Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

f(x,y)=0f(x,y)=0 f(x,y)=0 পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, নিয়ামকের সমীকরণ ও অক্ষরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] শর্তমতে, [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়, [গণিত] ; যা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ। এখানে, [গণিত] । ১. উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: আমরা জানি, আদর্শ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, [গণিত] ২. নিয়ামকের সমীকরণ: আদর্শ পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ, [গণিত] ৩. অক্ষরেখার সমীকরণ: আদর্শ পরাবৃত্তের অক্ষরেখার সমীকরণ, [গণিত] নির্ণেয় উত্তর: উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: [গণিত] নিয়ামকের সমীকরণ: [গণিত] অক্ষরেখার সমীকরণ: [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 6: কনিক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 6: কনিক · সৃজনশীল

f(x,y)=0f(x,y)=0 f(x,y)=0 পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, নিয…

উদ্দীপক

A(1,−2)A(1,-2)A(1,−2) একটি বিন্দু এবং f(x,y)=x2−8x−4y+20f(x,y)=x2−8x−4y+20f(x,y)=x2f(x,y)=x^2-8x-4y+20f(x,y)=x2−8x−4y+20 একটি ফাংশন।

Sylhet · 2022

উত্তর

দেওয়া আছে, কণিকের সমীকরণ: 4x2+7y2=284x^2 + 7y^2 = 28 উভয়পক্ষকে 2828 দ্বারা ভাগ করে পাই, ⇒4x228+7y228=1\Rightarrow \frac{4x^2}{28} + \frac{7y^2}{28} = 1 ⇒x27+y24=1\Rightarrow \frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{4} = 1 সমীকরণটিকে উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 এর সাথে তুলনা করে পাই, a2=7a^2 = 7 এবং b2=4b^2 = 4 যেহেতু a2>b2a^2 > b^2, তাই a>ba > b। অতএব, উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, e=a2−b2a2e = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}} ⇒e=7−47\Rightarrow e = \sqrt{\frac{7 - 4}{7}} ∴e=37\therefore e = \sqrt{\frac{3}{7}} নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা: 37\sqrt{\frac{3}{7}}

উত্তর

question image দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ: 3x−4y−1=0…...(i)3x - 4y - 1 = 0 \ldots...(i) এবং উদ্দীপকের চিত্র হতে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু A(−1,2)A(-1, 2)। (i)(i) নং রেখার ঢাল, m1=−x এর সহগy এর সহগ=−3−4=34m_1 = -\frac{x \text{ এর সহগ}}{y \text{ এর সহগ}} = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4} যেহেতু পরাবৃত্তের অক্ষরেখা নিয়ামক রেখার ওপর লম্ব, তাই পরাবৃত্তটির অক্ষরেখার ঢাল, m2=−1m1=−134=−43m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} এখন, শীর্ষবিন্দু A(−1,2)A(-1, 2) গামী এবং −43-\frac{4}{3} ঢালবিশিষ্ট অক্ষরেখার সমীকরণ: y−y1=m2(x−x1)y - y_1 = m_2(x - x_1) ⇒y−2=−43(x−(−1))\Rightarrow y - 2 = -\frac{4}{3}(x - (-1)) ⇒3(y−2)=−4(x+1)\Rightarrow 3(y - 2) = -4(x + 1) ⇒3y−6=−4x−4\Rightarrow 3y - 6 = -4x - 4 ⇒4x+3y−6+4=0\Rightarrow 4x + 3y - 6 + 4 = 0 ∴4x+3y−2=0…...(ii)\therefore 4x + 3y - 2 = 0 \ldots...(ii) ধরি, নিয়ামক রেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু Z(α,β)Z(\alpha, \beta)। Z(α,β)Z(\alpha, \beta) বিন্দুটি (i)(i) ও (ii)(ii) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। অতএব, 3α−4β−1=0⇒3α−4β=1…...(iii)3\alpha - 4\beta - 1 = 0 \Rightarrow 3\alpha - 4\beta = 1 \ldots...(iii) 4α+3β−2=0⇒4α+3β=2…...(iv)4\alpha + 3\beta - 2 = 0 \Rightarrow 4\alpha + 3\beta = 2 \ldots...(iv) (iii)×3+(iv)×4(iii) \times 3 + (iv) \times 4 করে পাই, 9α−12β=39\alpha - 12\beta = 3 16α+12β=816\alpha + 12\beta = 8 25α=11⇒α=112525\alpha = 11 \Rightarrow \alpha = \frac{11}{25} α\alpha এর মান (iii)(iii) নং এ বসিয়ে পাই, 3(1125)−4β=13(\frac{11}{25}) - 4\beta = 1 ⇒3325−1=4β\Rightarrow \frac{33}{25} - 1 = 4\beta ⇒825=4β\Rightarrow \frac{8}{25} = 4\beta ⇒β=225\Rightarrow \beta = \frac{2}{25} সুতরাং, ZZ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1125,225)\left(\frac{11}{25}, \frac{2}{25}\right)। ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(x1,y1)S(x_1, y_1)। আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু AA হলো ZZ এবং SS এর মধ্যবিন্দু। অতএব, x1+11252=−1⇒x1+1125=−2⇒x1=−2−1125=−6125\frac{x_1 + \frac{11}{25}}{2} = -1 \Rightarrow x_1 + \frac{11}{25} = -2 \Rightarrow x_1 = -2 - \frac{11}{25} = -\frac{61}{25} y1+2252=2⇒y1+225=4⇒y1=4−225=9825\frac{y_1 + \frac{2}{25}}{2} = 2 \Rightarrow y_1 + \frac{2}{25} = 4 \Rightarrow y_1 = 4 - \frac{2}{25} = \frac{98}{25} সুতরাং, উপকেন্দ্র S(−6125,9825)S\left(-\frac{61}{25}, \frac{98}{25}\right)। এখন ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু P(x,y)P(x, y) এবং PP থেকে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব PMPM। পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP=PMSP = PM ⇒SP2=PM2\Rightarrow SP^2 = PM^2 ⇒(x−(−6125))2+(y−9825)2=(3x−4y−132+(−4)2)2\Rightarrow \left(x - \left(-\frac{61}{25}\right)\right)^2 + \left(y - \frac{98}{25}\right)^2 = \left(\frac{3x - 4y - 1}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right)^2 ⇒(x+6125)2+(y−9825)2=(3x−4y−1)225\Rightarrow \left(x + \frac{61}{25}\right)^2 + \left(y - \frac{98}{25}\right)^2 = \frac{(3x - 4y - 1)^2}{25} ⇒(25x+6125)2+(25y−9825)2=(3x−4y−1)225\Rightarrow \left(\frac{25x + 61}{25}\right)^2 + \left(\frac{25y - 98}{25}\right)^2 = \frac{(3x - 4y - 1)^2}{25} ⇒(25x+61)2625+(25y−98)2625=(3x−4y−1)225\Rightarrow \frac{(25x + 61)^2}{625} + \frac{(25y - 98)^2}{625} = \frac{(3x - 4y - 1)^2}{25} উভয়পক্ষকে 625625 দ্বারা গুণ করে পাই, ⇒(25x+61)2+(25y−98)2=25(3x−4y−1)2\Rightarrow (25x + 61)^2 + (25y - 98)^2 = 25(3x - 4y - 1)^2 ⇒625x2+3050x+3721+625y2−4900y+9604=25(9x2+16y2+1−24xy−6x+8y)\Rightarrow 625x^2 + 3050x + 3721 + 625y^2 - 4900y + 9604 = 25(9x^2 + 16y^2 + 1 - 24xy - 6x + 8y) ⇒625x2+625y2+3050x−4900y+13325=225x2+400y2+25−600xy−150x+200y\Rightarrow 625x^2 + 625y^2 + 3050x - 4900y + 13325 = 225x^2 + 400y^2 + 25 - 600xy - 150x + 200y ⇒400x2+600xy+225y2+3200x−5100y+13300=0\Rightarrow 400x^2 + 600xy + 225y^2 + 3200x - 5100y + 13300 = 0 উভয়পক্ষকে 2525 দ্বারা ভাগ করে পাই, ∴16x2+24xy+9y2+128x−204y+532=0\therefore 16x^2 + 24xy + 9y^2 + 128x - 204y + 532 = 0 নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: 16x2+24xy+9y2+128x−204y+532=016x^2 + 24xy + 9y^2 + 128x - 204y + 532 = 0

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x,y)=x2−8x−4y+20f(x, y) = x^2 - 8x - 4y + 20 শর্তমতে, f(x,y)=0f(x, y) = 0 ⇒x2−8x−4y+20=0\Rightarrow x^2 - 8x - 4y + 20 = 0 ⇒x2−8x=4y−20\Rightarrow x^2 - 8x = 4y - 20 ⇒x2−2⋅x⋅4+16=4y−20+16\Rightarrow x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 16 = 4y - 20 + 16 ⇒(x−4)2=4y−4\Rightarrow (x - 4)^2 = 4y - 4 ⇒(x−4)2=4(y−1)\Rightarrow (x - 4)^2 = 4(y - 1) ∴(x−4)2=4⋅1⋅(y−1)\therefore (x - 4)^2 = 4 \cdot 1 \cdot (y - 1) ধরি, X=x−4X = x - 4 এবং Y=y−1Y = y - 1 তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়, X2=4aYX^2 = 4aY ; যা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ। এখানে, a=1a = 1। ১. উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: আমরা জানি, আদর্শ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, Y=aY = a ⇒y−1=1\Rightarrow y - 1 = 1 ⇒y=1+1\Rightarrow y = 1 + 1 ∴y=2\therefore y = 2 ২. নিয়ামকের সমীকরণ: আদর্শ পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ, Y=−aY = -a ⇒y−1=−1\Rightarrow y - 1 = -1 ⇒y=−1+1\Rightarrow y = -1 + 1 ∴y=0\therefore y = 0 ৩. অক্ষরেখার সমীকরণ: আদর্শ পরাবৃত্তের অক্ষরেখার সমীকরণ, X=0X = 0 ⇒x−4=0\Rightarrow x - 4 = 0 ∴x=4\therefore x = 4 নির্ণেয় উত্তর: উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: y=2y = 2 নিয়ামকের সমীকরণ: y=0y = 0 অক্ষরেখার সমীকরণ: x=4x = 4
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 6: কনিক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image দৃশ্যকল্প-২: একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় (6,1)(6, 1) ও (10,1)(10, 1) এবং উৎকেন্দ্রিকতা 33.

Jessore · 2017

ক
3x2+5y2=13\mathrm{x}^2+5\mathrm{y}^2=1 এর উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+5y2=13\mathrm{x}^2+5\mathrm{y}^2=1 এর উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।

3x2+5y2=13\mathrm{x}^2+5\mathrm{y}^2=1 এর উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
9x2−4y2=369x^2 - 4y^2 = 36 কণিকের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
খ
A কে শীর্ষবিন্দু এবং S কে উপকেন্দ্র ধরে অঙ্কিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে OB′=4OB^{\prime} = 4 এবং AS = A'S হলে BB′BB^{\prime} কে বৃহৎ অক্ষ এবং AA′AA^{\prime} কে ক্ষুদ্র অক্ষ ধরে অঙ্কিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A কে শীর্ষবিন্দু এবং S কে উপকেন্দ্র ধরে অঙ্কিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

A কে শীর্ষবিন্দু এবং S কে উপকেন্দ্র ধরে অঙ্কিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.9x2−4y2=369x^2 - 4y^2 = 36 কণিকের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

9x2−4y2=369x^2 - 4y^2 = 36 কণিকের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রটি একটি কণিক নির্দেশ করে যার নিয়ামক রেখা MZM′MZM^{\prime} ।

Chittagong · 2017

ক
x24−y29=1\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1 অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
খ
A(1,-2) হলে MZM′MZM^{\prime} রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
SP: PM = 1:2 এবং MZM′MZM^{\prime} রেখার সমীকরণ 3x + 4y = 1 হলে কণিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.A(1,-2) হলে MZM′MZM^{\prime} রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

A(1,-2) হলে MZM′MZM^{\prime} রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x24−y29=1\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1 অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।

x24−y29=1\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1 অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

S এর স্থানাঙ্ক (7.3) এবং A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 3).

Comilla · 2017

ক
y2=32xy^2 = 32x পরাবৃত্তস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব 10: বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের S ও A বিন্দুকে যথাক্রমে উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে একটি কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা-1
গ
উদ্দীপকের SA রেখাংশকে বৃহদাক্ষ ধরে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা 32\frac{\sqrt{3}}{2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের S ও A বিন্দুকে যথাক্রমে উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে একটি কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা-1

উদ্দীপকের S ও A বিন্দুকে যথাক্রমে উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে একটি কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.y2=32xy^2 = 32x পরাবৃত্তস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব 10: বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

y2=32xy^2 = 32x পরাবৃত্তস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব 10: বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ হতে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] এর উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।উদ্দীপকে OB [গণিত] = 4 এবং AS = A'S হলে BB [গণিত] কে বৃহৎ অক্ষ এবং AA [গণিত] কে A কে শীর্ষবিন্দু এবং S কে উপকেন্দ্র ধরে অঙ্কিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।9x 2 - 4y 2 = 36 কণিকের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।SP: PM = 1:2 এবং MZM [গণিত] রেখার সমীকরণ 3x + 4y = 1 হলে কণিকটির সমীকরণ নির্ণয় কA(1,-2) হলে MZM [গণিত] রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।উদ্দীপকের SA রেখাংশকে বৃহদাক্ষ ধরে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা [গউদ্দীপকের S ও A বিন্দুকে যথাক্রমে উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে একটি কনিকের সমীকরণy 2 = 32x পরাবৃত্তস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব 10: বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় ক

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন