle A C B সমকোণ এবং ABA B অতিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2=BC2+AC2A B^2=B C^2+A C^2 । অঙ্কন: AB,ACA B, A C এবং BCB C বাহুর উপর যথাক্রমে ABED,ACGFA B E D, A C G F এবং BCHKB C H K বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করি। CC বিন্দু দিয়ে ADA D বা BEB E রেখার সমান্তরাল CLC L রেখা আঁকি। মনে করি, তা ABA B কে MM বিন্দুতে এবং DED E কে LL বিন্দুতে ছেদ করে। CC ও DD এবং BB ও FF যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ ১. △CAD\triangle C A D ও △BAF\triangle B A F তে CA=AF,AD=ABC A=A F, A D=A B এবং অন্তর্ভুক্ত ∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAF=\angle C A D=\angle C A B+\angle B A D=\angle C A B+\angle C A F= অন্তর্ভুক্ত ∠BAF\angle B A F [∠BAD=∠CAF=1[\angle B A D=\angle C A F=1 সমকোণ] অতএব, △CAD≅△BAF\triangle C A D \cong \triangle B A F ধাপ ২. △CAD\triangle C A D এবং আয়তক্ষেত্র ADLMA D L M একই ভূমি ADA D এর উপর এবং ADA D ও CLC L সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং আয়তক্ষেত্র ADLM=2△CADA D L M=2 \triangle C A D ধাপ ৩. △BAF\triangle B A F এবং বর্গক্ষেত্র ACGFA C G F একই ভূমি AFA F এর উপর এবং AFA F ও BGB G সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং বর্গক্ষেত্র ACGF=2△FAB=2△CADA C G F=2 \triangle F A B=2 \triangle C A D। ধাপ ৪. আয়তক্ষেত্র ADLM=A D L M= বর্গক্ষেত্র ACGFA C G F ধাপ ৫. অনুরূপভাবে C,EC, E ও A,KA, K যোগ করে প্রমাণ করা যায় যে, আয়তক্ষেত্র BELM=B E L M= বর্গক্ষেত্র BCHKB C H K ধাপ ৬. আয়তক্ষেত্র (ADLM+BELM)=(A D L M+B E L M)= বর্গক্ষেত্র ACGF+A C G F+ বর্গক্ষেত্র BCHKB C H K বা, বর্গক্ষেত্র ABED=A B E D= বর্গক্ষেত্র ACGF+A C G F+ বর্গক্ষেত্র BCHKB C H K অর্থাৎ, AB2=BC2+AC2A B^2=B C^2+A C^2 (প্রমাণিত) বি.দ্র.: সৃজনশীল অনুরূপ।

উত্তর

question image দেওয়া আছে, ∆ABC সমবাহু অর্থাৎ AB = BC = CA এবং AD ⊥ BC প্রমাণ করতে হবে যে, 4AD² = 3AB² প্রমাণ: ধাপ (১) AD ⊥ BC [দেওয়া আছে] ∠ADB = ∠ADC = 90°. (২) এখন, সমকোণী ∆ABD এবং সমকোণী ∆ACD-এ অতিভুজ AB = অতিভুজ AC [∵ ABC সমবাহু ত্রিভুজ] এবং AD = AD [∵ সাধারণ বাহু] ∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [∵ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অতিভুজ এবং অপর একটি বাহু সমান] সুতরাং, BD = CD ∴ BC = 2BD (৩) আবার, সমকোণী ∆ABD-এ ∠ADB = 90° এবং অতিভুজ = AB. (৪) পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, AB² = AD² + BD² বা, AD² = AB² - BD² বা, 4AD² = 4AB² - 4BD² [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে।] বা, 4AD² = 4AB² – (2BD)² বা, 4AD² = 4AB² – BC² [∵ BC = 2BD] বা, 4AD² = 4AB² - AB² [∵ AB = BC] ∴ 4AD² = 3AB². (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.যদি A={3,5,6}A=\{3,5,6\} এবং B={x∈Z:−1<x<5}B=\{x \in \mathbb{Z}:-1<x<5\} হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।

যদি A={3,5,6}A=\{3,5,6\} এবং B={x∈Z:−1<x<5}B=\{x \in \mathbb{Z}:-1<x<5\} হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দুইটি সদৃশকোণী ∆ABC ও ∆DEF এর BC এবং EF এর উপর যথাক্রমে AG ও DH লম্ব।

Comilla · 2017

ক
উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.
গ
প্রমাণ করো যে, ∆ABC : ∆DEF = BC² : EF².

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.

প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²

প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, BD = CD

দেখাও যে, BD = CD

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆PQR এর ∠P এর সমদ্বিখণ্ডক PS, QR-কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে। SP এর সমান্তরাল RT রেখাংশ বর্ধিত QP-কে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Dinajpur · 2017

ক
দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।
খ
প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.
গ
QR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ এবং PR-কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, QS: SR = MQ : NR.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.

প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।

দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△MNS\triangle \mathrm{MNS} ও △GHK\triangle \mathrm{GHK} দুটি সদৃশ ত্রিভুজ। △MNS\triangle \mathrm{MNS} এর MP\mathrm{MP} একটি মধ্যমা।

Sylhet · 2020

গ
প্রমাণ করো যে, MN2+MS2=2(MP2+NP2)\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2 = 2(\mathrm{MP}^2 + \mathrm{NP}^2)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ করো যে, △SMN:△KGH=MN2:GH2\triangle\mathrm{SMN} : \triangle\mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2

প্রমাণ করো যে, △SMN:△KGH=MN2:GH2\triangle\mathrm{SMN} : \triangle\mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.নিচে AB=5\mathrm{AB} = 5 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে 2:12 : 1 অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করো।

নিচে AB=5\mathrm{AB} = 5 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে 2:12 : 1 অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, ∆ABC : ∆DEF = BC² : EF².প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²দেখাও যে, BD = CDQR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ এবং PR-কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাপ্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।প্রমাণ করো যে, [গণিত]প্রমাণ করো যে, [গণিত]নিচে [গণিত] সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে [গণিত] অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন