Chapter 6: কনিক Higher Math 2nd Paper

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-২: একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় $(6, 1)$ ও $(10, 1)$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $3$.

Jessore · 2017

ক

$3\mathrm{x}^2+5\mathrm{y}^2=1$ এর উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, $3 \mathrm{x}^2+5 \mathrm{y}^2=1$ বা, $\frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{1}{5}}=1$ বা, $\frac{x^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}=1$ বা, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ যেখানে $a=\frac{1}{\sqrt{3}}, b=\frac{1}{\sqrt{5}}$ অর্থাৎ $a>b$ ∴ সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2}}$ $=\sqrt{1-\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}}=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}}$ $=\sqrt{1-\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{5-3}{5}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ ∴ উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.

খ

দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $\mathrm{S}(5,8)$, শীর্ষবিন্দু $\mathrm{A}(-1,2)$, নিয়ামক রেখা $\mathrm{MZM}'$, $\mathrm{Z}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\alpha, \beta)$, পরাবৃত্তের উপরস্থ একটি বিন্দু $\mathrm{P(x,y)}$. যেহেতু $\mathrm{ZS}$ এর মধ্যবিন্দু $\mathrm{A}$, সেহেতু, $-1=\frac{\alpha+5}{2}$ বা, $\alpha+5=-2$ বা, $\alpha=-2-5$ বা, $\alpha=-7$ এবং $2=\frac{\beta+8}{2}$ বা, $\beta+8=4$ বা, $\beta=4-8$ বা, $\beta=-4$ $\therefore \mathrm{Z}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-7,-4)$ অক্ষরেখা SZ এর ঢাল $=\frac{8+4}{5+7}=\frac{12}{12}=1$ ∴ দিকাক্ষ $MZM^{\prime}$ এর ঢাল $=-\frac{1}{1}=-1$ দিকাক্ষ $MZM^{\prime}$ এর সমীকরণ, $y+4=-1(x+7)$ বা, $y+4=-x-7$ বা, $x+y+4+7=0$ বা, $x+y+11=0$ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $\mathrm{SP=PM}$ বা, $\sqrt{(x-5)^2+(y-8)^2}=\left|\frac{x+y+11}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|$ বা, $(x-5)^2+(y-8)^2=\frac{(x+y+11)^2}{2}$ বা, $x^2-10 x+25+y^2-16 y+64=\frac{x^2+y^2+121+2 x y+22 y+22 x}{2}$ বা, $x^2-10 x+y^2-16 y+89=\frac{x^2+y^2+121+2 x y+22 y+22 x}{2}$ বা, $2 x^2-20 x+2 y^2-32 y+178=x^2+y^2+121+2 x y+22 y+22 x$ বা, $2 x^2-20 x+2 y^2-32 y+178-x^2-y^2-121-2 x y-22 y-22 x=0$ বা, $x^2+y^2-2 x y-42 x-54 y+57=0$ বা, $(x-y)^2-42 x-54 y+57=0$ $\therefore$ পরাবৃত্তটির সমীকরণ $(x-y)^2-42 x-54 y+57=0$

গ

দৃশ্যকল্প-২ হতে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, অধিবৃত্তের উৎকেম্রিকতা, $\mathrm{e}=3$ এবং উপকৈন্দ্রয় $(6,1)$ ও $(10,1)$ ∴ উপকেন্দ্রয়য়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $=\sqrt{(6-10)^2+(1-1)^2}$ $=\sqrt{(-4)^2+0}=\sqrt{16}=4$ $\therefore 2 a e=4$ বা, $2 \cdot \mathrm{a} \cdot 3=4$ বা, $6 \mathrm{a}=4$ বা, $a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ আবার, $\mathrm{e}=3$ বা, $\sqrt{1+\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2}}=3$ বা, $1+\frac{b^2}{a^2}=9$ বা, $\frac{b^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^2}=9-1$ বা, $\frac{b^2}{\frac{4}{9}}=8$ বা, $\mathrm{b}^2=\frac{8 \times 4}{9}=\frac{32}{9}$ বা, $\mathrm{b}=\sqrt{\frac{32}{9}}=\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=\left(\frac{6+10}{2}, \frac{1+1}{2}\right)=(8,1)$ ∴ অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-8)^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^2}-\frac{(y-1)^2}{\left(\frac{4 \sqrt{2}}{3}\right)^2}=1$. বা, $\frac{(x-8)^2}{\frac{4}{9}}-\frac{(y-1)^2}{\frac{32}{9}}=1$ বা, $\frac{9(x-8)^2}{4}-\frac{9(y-1)^2}{32}=1$ ∴ অধিবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{9(x-8)^2}{4}-\frac{9(y-1)^2}{32}=1$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

Sylhet · 2017

ক

$9x^2 - 4y^2 = 36$ কণিকের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ বা, $\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ একে, $\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}-\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 2, b = 3 ∴ উৎকেন্দ্রিকতা $\begin{aligned} & =\sqrt{1+\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2}}=\sqrt{1+\frac{3^2}{2^2}} \\ & =\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{13}{4}} \\ & =\frac{\sqrt{13}}{2} \text{ (Ans.) }\end{aligned}$ নিয়ামকের সমীকরণ: প্রদত্ত অধিবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ $x= \pm \frac{a}{e}$ এখানে, $a=2$ এবং $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{13}}{2}$ $\therefore x= \pm \frac{2}{\frac{\sqrt{13}}{2}}$ বা, $x= \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ $\therefore \sqrt{13} \mathrm{x}= \pm 4$ ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

খ

A কে শীর্ষবিন্দু এবং S কে উপকেন্দ্র ধরে অঙ্কিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র S(0, 2) এবং শীর্ষ A(3, 2)। ধরি, পরাবৃত্তের উপর একটি বিন্দু P(x, y) ও নিয়ামক রেখা MZ। আমরা জানি, Z ও ৪ এর মধ্যবিন্দু A। ধরি, Z এর স্থানাঙ্ক (x1, y1) $\therefore \frac{x_1+0}{2}=3 \quad \frac{y_1+2}{2}=2$ বা, $x_1=6$ বা, $\mathrm{y}_1+2=4$ বা, $y_1=2$ ∴ Z(6, 2) পরাবৃত্তের অক্ষরেখার ঢাল, $\mathrm{m}_1=\frac{2-2}{3-0}=0$ $\therefore$ নিয়ামক রেখার ঢাল, $\mathrm{m}_2=\frac{-1}{0}\left[<\mathrm{m}_1 \times \mathrm{m}_2=-1\right]$ $\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $\mathrm{y}-2=\frac{-1}{0}(\mathrm{x}-6)$ বা, $-x+6=0$ বা, $x-6=0$ এখন, $\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$ বা, $\mathrm{SP}^2=\mathrm{PM}^2$ বা, $x^2+(y-2)^2=(x-6)^2$ বা, $x^2+(y-2)^2=x^2-12 x+36$ বা, $(y-2)^2=-12(\mathrm{x}-3)$, ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

গ

উদ্দীপকে $OB^{\prime} = 4$ এবং AS = A'S হলে $BB^{\prime}$ কে বৃহৎ অক্ষ এবং $AA^{\prime}$ কে ক্ষুদ্র অক্ষ ধরে অঙ্কিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

যেহেতু, $\mathrm{OB}^{\prime}=4$ একক, সেহেতু $\mathrm{SB}^{\prime}=2+4=6$ একক $\therefore \mathrm{SB}=6$ একক অর্থাৎ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,8)$ আবার, AS = A'S অর্থাৎ S, $AA^{\prime}$ এর মধ্যবিন্দু। $\therefore \mathrm{A}^{\prime}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-3,2)$ $BB^{\prime}$ কে বৃহৎ অক্ষ এবং $AA^{\prime}$ কে ক্ষুদ্র অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{3^2}+\frac{(y-2)^2}{6^2}=1$ যেখানে $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=6(\mathrm{a}<\mathrm{b})$ $\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $\mathrm{e}=\sqrt{\frac{\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}^2}}=\sqrt{\frac{36-9}{36}}=\frac{3 \sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\therefore$ উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $\mathrm{y}-2= \pm$ be বা, $y-2= \pm 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\therefore \mathrm{y}-2= \pm 3 \sqrt{3}$ (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

চিত্রটি একটি কণিক নির্দেশ করে যার নিয়ামক রেখা $MZM^{\prime}$ ।

Chittagong · 2017

ক

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ বা, $\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ একে, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 2, b = 3 ∴ উৎকেন্দ্রিকতা, $\begin{aligned} & =\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{3^2}{2^2}} \\ & =\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2} \text{ (Ans.) }\end{aligned}$

খ

A(1,-2) হলে $MZM^{\prime}$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, A ও S এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1,2) ও (-2, 2) ধরি, Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) আমরা জানি, পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে ZA = AS $\therefore \frac{x-2}{2}=1$ এবং $\frac{y+2}{2}=-2$ বা, $x-2=2$ বা, $y+2=-4$ $\therefore \mathrm{x}=4$ $\therefore y=-6$ $\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4,-6)$ এখন, A ও S বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, $\frac{x-1}{1+2}=\frac{y+2}{-2-2}$ বা, $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-4}$ বা, $3 y+6=-4 x+4$ ∴ 4x + 3y + 2 = 0 $\ldots...(i)$ ধরি, (i) এর লম্ব রেখার ($MZM^{\prime})$ সমীকরণ, 3x - 4y + k= 0

$$\ldots\ldots. (ii) (ii)$$

নং রেখাটি Z(4,- 6) বিন্দুগামী $\therefore 3.4-4(-6)+k=0$ বা, $12+24+k=0$ $\therefore \mathrm{k}=-36$ $\therefore \mathrm{MZM}^{\prime}$ এর সমীকরণ $3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}-36=0$ (Ans.)

গ

SP: PM = 1:2 এবং $MZM^{\prime}$ রেখার সমীকরণ 3x + 4y = 1 হলে কণিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, SP : PM = 1 : 2 বা, $\frac{\mathrm{SP}}{\mathrm{PM}}=\frac{1}{2}$ বা, PM = 2SP $\ldots\ldots. (i)$ ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) আবার, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $\mathrm{S}(-2,2)$ এবং $MZM^{\prime}$ রেখার সমীকরণ $3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}=1$ (i) থেকে পাই, $\frac{3 x+4 y-1}{\sqrt{3^2+4^2}}=2 \cdot \sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}$ বা, $\frac{3 x+4 y-1}{5}=2 \sqrt{x^2+4 x+4+y^2-4 y+4}$ বা, $(3 x+4 y-1)^2=\left(10 \sqrt{x^2+y^2+4 x-4 y+8}\right)^2$ বা, $9 x^2+16 y^2+1+24 x y-6 x-8 y=100\left(x^2\right.$ $\left.+y^2+4 x-4 y+8\right)$ বা, $100 x^2+100 y^2+400 x-400 y+800-9 x^2$ $-16 y^2-24 x y+6 x+8 y-1=0$ $\therefore 91 x^2+84 y^2-24 x y+406 x-392 y+799=0$ যা নির্ণেয় কণিকের সমীকরণ।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

S এর স্থানাঙ্ক (7.3) এবং A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 3).

Comilla · 2017

ক

$y^2 = 32x$ পরাবৃত্তস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব 10: বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ, $y^2=32 x$ বা, $y^2=4 \cdot 8 . x$ বা, $y^2=4 a x$ যেখানে $a=8$ উপকেন্দ্র (a, 0)-(8,0) এখানে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র F(8, 0) এবং পরাবৃত্তস্থ P(x, y) বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব 10 অর্থাৎ $\mathrm{PF}=10$ বা, $\sqrt{(x-8)^2+(y-0)^2}=10$ বা, $(x-8)^2+y^2=100$ বা, $x^2-16 x+64+y^2=100$ বা, $x^2-16 x+64+32 x=10 \quad\left[\because y^2=32 x\right]$ বা, $x^2+16 x+64=100$ বা, $(x+8)^2=100$ বা, $x+8= \pm \sqrt{100}$ বা, $x+8= \pm 10$ বা, $x= \pm 10-8$ বা, $x=2,-18$ যেহেতু $x \neq-18$ সেহেতু $x=2$ এখন, $y^2=32 x$ বা, $y^2=32.2$ বা, $\mathrm{y}^2=64$ বা, $y= \pm \sqrt{64}$ বা, $y= \pm 8$ $\therefore \quad$ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(2, \pm 8)$ $\therefore$ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক $(2, \pm 8)$

খ

উদ্দীপকের S ও A বিন্দুকে যথাক্রমে উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে একটি কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা-1

উত্তর

এখানে, কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা = 1 ∴ কণিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে। S ও A বিন্দুকে যথাক্রমে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(7, 3) ও শীর্ষবিন্দু A(-1, 3) পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু P(x, y), নিয়ামকরেখা $MZM^{\prime}$ এবং Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($\alpha, \beta)$। যেহেতু SZ এর মধ্যবিন্দু A সেহেতু $-1=\frac{\alpha+7}{2}$ বা, $\alpha+7=-2$ বা, $\alpha=-2-7$ বা, $\dot{\alpha}=-9$. এবং $3=\frac{\beta+3}{2}$ বা, $\beta+3=6$ বা, $\beta=6-3$ বা, $\beta=3$ $\therefore \quad Z$ বিস্দুর স্থানাভ্ক $(-9,3)$ অক্ষরেখা SZ এর্র সমীকর্রণ, $y-3=\frac{3-3}{7+9}(x+9)$ বা, $y-3=\frac{0}{16}(x+9)$ বা, $y-3=0$ নিয়ামকরেখা $MZM^{\prime}$ অক্ররেখা SZ এব্র উপর লম্ব $\therefore$ নিয়ামকরেখা $MZM^{\prime}$ এর সমীকরণণ, $\mathrm{x}+\mathrm{k}=0$ যেহেতু নিয়ামকরেখা $Z(-9,3)$ বিন্দুগামী সেহেতু $-9+k=0$ বা, $k=9$ $\therefore$ निয়ামক রেখা $\mathrm{MZM}^{\prime}$ এর সমীকরণ, $\mathrm{x}+9=0$ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$ বা, $\sqrt{(x-7)^2+(y-3)^2}=\left|\frac{x+9}{\sqrt{1^2}}\right|$ বা, $(x-7)^2+(y-3)^2=(x+9)^2$ বা, $x^2-14 x+49+y^{-2}-6 y+9=x^2+18 x+81$ বা, $x^2-14 x+y^2-6 y+58=x^2+18 x+81$ বা, $x^2-14 x+y^2-6 y+58-x^2-18 x-81=0$ বা, y² - 6y-32x-23-0 ∴ কনিকটির সমীকরণ, y² - 6y-32x-23-0.

গ

উদ্দীপকের SA রেখাংশকে বৃহদাক্ষ ধরে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

উত্তর

এখানে, S বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, 3) এবং A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1,3) কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ যেহেতু $0<\frac{\sqrt{3}}{2}<1$ সেহেতু কনিকটি একটি উপবৃত নির্দেশ করে। SA রেখাংশকে উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ধরে বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য, $2 a=\sqrt{(7+1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{8^2+0}=8$ বা, $\mathrm{a}=\frac{8}{2}$ বা, $a=4$ আবার, $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. বা, $\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ বা, $1-\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2}=\frac{3}{4}$ বা, $\frac{b^2}{4^2}=1-\frac{3}{4}$ বা, $\frac{b^2}{16}=\frac{4-3}{4}=\frac{1}{4}$ বা, $b^2=\frac{16}{4}=4$ বা, $b=\sqrt{4}$ বা, $b=2$ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=\left(\frac{7-1}{2}, \frac{3+3}{2}\right)=\left(\frac{6}{2}, \frac{6}{2}\right)=(3,3)$ ∴ উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-3)^2}{a^2}+\frac{(y-3)^2}{b^2}=1$ বা, $\frac{(x-3)^2}{4^2}+\frac{(y-3)^2}{2^2}=1$ বা, $\frac{(x-3)^2}{16}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$ $\therefore$ কনিকটির সমীকরণ $\frac{(x-3)^2}{16}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো