Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা বের কর।

উত্তর: মনে করি, [গণিত] মনে করি, [গণিত] ভেক্টরটি [গণিত] ও [গণিত] অক্ষের সাথে যথাক্রমে [গণিত] এবং [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে, [গণিত] নির্ণেয় মান: [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 2: ভেক্টর ℹ️ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 2: ভেক্টর ℹ️ · সৃজনশীল

ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা বের কর।

উদ্দীপক

△ ABC এর শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর হলো : i^+2j^+3k^,−i^−j^+8k^,−4i^+4j^+6k^\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k},-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k},-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}

উত্তর

ai^−2j^+k^a \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} এবং 2ai^−aj^−4k^2 a \hat{i}-a \hat{j}-4 \hat{k} ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ডট (.) গুণন সমান শূন্য (০) হয়। ∴(ai^−2j^+k^)(2ai^−aj^−4k^)=0\therefore \quad(a \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})(2 a \hat{i}-a \hat{j}-4 \hat{k})=0 বা, 2a2+2a−4=02 a^2+2 a-4=0 বা, a2+a−2=0a^2+a-2=0 বা, a2+2a−a−2=0a^2+2 a-a-2=0 বা, a(a+2)−1(a+2)=0a(a+2)-1(a+2)=0 বা, (a+2)(a−1)=0(a+2)(a-1)=0
\begin{tabular}{l|l}
হয়, a+2=0a+2=0 অথবা, a−1=0a-1=0 \\ ∴a=−2\therefore a=-2 ∴a=1\therefore a=1 নির্ণেয় মান: – 2 অথবা 1.

উত্তর

question image মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, A⃗=i+2j^+3k^,Bˉ=−i^−j^+8k^\vec{A}=i+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \bar{B}=-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k} এবং Cˉ=−4i^+4j^+6k^\bar{C}=-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k} ∴AB‾=(−i^−j^+8k^)−(i^+2j^+3k^)=−2i^−3j^−5k^\begin{aligned} \therefore \quad \overline{\mathrm{AB}} & =(-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \\ & =-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\end{aligned} ∣AB‾∣=(−2)2+(−3)2+(−5)2=4+9+25=38\begin{aligned}|\overline{\mathrm{AB}}| & =\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+(-5)^2} \\ & =\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}\end{aligned} BC‾=(−4i^+4j^+6k^)−(−i^−j^+8k^)=−3i^+5j^−2k^∴∣BC‾∣=9+25+4=38CA‾=(i+2j^+3k^)−(−4i^+4j^+6k^)=5i^−2j^−3k^∴∣CA‾∣=25+4+9=38∴∣AB‾∣=∣BC‾∣=∣CA‾∣=38\begin{aligned} \overline{B C} & =(-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k})-(-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}) \\ & =-3 \hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k} \\ \therefore \quad|\overline{B C}| & =\sqrt{9+25+4}=\sqrt{38} \\ \overline{C A} & =(i+2 \hat{j}+3 \hat{k})-(-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k})=5 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k} \\ \therefore \quad|\overline{C A}| & =\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38} \\ \therefore \quad|\overline{A B}| & =|\overline{B C}|=|\overline{C A}|=\sqrt{38}\end{aligned} সুতরাং বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে। অর্থাৎ △ ABC সমবাহু। (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, Aˉ=i^+2j^+3k^\bar{A}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} ∴∣A‾∣=12+22+32=14\therefore|\overline{\mathrm{A}}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14} মনে করি, A‾\overline{\mathrm{A}} ভেক্টরটি x,yx, y ও zz অক্ষের সাথে যথাক্রমে α,β\alpha, \beta এবং γ\gamma কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে, cos⁡α=Aˉ⋅i^∣Aˉ∣⋅∣i^∣=(i^+2j^+3k^)⋅i^14⋅1=114\cos \alpha=\frac{\bar{A} \cdot \hat{i}}{|\bar{A}| \cdot|\hat{i}|}=\frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot \hat{i}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{14}}  বা, α=cos⁡−1(114)cos⁡β=Aˉ⋅j^∣Aˉ∣⋅∣j^∣=(i^+2j^+3k^)⋅j^14⋅1=214∴β=cos⁡−1(214)cos⁡γ=Aˉ⋅k^∣Aˉ∣⋅∣k^∣=(i^+2j^+3k^)⋅k^14⋅1=314∴γ=cos⁡−1(314)\begin{aligned} & \text{ বা, } \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right) \\ & \quad \cos \beta=\frac{\bar{A} \cdot \hat{j}}{|\bar{A}| \cdot|\hat{j}|}=\frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot \hat{j}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{14}} \\ & \therefore \quad \beta=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right) \\ & \quad \cos \gamma=\frac{\bar{A} \cdot \hat{k}}{|\bar{A}| \cdot|\hat{k}|}=\frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot \hat{k}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{14}} \\ & \therefore \quad \gamma=\cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)\end{aligned} নির্ণেয় মান: cos⁡−1(114),cos⁡−1(214),cos⁡−1(314)\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right), \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right), \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 2: ভেক্টর ℹ️
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A⃗=2i^+3j^−4k^\vec{A}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k} এবং B⃗=i^−2j^+3k^\vec{B}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}
ক
X অক্ষের সাথে A→\overrightarrow{\mathbf{A}} এর উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।
খ
A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
A⃗\vec{A} বরাবর B⃗\vec{B} এর অংশক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.X অক্ষের সাথে A→\overrightarrow{\mathbf{A}} এর উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।

X অক্ষের সাথে A→\overrightarrow{\mathbf{A}} এর উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

আজ গণিতের PROFESSOR মহোদয় 3i^+2j^+6k^3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k} এবং i^−4j^−3k^\hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k} ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণনের বৈশিষ্ট্য পড়িয়েছিল। [ কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ, কুমিল্লা ]
ক
nP2=3nC3{ }^n P_2=3^n C_3 হলে, n=n= ?
খ
প্রথম ভেক্টর বরাবর ২য় ভেক্টর এর উপাংশ নির্ণয় কর।
গ
ইংরেজি শব্দটি 'থেকে প্রতিবার চারটি করে অক্ষর নিয়ে সাজানোর মোট উপায় নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রথম ভেক্টর বরাবর ২য় ভেক্টর এর উপাংশ নির্ণয় কর।

প্রথম ভেক্টর বরাবর ২য় ভেক্টর এর উপাংশ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.nP2=3nC3{ }^n P_2=3^n C_3 হলে, n=n= ?

nP2=3nC3{ }^n P_2=3^n C_3 হলে, n=n= ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

a⃗=4i^+3j^−2k^,\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k},b⃗\vec{b}=4i^+4j^+2k^=4 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k} এবং c⃗=i^−2j^+2k^\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} [রাজশাহী কলেজ, রাজশাহী ]
ক
i^+j^−k^,2i^−j^+3k^\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} এবং 3i^−2j^+ak^3 \hat{i}-2 \hat{j}+a \hat{k} ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a-এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, c→\overrightarrow{\mathbf{c}} বরাবর a⃗\vec{a} এর অংশক b⃗\vec{b} এর সাথে লম্ব।
গ
উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি AABC এর শীর্ষবিন্দু A, B, C এর অবস্থান ভেক্টর এবং AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Dও E হলে দেখাও যে, DE, BC এর অর্ধেক ও সমান্তরাল।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, c→\overrightarrow{\mathbf{c}} বরাবর a⃗\vec{a} এর অংশক b⃗\vec{b} এর সাথে লম্ব।

দেখাও যে, c→\overrightarrow{\mathbf{c}} বরাবর a⃗\vec{a} এর অংশক b⃗\vec{b} এর সাথে লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.i^+j^−k^,2i^−j^+3k^\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} এবং 3i^−2j^+ak^3 \hat{i}-2 \hat{j}+a \hat{k} ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a-এর মান নির্ণয় কর।

i^+j^−k^,2i^−j^+3k^\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} এবং 3i^−2j^+ak^3 \hat{i}-2 \hat{j}+a \hat{k} ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a-এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।

প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.a এর মান কত হলে, ai^−2j^+k^\mathrm{a} \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} এবং 2ai^−aj^−4k^2 \mathrm{a} \hat{i}-\mathrm{a} \hat{j}-4 \hat{k} পরস্পর লম্ব হবে?

a এর মান কত হলে, ai^−2j^+k^\mathrm{a} \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} এবং 2ai^−aj^−4k^2 \mathrm{a} \hat{i}-\mathrm{a} \hat{j}-4 \hat{k} পরস্পর লম্ব হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A⃗=2i^+3j^−k^,\vec{A}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k},B⃗\vec{B}=i^+2j^−2k^,=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k},C⃗\vec{C}=λi^−j^+3k^=\lambda \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}
ক
λ\lambda এর কোন মানের জন্য A→,B→,C→\overrightarrow{\mathrm{A}}, \overrightarrow{\mathrm{B}}, \overrightarrow{\mathrm{C}} ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থান করবে?
খ
যদি A→+B→\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}} বরাবর A→\overrightarrow{\mathrm{A}} এর উপাংশ C→\overrightarrow{\mathrm{C}} এর উপর লম্ব হয় তবে λ\lambda এর মান নির্ণয় কর।
গ
যদি A⃗−2B⃗\vec{A}-2 \vec{B} এবং 22A⃗\vec{A}+B⃗+\vec{B} ভেক্টরদ্বয় একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু হয় তবে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] বরাবর [গণিত] এর অংশক নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] কে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।X অক্ষের সাথে [গণিত] এর উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।ইংরেজি শব্দটি 'থেকে প্রতিবার চারটি করে অক্ষর নিয়ে সাজানোর মোট উপায় নির্ণয় কর।প্রথম ভেক্টর বরাবর ২য় ভেক্টর এর উপাংশ নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ?উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি AABC এর শীর্ষবিন্দু A, B, C এর অবস্থান ভেক্টর এবং AB ও ACদেখাও যে, [গণিত] বরাবর [গণিত] এর অংশক [গণিত] এর সাথে লম্ব।[গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a-এর মান নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।a এর মান কত হলে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব হবে?যদি [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয় একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু হয় তবে সা

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন