Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, বৃত্তটি তিনটি বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে: [গণিত] , [গণিত] এবং [গণিত] । ধরি, বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ: [গণিত] (i) যেহেতু বৃত্তটি [গণিত] বিন্দুগামী, [গণিত] (ii) যেহেতু বৃত্তটি [গণিত] বিন্দুগামী, [গণিত] (iii) যেহেতু বৃত্তটি [গণিত] বিন্দুগামী, [গণিত] (iv) এখন, (ii) নং হতে (iii) নং বিয়োগ করে পাই: [গণিত] (v) আবার, (iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই: [গণিত] (vi) (vi) নং সমীকরণে [গণিত] এর মান বসিয়ে পাই: [গণিত] এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই: [গণিত] ও [গণিত] এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: [গণিত] এখন [গণিত] ও [গণিত] এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: [গণিত] উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই: [গণিত] নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: [গণিত] ।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 2: ভেক্টর ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 2: ভেক্টর ℹ️ · সৃজনশীল

উদ্দীপকের বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

Combined · 2026

উত্তর

ধরি, প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়: A⃗=2i^+aj^+k^\vec{A} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k} B⃗=4i^−2j^−2k^\vec{B} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k} আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণন (Dot Product) শূন্য হয়। অর্থাৎ, A⃗⋅\vec{A} \cdotB⃗\vec{B}=0= 0 (2i^+aj^+k^)⋅(4i^−2j^−2k^)=0(2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 0 (2×4)+(a×−2)+(1×−2)=0(2 \times 4) + (a \times -2) + (1 \times -2) = 0 8−2a−2=08 - 2a - 2 = 0 6−2a=06 - 2a = 0 2a=62a = 6 a=3a = 3 সুতরাং, aa এর মান 33।

উত্তর

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, BB বিন্দুর স্থানাঙ্ক (−5,4)(-5, 4)। প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: 2x2+2y2−4x−8y+2=02x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 2 = 0 উভয়পক্ষকে 22 দ্বারা ভাগ করে পাই, x2+y2−2x−4y+1=0x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0 বৃত্তটির সমীকরণকে সাধারণ সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই: 2g=−2⇒g=−12g = -2 \Rightarrow g = -1 2f=−4⇒f=−22f = -4 \Rightarrow f = -2 c=1c = 1 বৃত্তটির কেন্দ্র, (−g,−f)=(1,2)(-g, -f) = (1, 2) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ, r=g2+f2−c=(−1)2+(−2)2−1=1+4−1=4=2r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - 1} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2 ধরি, B(−5,4)B(-5, 4) বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার ঢাল mm। রেখাটির সমীকরণ: y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) y−4=m(x−(−5))y - 4 = m(x - (-5)) y−4=m(x+5)y - 4 = m(x + 5) y−4=mx+5my - 4 = mx + 5m mx−y+5m+4=0mx - y + 5m + 4 = 0 ……(i)\ldots\ldots (i) যেহেতু (i) নং রেখাটি প্রদত্ত বৃত্তের একটি স্পর্শক, তাই বৃত্তের কেন্দ্র (1,2)(1, 2) হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ 22 এর সমান হবে। শর্তমতে, ∣m(1)−(2)+5m+4∣m2+(−1)2=2\frac{\vert{}m(1) - (2) + 5m + 4\vert{}}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2 ∣6m+2∣m2+1=2\frac{\vert{}6m + 2\vert{}}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 উভয়পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাই: ∣3m+1∣m2+1=1\frac{\vert{}3m + 1\vert{}}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1 উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই: (3m+1)2=m2+1(3m + 1)^2 = m^2 + 1 9m2+6m+1=m2+19m^2 + 6m + 1 = m^2 + 1 8m2+6m=08m^2 + 6m = 0 2m(4m+3)=02m(4m + 3) = 0 হয়, 2m=0⇒m=02m = 0 \Rightarrow m = 0 অথবা, 4m+3=0⇒m=−344m + 3 = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{4} এখন, (i) নং সমীকরণে mm এর মান বসিয়ে পাই: যখন m=0m = 0: 0⋅x−y+5(0)+4=00 \cdot x - y + 5(0) + 4 = 0 −y+4=0-y + 4 = 0 y−4=0y - 4 = 0 যখন m=−34m = -\frac{3}{4}: −34x−y+5(−34)+4=0-\frac{3}{4}x - y + 5(-\frac{3}{4}) + 4 = 0 উভয়পক্ষকে 44 দ্বারা গুণ করে পাই: −3x−4y−15+16=0-3x - 4y - 15 + 16 = 0 −3x−4y+1=0-3x - 4y + 1 = 0 3x+4y−1=03x + 4y - 1 = 0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয়: y−4=0y - 4 = 0 এবং 3x+4y−1=03x + 4y - 1 = 0।

উত্তর

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, বৃত্তটি তিনটি বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে: A(2,3)A(2, 3), B(−5,4)B(-5, 4) এবং C(−6,−5)C(-6, -5)। ধরি, বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ: x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 ……(i)\ldots\ldots (i) যেহেতু বৃত্তটি A(2,3)A(2, 3) বিন্দুগামী, 22+32+2g(2)+2f(3)+c=02^2 + 3^2 + 2g(2) + 2f(3) + c = 0 4+9+4g+6f+c=04 + 9 + 4g + 6f + c = 0 4g+6f+c+13=04g + 6f + c + 13 = 0 ……(ii)\ldots\ldots (ii) যেহেতু বৃত্তটি B(−5,4)B(-5, 4) বিন্দুগামী, (−5)2+42+2g(−5)+2f(4)+c=0(-5)^2 + 4^2 + 2g(-5) + 2f(4) + c = 0 25+16−10g+8f+c=025 + 16 - 10g + 8f + c = 0 −10g+8f+c+41=0-10g + 8f + c + 41 = 0 ……(iii)\ldots\ldots (iii) যেহেতু বৃত্তটি C(−6,−5)C(-6, -5) বিন্দুগামী, (−6)2+(−5)2+2g(−6)+2f(−5)+c=0(-6)^2 + (-5)^2 + 2g(-6) + 2f(-5) + c = 0 36+25−12g−10f+c=036 + 25 - 12g - 10f + c = 0 −12g−10f+c+61=0-12g - 10f + c + 61 = 0 ……(iv)\ldots\ldots (iv) এখন, (ii) নং হতে (iii) নং বিয়োগ করে পাই: (4g−(−10g))+(6f−8f)+(13−41)=0(4g - (-10g)) + (6f - 8f) + (13 - 41) = 0 14g−2f−28=014g - 2f - 28 = 0 2f=14g−282f = 14g - 28 f=7g−14f = 7g - 14 ……(v)\ldots\ldots (v) আবার, (iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই: (−10g−(−12g))+(8f−(−10f))+(41−61)=0(-10g - (-12g)) + (8f - (-10f)) + (41 - 61) = 0 2g+18f−20=02g + 18f - 20 = 0 g+9f−10=0g + 9f - 10 = 0
……(vi)(vi)\ldots\ldots (vi) (vi)
নং সমীকরণে ff এর মান বসিয়ে পাই: g+9(7g−14)−10=0g + 9(7g - 14) - 10 = 0 g+63g−126−10=0g + 63g - 126 - 10 = 0 64g−136=064g - 136 = 0 64g=13664g = 136 g=13664=178g = \frac{136}{64} = \frac{17}{8} gg এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই: f=7(178)−14=1198−1128=78f = 7(\frac{17}{8}) - 14 = \frac{119}{8} - \frac{112}{8} = \frac{7}{8} gg ও ff এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: 4(178)+6(78)+c+13=04(\frac{17}{8}) + 6(\frac{7}{8}) + c + 13 = 0 172+214+c+13=0\frac{17}{2} + \frac{21}{4} + c + 13 = 0 34+21+524+c=0\frac{34 + 21 + 52}{4} + c = 0 1074+c=0\frac{107}{4} + c = 0 c=−1074c = -\frac{107}{4} এখন g,fg, f ও cc এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: x2+y2+2(178)x+2(78)y−1074=0x^2 + y^2 + 2(\frac{17}{8})x + 2(\frac{7}{8})y - \frac{107}{4} = 0 x2+y2+174x+74y−1074=0x^2 + y^2 + \frac{17}{4}x + \frac{7}{4}y - \frac{107}{4} = 0 উভয়পক্ষকে 44 দ্বারা গুণ করে পাই: 4x2+4y2+17x+7y−107=04x^2 + 4y^2 + 17x + 7y - 107 = 0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: 4x2+4y2+17x+7y−107=04x^2 + 4y^2 + 17x + 7y - 107 = 0।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 2: ভেক্টর ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A⃗=2i^+3j^−4k^\vec{A}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k} এবং B⃗=i^−2j^+3k^\vec{B}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}
ক
X অক্ষের সাথে A→\overrightarrow{\mathbf{A}} এর উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।
খ
A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
A⃗\vec{A} বরাবর B⃗\vec{B} এর অংশক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.X অক্ষের সাথে A→\overrightarrow{\mathbf{A}} এর উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।

X অক্ষের সাথে A→\overrightarrow{\mathbf{A}} এর উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

আজ গণিতের PROFESSOR মহোদয় 3i^+2j^+6k^3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k} এবং i^−4j^−3k^\hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k} ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণনের বৈশিষ্ট্য পড়িয়েছিল। [ কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ, কুমিল্লা ]
ক
nP2=3nC3{ }^n P_2=3^n C_3 হলে, n=n= ?
খ
প্রথম ভেক্টর বরাবর ২য় ভেক্টর এর উপাংশ নির্ণয় কর।
গ
ইংরেজি শব্দটি 'থেকে প্রতিবার চারটি করে অক্ষর নিয়ে সাজানোর মোট উপায় নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রথম ভেক্টর বরাবর ২য় ভেক্টর এর উপাংশ নির্ণয় কর।

প্রথম ভেক্টর বরাবর ২য় ভেক্টর এর উপাংশ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.nP2=3nC3{ }^n P_2=3^n C_3 হলে, n=n= ?

nP2=3nC3{ }^n P_2=3^n C_3 হলে, n=n= ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

a⃗=4i^+3j^−2k^,\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k},b⃗\vec{b}=4i^+4j^+2k^=4 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k} এবং c⃗=i^−2j^+2k^\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} [রাজশাহী কলেজ, রাজশাহী ]
ক
i^+j^−k^,2i^−j^+3k^\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} এবং 3i^−2j^+ak^3 \hat{i}-2 \hat{j}+a \hat{k} ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a-এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, c→\overrightarrow{\mathbf{c}} বরাবর a⃗\vec{a} এর অংশক b⃗\vec{b} এর সাথে লম্ব।
গ
উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি AABC এর শীর্ষবিন্দু A, B, C এর অবস্থান ভেক্টর এবং AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Dও E হলে দেখাও যে, DE, BC এর অর্ধেক ও সমান্তরাল।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, c→\overrightarrow{\mathbf{c}} বরাবর a⃗\vec{a} এর অংশক b⃗\vec{b} এর সাথে লম্ব।

দেখাও যে, c→\overrightarrow{\mathbf{c}} বরাবর a⃗\vec{a} এর অংশক b⃗\vec{b} এর সাথে লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.i^+j^−k^,2i^−j^+3k^\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} এবং 3i^−2j^+ak^3 \hat{i}-2 \hat{j}+a \hat{k} ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a-এর মান নির্ণয় কর।

i^+j^−k^,2i^−j^+3k^\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} এবং 3i^−2j^+ak^3 \hat{i}-2 \hat{j}+a \hat{k} ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a-এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△ ABC এর শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর হলো : i^+2j^+3k^,−i^−j^+8k^,−4i^+4j^+6k^\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k},-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k},-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}
ক
a এর মান কত হলে, ai^−2j^+k^\mathrm{a} \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} এবং 2ai^−aj^−4k^2 \mathrm{a} \hat{i}-\mathrm{a} \hat{j}-4 \hat{k} পরস্পর লম্ব হবে?
খ
প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।
গ
i^+2j^+3k^\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।

প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.a এর মান কত হলে, ai^−2j^+k^\mathrm{a} \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} এবং 2ai^−aj^−4k^2 \mathrm{a} \hat{i}-\mathrm{a} \hat{j}-4 \hat{k} পরস্পর লম্ব হবে?

a এর মান কত হলে, ai^−2j^+k^\mathrm{a} \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} এবং 2ai^−aj^−4k^2 \mathrm{a} \hat{i}-\mathrm{a} \hat{j}-4 \hat{k} পরস্পর লম্ব হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] বরাবর [গণিত] এর অংশক নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।X অক্ষের সাথে [গণিত] এর উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।ইংরেজি শব্দটি 'থেকে প্রতিবার চারটি করে অক্ষর নিয়ে সাজানোর মোট উপায় নির্ণয় কর।প্রথম ভেক্টর বরাবর ২য় ভেক্টর এর উপাংশ নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ?উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি AABC এর শীর্ষবিন্দু A, B, C এর অবস্থান ভেক্টর এবং AB ও ACদেখাও যে, [গণিত] বরাবর [গণিত] এর অংশক [গণিত] এর সাথে লম্ব।[গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a-এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা বের কর।প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।a এর মান কত হলে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব হবে?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন