অধ্যায়-৬ : অসমতা উচ্চতর গণিত

উদ্দীপক

দুইটি সংখ্যার সমষ্টি অনুর্ধ্ব 15 এবং ২য় সংখ্যা হতে ১ম সংখ্যার বিয়োগফল সর্বনিম্ন 1. [সরকারি কে.জি ইউনিয়ন উচ্চ বিদ্যালয়, পিরোজপুর]

ক

উদ্দীপকের তথ্যকে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর

মনে করি, ১ম সংখ্যাটি $\mathrm{x}$ এবং ২য় সংখ্যাটি $\mathrm{y}$ শর্তমতে, $\mathrm{x} + \mathrm{y} \le 15$ $\mathrm{y} - \mathrm{x} \ge 1$ (Ans.)

খ

অসমতা যুগলের সমতা বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর

'ক' হতে প্রাপ্ত অসমতাদ্বয় $\mathrm{x} + \mathrm{y} \le 15$ এবং $\mathrm{y} - \mathrm{x} \ge 1$ উক্ত অসমতাদ্বয়কে সমতার সমীকরণ বিবেচনা করি: $\mathrm{x} + \mathrm{y} = 15 \dots \dots \dots (\mathrm{i})$ $\mathrm{y} - \mathrm{x} = 1 \dots \dots \dots (\mathrm{ii})$ __________________________ $2\mathrm{y} = 16$ [যোগ করে] $\therefore \mathrm{y} = 8$ (i) নং হতে পাই, $\mathrm{x} + \mathrm{y} = 15$ বা, $\mathrm{x} + 8 = 15$ $\therefore \mathrm{x} = 7$ $\therefore$ অসমতাদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু $(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = (7, 8)$ (Ans.)

গ

অসমতা যুগলের সমাধান সেটের লেখচিত্র অংকন কর।

উত্তর

'খ' নং হতে পাই, $\mathrm{x}+\mathrm{y}=15 \dots\dots\dots (\mathrm{i})$ $\mathrm{y}-\mathrm{x}=1 \dots\dots\dots\dots (\mathrm{ii})$ (i) নং হতে পাই, $\mathrm{y}=15-\mathrm{x} \dots\dots\dots\dots (\mathrm{iii})$ (iii) নং হতে $\mathrm{x}$ এর বিভিন্ন মানের জন্য $\mathrm{y}$ এর মান বের করি ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে 1 একক ধরে $(5, 10), (7, 8)$ ও $(8, 7)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করি। এখন মূল বিন্দু $(0, 0)$ তে $\mathrm{x} + \mathrm{y} \le 15$ সিদ্ধ হয়। সুতরাং লেখচিত্রের যে পাশে মূলবিন্দু আছে সেই পাশের সকল বিন্দুর জন্যই $\mathrm{x} + \mathrm{y} \le 15$ সত্য। সমীকরণের সকল বিন্দু এবং লেখচিত্রের যে পাশে মূলবিন্দু আছে সেই পাশের সকল বিন্দুর সমন্বয়ে গঠিত। আবার, (ii) নং হতে পাই: $\mathrm{y}-\mathrm{x} = 1$ $\therefore \mathrm{y} = \mathrm{x} + 1\dots \dots (\mathrm{iv})$ (iv) নং হতে লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় করি। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে । একক ধরে $(4, 5), (7, 8)$ ও $(10, 11)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করি। $(0, 0)$ তে $\mathrm{y} - \mathrm{x} \ge 1$ সিদ্ধ হয় না। সুতরাং লেখচিত্রে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু আছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দুর জন্যই $\mathrm{y} - \mathrm{x} \ge 1$ সত্য। সুতরাং সমীকরণের সকল বিন্দু এবং লেখচিত্রের যে পাশে মূলবিন্দু আছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দুর সমন্বয়ে গঠিত।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

(i) $\mathrm{a}(\mathrm{x} + \mathrm{b}) < \mathrm{c} (\mathrm{a} \ne 0)$ (ii) $5(3-2\mathrm{t}) \le 3(4-3\mathrm{t})$ (iii) $\mathrm{x} + 3\mathrm{y} \le 0$ [নাটোর সরকারি বালক উচ্চ বিদ্যালয়, নাটোর]

ক

(i) নং অসমতাটি সমাধান কর।

উত্তর

$a$ ধনাত্মক হলে, $\frac{a(x+b)}{a}<\frac{c}{a}$ [উভয়পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে] বা, $x+b<\frac{c}{a}$ বা, $x<\frac{c}{a}-b$ $a$ ঋণাত্মক হলে একই প্রক্রিয়ায় পাই, $\frac{a(x+b)}{a}>\frac{c}{a}$ বা, $x+b>\frac{c}{a}$ বা, $x>\frac{c}{a}-b$ ∴ নির্ণেয় সমাধান: (i) $x<\frac{c}{a}-b$ যদি $a>0$ হয়, (ii) $x>\frac{c}{a}-b$ যদি $a<0$ হয়।

খ

(ii) নং অসমতাটি সমাধান করে সমাধান সেটটি সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর

দেওয়া আছে, $5(3-2\mathrm{t}) \le 3(4-3\mathrm{t})$ বা, $15-10\mathrm{t} \le 12 - 9\mathrm{t}$ বা, $15-10\mathrm{t}+9\mathrm{t} \le 12-9\mathrm{t}+9\mathrm{t}$ [উভয়পক্ষে $9\mathrm{t}$ যোগ করে] বা, $15-\mathrm{t} \le 12$ বা, $15-\mathrm{t}-15 \le 12-15$ [উভয়পক্ষে $(-15)$ যোগ করে] বা, $-\mathrm{t} \le -3$ বা, $-\mathrm{t}(-1) \ge (-3)(-1)$ [$(-1)$ দ্বারা গুণ করে] $\therefore \mathrm{t} \ge 3$ $\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $\mathrm{t} \ge 3$ (Ans.) এখানে, সমাধান সেট, $\mathrm{S} = \{\mathrm{t} \in \mathrm{R} : \mathrm{t} \ge 3\}$ সংখ্যারেখায় সমাধান সেট:

গ

(iii) নং অসমতার সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর

$\mathrm{x} + 3\mathrm{y} \le 0$ প্রথমে $\mathrm{x} + 3\mathrm{y} = 0$ বা, $\mathrm{y}=-\frac{1}{3}\mathrm{x}$ সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি। লেখচিত্রস্থিত কয়েকটি বিন্দু- ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণকে একক ধরে $(-3, 1), (0, 0), (3, -1)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে $\mathrm{y} = -\frac{1}{3}\mathrm{x}$ এর লেখ পাওয়া যায়। এখন $(1, 1)$ বিন্দুতে $\mathrm{x} + 3\mathrm{y}$ রাশির মান $1+3=4$ যা $>0$ $\therefore$ লেখ-চিত্রের যে পাশে $(1, 1)$ বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু (লেখ চিত্রের উপরস্থ বিন্দুসহ) সমাধান সেটের অন্তর্ভুক্ত। নিম্নে সমাধান সেটের লেখচিত্র দেখানো হলো—

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$\mathrm{M} = 3\mathrm{x}^2 + \mathrm{x} + 2$, $\mathrm{N} = \mathrm{x}(\mathrm{x} + 1)$, $\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) > 0$ এবং $\mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \le 0$ [সমন্বিত অধ্যায় ২. ৫ ও ৬] [এন কে এম হাই স্কুল এন্ড হোমস্, নরসিংদী]

ক

আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় কর।

উত্তর

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি ধরি $a, b, c$ মূলদ সংখ্যা। তাহলে ক) $b^2-4 a c>0$ এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে। খ) $b^2-4 a c>0$ কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে। গ) $b^2-4 a c=0$ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে, এক্ষেত্রে $x=-\frac{b}{2 a}$ ঘ) $b^2-4 a c<0$ অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

খ

$\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\mathrm{M} = 3\mathrm{x}^2 + \mathrm{x} + 2$ $\mathrm{N} = \mathrm{x}(\mathrm{x} + 1)$ $\therefore \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}} = \frac{3\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)}$ $\qquad = \frac{3(\mathrm{x}^2+\mathrm{x}) - 2\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}^2+\mathrm{x}}$ $\qquad = 3+\frac{2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)} \dots \dots (\mathrm{i})$ ধরি, $\frac{2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)} = \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}} + \frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}+1} \dots \dots (\mathrm{ii})$ (ii) নং এর উভয় পক্ষকে $\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)$ দ্বারা গুণ করে $2-2\mathrm{x} = \mathrm{A}(\mathrm{x}+1) + \mathrm{Bx} \dots \dots (\mathrm{iii})$ (iii) নং এ $\mathrm{x}=0$ বসিয়ে পাই, $2-0 = \mathrm{A}.1 + \mathrm{B}.0$ $\therefore \mathrm{A}=2$ (iii) নং এ $\mathrm{x}=-1$ বসিয়ে পাই, $2-2(-1) = \mathrm{A}.0 + \mathrm{B}(-1)$ বা, $2+2 = -\mathrm{B}$ $\therefore \mathrm{B}=-4$ A ও B এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, $\frac{2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)} = \frac{2}{\mathrm{x}} + \frac{-4}{\mathrm{x}+1}$ $\therefore \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}} = \frac{3\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)} = 3+\frac{2}{\mathrm{x}} - \frac{4}{\mathrm{x}+1}$ (Ans.)

গ

$\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = 3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} - 5$ এবং $\mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = \mathrm{x} - 3\mathrm{y} - 9$ হলে উদ্দীপকের প্রাপ্ত অসমতা যুগলের সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = 3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} - 5$ এবং $\mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = \mathrm{x} - 3\mathrm{y} - 9$ শর্তানুসারে, $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} - 5 > 0 \dots \dots \dots (\mathrm{i})$ এবং $\mathrm{x} - 3\mathrm{y} - 9 \le 0 \dots \dots (\mathrm{ii})$ (i) নং হতে, $\mathrm{y} = -\frac{1}{5}(5-3\mathrm{x})$ $\therefore \mathrm{y} = \frac{1}{5}(3\mathrm{x}-5)$ এখানে, (ii) নং হতে পাই, $\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = 9$ বা, $-3\mathrm{y} = 9-\mathrm{x}$ বা, $\mathrm{y}=-\frac{1}{3} (9-\mathrm{x})$ $\therefore \mathrm{y}=\frac{1}{3}(\mathrm{x}-9)$ এখানে, এখন ছক কাগজের x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে $(0, - 1), (-10, -7), (10, 5)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে (i) নং সমীকরণের লেখ চিত্র ও $(0, -3), (3, -2), (6, -1)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে (ii) নং সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করি। মূলবিন্দু $(0, 0)$ তে $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} - 5$ রাশির মান– 5, যা ঋনাত্মক। সুতরাং, $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} - 5 = 0$ বা $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} = 5$ এর লেখচিত্রের যে পাশে মূলবিন্দু অবস্থিত সে পাশের সকল বিন্দুর জন্য $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} - 5 < 0$ এবং অপর পাশের সকল বিন্দুর জন্য $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} - 5 > 0$. অতএব, $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} > 5$ অসমতার সমাধান হবে $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} = 5$ সমীকরণের লেখ ছাড়া লেখের যে পাশে মূলবিন্দু আছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু। আবার, মূলবিন্দু $(0, 0)$ তে $\mathrm{x} - 3\mathrm{y} - 9$ রাশির মান – 9, যা ঋনাত্মক। সুতরাং, $\mathrm{x} - 3\mathrm{y} - 9 = 0$ বা $\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = 9$ এর লেখচিত্রের যে পাশে মূলবিন্দু অবস্থিত সে পাশের সকল বিন্দুর জন্য $\mathrm{x}-3\mathrm{y}-9<0$. অতএব, $\mathrm{x} - 3\mathrm{y} \le 9$ অসমতার সমাধান হবে $\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = 9$ সমীকরণের লেখসহ লেখের যে পাশে মূলবিন্দু আছে সে পাশের সকল বিন্দু। সুতরাং, $\mathrm{x} - 3\mathrm{y} = 9$ লেখ-রেখাসহ (ছেদবিন্দু ছাড়া) চিহ্নিত অংশদ্বয়ের ছেদাংশই প্রদত্ত অসমতাদ্বয়ের সমাধান সেটের লেখচিত্র। চিত্রে গাঢ়ভাবে চিহ্নিত অংশই এই লেখচিত্র।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

(i) $18 \mathrm{y}^{\mathrm{x}}-\mathrm{y}^{2 \mathrm{x}}=81, 3^{\mathrm{x}}=\mathrm{y}^2$ (ii) $2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-1 \geq 0 ; 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-7 \leq 0$।

ক

(i) নং এর ২য় সমীকরণে $\mathrm{y}$-এর পরিবর্তে $9$ বসালে $\mathrm{x}$-এর মান কত হবে?

উত্তর

(i) নং এর ২য় সমীকরণ, $3^{\mathrm{x}}=\mathrm{y}^2$ সমীকরণটিতে $\mathrm{y}$ এর পরিবর্তে $9$ বসালে, $3^{\mathrm{x}}=9^2$ বা, $3^{\mathrm{x}}=81$ বা, $3^{\mathrm{x}}=3^4$ $\therefore \mathrm{x}=4$ নির্ণেয় মান : $\mathrm{x}=4$।

খ

(i) নং এর সমীকরণ দুইটির সমাধান করো।

উত্তর

(i) নং এর সমীকরণ দুইটি হচ্ছে, $18 \mathrm{y}^{\mathrm{x}}-\mathrm{y}^{2 \mathrm{x}}=81$ $\ldots\ldots. (1)$ এবং $3^{\mathrm{x}}=\mathrm{y}^2$

$$\ldots\ldots. (2) (1)$$

থেকে পাই, $\mathrm{y}^{2 \mathrm{x}}-18 \mathrm{y}^{\mathrm{x}}+81=0$ বা, $(\mathrm{y}^{\mathrm{x}}-9)^2=0$ বা, $\mathrm{y}^{\mathrm{x}}-9=0$ বা, $\mathrm{y}^{\mathrm{x}}=3^2$

$$\ldots\ldots. (3) (2)$$

থেকে পাই, $(3^{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}}=(\mathrm{y}^2)^{\mathrm{x}}$ বা, $3^{\mathrm{x}^2}=\mathrm{y}^{2 \mathrm{x}}$

$$\ldots\ldots. (4) (3)$$

থেকে পাই, $(\mathrm{y}^{\mathrm{x}})^2=(3^2)^2$ বা, $\mathrm{y}^{2 \mathrm{x}}=3^4$

$$\ldots\ldots. (5) (4)$$

ও (5) থেকে পাই, $3^{\mathrm{x}^2}=3^4$ বা, $\mathrm{x}^2=4$ বা, $\mathrm{x}=\pm 2$ $\mathrm{x}=2$ হলে (2) থেকে পাই, $\mathrm{y}^2=9$ বা, $\mathrm{y}=\pm 3$ $\mathrm{x}=-2$ হলে (3) থেকে পাই, $\mathrm{y}^{-2}=9$ বা, $\mathrm{y}^2=\frac{1}{9}$ বা, $\mathrm{y}=\pm \frac{1}{3}$ নির্ণেয় সমাধান : $(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2, 3), (2, -3),\left(-2, \frac{1}{3}\right),\left(-2, -\frac{1}{3}\right)$।

গ

(ii) নং এর অসমতা যুগলের সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন করো।

উত্তর

(ii) নং এর অসমতা দুইটি হচ্ছে, $2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-1 \geq 0$ এবং $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-7 \leq 0$ এখন, $2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-1=0$ $\ldots\ldots. (6)$ $\qquad\,\,\, 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-7=0$ $\ldots\ldots. (7)$ সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি। (6) নং সমীকরণ থেকে পাই, $3 \mathrm{y}=2 \mathrm{x}-1$ বা, $\mathrm{y}=\frac{2 \mathrm{x}-1}{3}$ এখানে, $\mathrm{x}$ $-4$ $-1$ $2$ $5$ $\mathrm{y}$ $-3$ $-1$ $1$ $3$ আবার (7) নং সমীকরণ থেকে পাই, $3 \mathrm{y}=7-2 \mathrm{x}$ বা, $\mathrm{y}=\frac{7-2 \mathrm{x}}{3}$ $\mathrm{x}$ $-4$ $-1$ $2$ $5$ $\mathrm{y}$ $5$ $3$ $1$ $-1$ এখন, স্থানাঙ্কায়িত ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের তিন বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে $(-4, -3), (-1, -1), (2, 1), (5, 3)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে $2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-1=0$ সমীকরণের লেখ রেখা এবং $(-4, 5), (-1, 3), (2, 1), (5, -1)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-7=0$ সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি। মূলবিন্দু $(0, 0)$ তে $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-1$ রাশির মান $-1$, যা ঋণাত্মক। সুতরাং $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-1=0$ এর লেখ রেখার যে পার্শ্বে মূলবিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বের সকল বিন্দুর জন্য $2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-1 \geq 0$। ছক কাগজে দাগ টেনে এই সমাধান সেট (যার মধ্যে রেখাটি অন্তর্ভুক্ত) চিত্রিত করি। আবার, $(0, 0)$ তে $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-7$ রাশির মান $-7$, যা ঋণাত্মক। সুতরাং $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-7=0$ এর লেখরেখার যে পার্শ্বে মূলবিন্দু অবস্থিত সেই পার্শ্বের সকল বিন্দুর জন্য $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-7 \geq 0$। ছক কাগজে দাগ টেনে এই সমাধান সেট (যার মধ্যে লেখ রেখাটি অন্তর্ভুক্ত) চিত্রিত করি। অতএব এই রেখা দুইটির ছেদাংশই (যার মধ্যে রেখা দুইটি অন্তর্ভুক্ত) অসমতা দুইটির যুগপৎ সমাধানের লেখচিত্র।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো