Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] ও [গণিত] এর [গণিত] প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] অঙ্কন: [গণিত] ও [গণিত] এর প্রত্যেক অনুরূপ বাহুযুগল অসমান বিবেচনা করি। XY বাহুতে P বিন্দু এবং XZ বাহতে Q বিন্দু নিই যেন [গণিত] এবং [গণিত] হয়। P ও Q যোগ করি। প্রমাণ: যেহেতু , [গণিত] , সুতরাং [গণিত] অঙ্কনানুসারে [গণিত] সুতরাং PQ || YZ [কোনো সরলরেখা একটি ত্রিভুজের দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে উক্ত সরলরেখা ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল] [গণিত] [অনুরূপ কোণ] এবং [গণিত] [অনুরূপ কোণ] [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী। সুতরাং [গণিত] [দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক] বা, [গণিত] [অঙ্কনানুসারে, XP = MN] কিন্তু [গণিত] [দেওয়া আছে] [গণিত] সুতরাং, [গণিত] ও [গণিত] সর্বসম। [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] [গণিত] এবং [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC গণিত Chapter 6 : রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 6 : রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ (Full Syllabus) · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

(i) HEF একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং HG একটি মধ্যমা। (ii) △XYZ\triangle X Y Z ও △MNS\triangle M N S-এ XYMN=XZMS=YZNS\frac{X Y}{M N}=\frac{X Z}{M S}=\frac{Y Z}{N S}.

Jessore · 2025

উত্তর

নিচে AB = 8 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে 4: 3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করা হলো। question image চিত্র, AB রেখাংশের AD : DB = 4 : 3

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, HEF একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং HG একটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, 4HG2=3HE24 \mathrm{HG}^2=3 \mathrm{HE}^2. প্রমাণ: ধাপ-১: △HEF\triangle \mathrm{HEF} এ EH=EF=HF\mathrm{EH}=\mathrm{EF}=\mathrm{HF}[ ∵ △AHEF\triangle \mathrm{AHEF} সমবাহু ত্রিভুজ] HG⊥EF\mathrm{HG} \perp \mathrm{EF} [HG সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা] এবং EG=GF=12EF\mathrm{EG}=\mathrm{GF}=\frac{1}{2} \mathrm{EF} . . . . . . . . (1) [HG লম্বের পাদ বিন্দু G, EF কে সমদ্বিখন্ডিত করে] ধাপ-২: এখন, △HEG\triangle \mathrm{HEG} এ ∠HGE=90∘\angle \mathrm{HGE}=90^{\circ} [ ∵ HG, EF এর উপর লম্ব] এবং EH=\mathrm{EH}= অতিভুজ ∴△HEG\therefore \triangle \mathrm{HEG} সমকোণী ত্রিভুজ। ধাপ-৩: HEG সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই, HE2=HG2+EG2\mathrm{HE}^2=\mathrm{HG}^2+\mathrm{EG}^2 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে] বা, HE2−EG2=HG2\mathrm{HE}^2-\mathrm{EG}^2=\mathrm{HG}^2 বা, HG2=HE2−(12EF)2\mathrm{HG}^2=\mathrm{HE}^2-\left(\frac{1}{2} \mathrm{EF}\right)^2 [সমীকরণ (1) হতে] বা, HG2=HE2−EF24\mathrm{HG}^2=\mathrm{HE}^2-\frac{\mathrm{EF}^2}{4} বা, HG2=4HE2−EF24\mathrm{HG}^2=\frac{4 \mathrm{HE}^2-\mathrm{EF}^2}{4} বা, 4HG2=4HE2−HE24 \mathrm{HG}^2=4 \mathrm{HE}^2-\mathrm{HE}^2 [∵HE=EF][\because \mathrm{HE}=\mathrm{EF}] ∴4HG2=3HE2\therefore \mathbf{4 H G}^{\mathbf{2}}=\mathbf{3 H E}^{\mathbf{2}} [দেখানো হলো]

উত্তর

question image দেওয়া আছে, △XYZ\triangle \mathrm{XYZ} ও △MNS\triangle \mathrm{MNS} এর XYMN=XZMS=YZNS\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{XZ}}{\mathrm{MS}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{NS}} প্রমাণ করতে হবে যে, ∠X=∠M,∠Y=∠N,∠Z=∠S\angle \mathrm{X}=\angle \mathrm{M}, \angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{N}, \angle \mathrm{Z}=\angle \mathrm{S} অঙ্কন: △XYZ\triangle \mathrm{XYZ} ও △MNS\triangle \mathrm{MNS} এর প্রত্যেক অনুরূপ বাহুযুগল অসমান বিবেচনা করি। XY বাহুতে P বিন্দু এবং XZ বাহতে Q বিন্দু নিই যেন XP=MN\mathrm{XP}=\mathrm{MN} এবং XQ=MS\mathrm{XQ}=\mathrm{MS} হয়। P ও Q যোগ করি। প্রমাণ: যেহেতু , XYMN=XZMS\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{XZ}}{\mathrm{MS}}, সুতরাং XYXP=XZXQ[\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XP}}=\frac{\mathrm{XZ}}{\mathrm{XQ}}[ অঙ্কনানুসারে XP=MN]\mathrm{XP}=\mathrm{MN}] সুতরাং PQ || YZ [কোনো সরলরেখা একটি ত্রিভুজের দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে উক্ত সরলরেখা ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল] ∴∠XYZ=∠XPQ\therefore \angle \mathrm{XYZ}=\angle \mathrm{XPQ} [অনুরূপ কোণ] এবং ∠XZY=∠XQP\angle \mathrm{XZY}=\angle \mathrm{XQP} \quad [অনুরূপ কোণ] ∴△XYZ\therefore \triangle \mathrm{XYZ} ও △XPQ\triangle \mathrm{XPQ} সদৃশকোণী। সুতরাং XYXP=YZPQ\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XP}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{PQ}} \quad [দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক] বা, XYMN=YZPQ\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{PQ}} [অঙ্কনানুসারে, XP = MN] কিন্তু XYMN=YZNS\frac{X Y}{M N}=\frac{Y Z}{N S} [দেওয়া আছে] ∴YZNS=YZPQ\therefore \frac{Y Z}{N S}=\frac{Y Z}{P Q} ∴NS=PQ\therefore N S=P Q সুতরাং, △XPQ\triangle \mathrm{XPQ} ও △MNS\triangle \mathrm{MNS} সর্বসম। [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴∠PXQ=∠NMS,∠XPQ=∠MNS,∠XQP=∠MSN\therefore \angle \mathrm{PXQ}=\angle \mathrm{NMS}, \angle \mathrm{XPQ}=\angle \mathrm{MNS}, \angle \mathrm{XQP}=\angle \mathrm{MSN} ∴∠XYZ=∠MNS[∵∠XYZ=∠XPQ]\therefore \angle \mathrm{XYZ}=\angle \mathrm{MNS} \quad[\because \angle \mathrm{XYZ}=\angle \mathrm{XPQ}] এবং ∠XZY=∠MSN[∵∠XZY=∠XQP]\angle \mathrm{XZY}=\angle \mathrm{MSN} \quad[\because \angle \mathrm{XZY}=\angle \mathrm{XQP}] ∴∠X=∠M,∠Y=∠N,∠Z=∠S\therefore \angle \mathrm{X}=\angle \mathrm{M}, \angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{N}, \angle \mathrm{Z}=\angle \mathrm{S} [প্রমাণিত]
SSCগণিতChapter 6 : রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সে.মি., 20 সে.মি. ও 27 সে. মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সে.মি., 20 সে.মি. ও 27 সে. মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ করো যে, cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3 x=4 \cos^3 x-3 \cos x যদি 2x=60°\mathbf{2 x}=\mathbf{6 0°} হয় ।

প্রমাণ করো যে, cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3 x=4 \cos^3 x-3 \cos x যদি 2x=60°\mathbf{2 x}=\mathbf{6 0°} হয় ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ΔPQR\Delta PQR এর PQPQ ও PRPR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M,NM, N এবং PQ>PRPQ > PR

Jessore · 2016

ক
তথ্যটির চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, MN || QR এবং MN = 12\frac{1}{2} QR.
গ
∠P\angle P এর সমদ্বিখন্ডক QRQR কে DD বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, ∠PDQ\angle PDQ স্থূলকোণ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.প্রমাণ কর যে, MN || QR এবং MN = 12\frac{1}{2} QR.

প্রমাণ কর যে, MN || QR এবং MN = 12\frac{1}{2} QR.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.তথ্যটির চিহ্নিত চিত্র আঁক।

তথ্যটির চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC একটি ত্রিভুজ। E এবং F যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।

Sylhet · 2016

ক
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের দুইটি সূত্র লিখ।
খ
উদ্দীপক অনুসারে প্রমাণ কর যে, EF∣∣BC\mathrm{EF}||\mathrm{BC} এবং EF=12BC\mathrm{EF} = \frac{1}{2}\mathrm{BC}।
গ
যদি △ABC\triangle\mathrm{ABC} এর ∠ABC\angle\mathrm{ABC} = এক সমকোণ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, BF=12AC\mathrm{BF} = \frac{1}{2}\mathrm{AC}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.উদ্দীপক অনুসারে প্রমাণ কর যে, EF∣∣BC\mathrm{EF}||\mathrm{BC} এবং EF=12BC\mathrm{EF} = \frac{1}{2}\mathrm{BC}।

উদ্দীপক অনুসারে প্রমাণ কর যে, EF∣∣BC\mathrm{EF}||\mathrm{BC} এবং EF=12BC\mathrm{EF} = \frac{1}{2}\mathrm{BC}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের দুইটি সূত্র লিখ।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের দুইটি সূত্র লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর ∠B\angle\mathrm{B} ও ∠C\angle\mathrm{C} এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O\mathrm{O} বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

Dinajpur · 2016

ক
উপরের তথ্যের আলোকে চিত্রটি আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, ∠BOC=90∘+12∠A\angle \mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}.
গ
যদি AB\text{AB} কে E\text{E} পর্যন্ত এবং AC\text{AC} কে F\text{F} পর্যন্ত বর্ধিত করা হয় এবং ∠EBC\angle\text{EBC} ও ∠FCB\angle\text{FCB} কোণের সমদ্বিখণ্ডক O\text{O} বিন্দুতে মিলিত হয় তবে প্রমাণ কর যে, ∠BOC=90∘−12∠A\angle\mathrm{BOC} = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle\mathrm{A}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.প্রমাণ কর যে, ∠BOC=90∘+12∠A\angle \mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}.

প্রমাণ কর যে, ∠BOC=90∘+12∠A\angle \mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উপরের তথ্যের আলোকে চিত্রটি আঁক।

উপরের তথ্যের আলোকে চিত্রটি আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে, ∆ABC এর AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E।

Rajshahi · 2016

ক
37° কোণের পূরক কোণ কত?
খ
উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, DE || BC এবং 2DE = BC ।
গ
প্রমাণ কর যে, AB + BC > 2BE ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সে.মি., 20 সে.মি. ও 27 সে. মি.। এর প্রমাণ করো যে, [গণিত] যদি [গণিত] হয় ।[গণিত] এর সমদ্বিখন্ডক [গণিত] কে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] স্প্রমাণ কর যে, MN || QR এবং MN = [গণিত] QR.তথ্যটির চিহ্নিত চিত্র আঁক।যদি [গণিত] এর [গণিত] = এক সমকোণ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপক অনুসারে প্রমাণ কর যে, [গণিত] এবং [গণিত] ।ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের দুইটি সূত্র লিখ।যদি [গণিত] কে [গণিত] পর্যন্ত এবং [গণিত] কে [গণিত] পর্যন্ত বর্ধিত করা হয় এবং [গণপ্রমাণ কর যে, [গণিত] .উপরের তথ্যের আলোকে চিত্রটি আঁক।প্রমাণ কর যে, AB + BC > 2BE ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন