Chapter 2: দৈব চলক ও সম্ভাবনা বিন্যাস Statistics 2nd Paper

উদ্দীপক

একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ:

Jessore · 2025

ক

সম্ভাবনা বিন্যাস কাকে বলে?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের প্রতিটি মানের বিপরীতে উহাদের নিজ নিজ সম্ভাবনা যে সারণিতে উপস্থাপন করা হয় তাকে সম্ভাবনা বিন্যাস বলে।

খ

"ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা। ব্যাখ্যা: যে পরীক্ষায় কি কি ফলাফল পাওয়া যাবে তা পূর্ব থেকে জানা থাকে এবং প্রতিটি ফলাফলের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে অথচ পরীক্ষাটি সম্পন্ন করা হলে কোন ফলটি আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না এরূপ পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলে।

গ

উদ্দীপকের আলোকে $P(2<x \leq 5)$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস : $\therefore \mathrm{P}(2<\mathrm{x} \leq 5)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5)$ $=0.1+0.18+0.25=0.53$ সুতরাং, $\mathrm{P}(2<\mathrm{x} \leq 5) =0.53$

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে $P(1 \leq x \leq 4)=F(4)-F(0)$ এর সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' এর সম্ভাবনা বিন্যাস ব্যবহার করে, $\therefore \mathrm{P}(1<\mathrm{x} \leq 4)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)$ $=0.15+0.12+0.1+0.18=0.55$ দোকান বিক্রির সংখ্যা $(x)$ এর বিন্যাস ফাংশনটি হলো নিম্নরূপ : $\therefore \quad F(4)-F(0)=0.75-0.2=0.55$ এখানে, $P(1<x \leq 4)=F(4)-F(0)$ সুতরাং, উদ্দীপকের আলোকে $P(1<x \leq 4)=F(4)-F(0)$ সম্পর্কটি সঠিক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ:

Jessore · 2025

ক

সম্ভাবনা বিন্যাস কাকে বলে?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের প্রতিটি মানের বিপরীতে উহাদের নিজ নিজ সম্ভাবনা যে সারণিতে উপস্থাপন করা হয় তাকে সম্ভাবনা বিন্যাস বলে।

খ

"ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা। ব্যাখ্যা: যে পরীক্ষায় কি কি ফলাফল পাওয়া যাবে তা পূর্ব থেকে জানা থাকে এবং প্রতিটি ফলাফলের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে অথচ পরীক্ষাটি সম্পন্ন করা হলে কোন ফলটি আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না এরূপ পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলে।

গ

উদ্দীপকের আলোকে $P(2<x \leq 5)$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস : $\therefore \mathrm{P}(2<\mathrm{x} \leq 5)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5)$ $=0.1+0.18+0.25=0.53$ সুতরাং, $\mathrm{P}(2<\mathrm{x} \leq 5) =0.53$

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে $P(1 \leq x \leq 4)=F(4)-F(0)$ এর সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' এর সম্ভাবনা বিন্যাস ব্যবহার করে, $\therefore \mathrm{P}(1<\mathrm{x} \leq 4)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)$ $=0.15+0.12+0.1+0.18=0.55$ দোকান বিক্রির সংখ্যা $(x)$ এর বিন্যাস ফাংশনটি হলো নিম্নরূপ : $\therefore \quad F(4)-F(0)=0.75-0.2=0.55$ এখানে, $P(1<x \leq 4)=F(4)-F(0)$ সুতরাং, উদ্দীপকের আলোকে $P(1<x \leq 4)=F(4)-F(0)$ সম্পর্কটি সঠিক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক: $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2 .$

Dhaka · 2025

ক

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক কাকে বলে?

উত্তর

যে দৈব চলকের মানগুলো পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে।

খ

$5 \leq \mathrm{x} \leq 15$ কী ধরনের দৈব চলক? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

যে দৈব চলক কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যবর্তী যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে তাকে অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে। অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের কোনো নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায় না। কিন্তু এর মান কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকায় সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায়। এখানে, $5 \leq x \leq 15$ দ্বারা বুঝায়, $x$ এর মান 5 থেকে 15 এর মধ্যবর্তী যেকোনো করতে পারে। সুতরাং, $x$ হলো একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক। অতএব, $5 \leq x \leq 15$ এটি একট অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

গ

উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $k$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকে প্রদত্ত বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক, $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2$ দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস হবে নিম্নরূপ : আমরা জানি, $\sum_{x=-2}^2 P(x)=1$ বা, $\mathrm{P}(\mathrm{x}=-2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=-1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)=1$ বা, $\frac{-4+\mathrm{k}}{35}+\frac{-2+\mathrm{k}}{35}+\frac{\mathrm{k}}{35}+\frac{2+\mathrm{k}}{35}+\frac{4+\mathrm{k}}{35}=1$ বা, $\frac{-4+k-2+k+k+2+k+4+k}{35}=1$ বা, $\frac{5 \mathrm{k}}{35}=1$ বা, $5 \mathrm{k}=35$ বা, $k=\frac{35}{5} \therefore k=7$ সুতরাং, উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $\mathrm{k}=7$.

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে $P(0<x \leq 2)$ এবং $[F(2)-F(0)]$ এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'ক' হতে পাই, $k = 7$ $k$ এর মান $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, $\therefore \mathrm{P}(0<\mathrm{x} \leq 2)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)$ $=\frac{9}{35}+\frac{11}{35}=\frac{9+11}{35}=\frac{20}{35}$ সুতরাং, দৈব চলক $x$ এর বিন্যাস ফাংশন হলো: $\therefore [\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(0)]=\left[1-\frac{15}{35}\right]$ $=\left[\frac{35-15}{35}\right]=\frac{20}{35}$ এখানে, $P(0<x \leq 2)=[F(2)-F(0)]$ অতএব, উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{P}(0<\mathrm{x} \leq 2)$ এবং $[\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(0)]$ উভয়ের মান সমান। অর্থাৎ, $P(0<x \leq 2)=[F(2)-F(0)]$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক: $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2 .$

Dhaka · 2025

ক

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক কাকে বলে?

উত্তর

যে দৈব চলকের মানগুলো পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে।

খ

$5 \leq \mathrm{x} \leq 15$ কী ধরনের দৈব চলক? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

যে দৈব চলক কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যবর্তী যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে তাকে অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে। অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের কোনো নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায় না। কিন্তু এর মান কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকায় সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায়। এখানে, $5 \leq x \leq 15$ দ্বারা বুঝায়, $x$ এর মান 5 থেকে 15 এর মধ্যবর্তী যেকোনো করতে পারে। সুতরাং, $x$ হলো একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক। অতএব, $5 \leq x \leq 15$ এটি একট অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

গ

উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $k$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকে প্রদত্ত বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক, $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2$ দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস হবে নিম্নরূপ : আমরা জানি, $\sum_{x=-2}^2 P(x)=1$ বা, $\mathrm{P}(\mathrm{x}=-2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=-1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)=1$ বা, $\frac{-4+\mathrm{k}}{35}+\frac{-2+\mathrm{k}}{35}+\frac{\mathrm{k}}{35}+\frac{2+\mathrm{k}}{35}+\frac{4+\mathrm{k}}{35}=1$ বা, $\frac{-4+k-2+k+k+2+k+4+k}{35}=1$ বা, $\frac{5 \mathrm{k}}{35}=1$ বা, $5 \mathrm{k}=35$ বা, $k=\frac{35}{5} \therefore k=7$ সুতরাং, উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $\mathrm{k}=7$.

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে $P(0<x \leq 2)$ এবং $[F(2)-F(0)]$ এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'ক' হতে পাই, $k = 7$ $k$ এর মান $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, $\therefore \mathrm{P}(0<\mathrm{x} \leq 2)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)$ $=\frac{9}{35}+\frac{11}{35}=\frac{9+11}{35}=\frac{20}{35}$ সুতরাং, দৈব চলক $x$ এর বিন্যাস ফাংশন হলো: $\therefore [\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(0)]=\left[1-\frac{15}{35}\right]$ $=\left[\frac{35-15}{35}\right]=\frac{20}{35}$ এখানে, $P(0<x \leq 2)=[F(2)-F(0)]$ অতএব, উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{P}(0<\mathrm{x} \leq 2)$ এবং $[\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(0)]$ উভয়ের মান সমান। অর্থাৎ, $P(0<x \leq 2)=[F(2)-F(0)]$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ:

Jessore · 2025

ক

সম্ভাবনা বিন্যাস কাকে বলে?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের প্রতিটি মানের বিপরীতে উহাদের নিজ নিজ সম্ভাবনা যে সারণিতে উপস্থাপন করা হয় তাকে সম্ভাবনা বিন্যাস বলে।

খ

"ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা। ব্যাখ্যা: যে পরীক্ষায় কি কি ফলাফল পাওয়া যাবে তা পূর্ব থেকে জানা থাকে এবং প্রতিটি ফলাফলের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে অথচ পরীক্ষাটি সম্পন্ন করা হলে কোন ফলটি আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না এরূপ পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলে।

গ

উদ্দীপকের আলোকে $P(2<x \leq 5)$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস : $\therefore \mathrm{P}(2<\mathrm{x} \leq 5)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5)$ $=0.1+0.18+0.25=0.53$ সুতরাং, $\mathrm{P}(2<\mathrm{x} \leq 5) =0.53$

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে $P(1 \leq x \leq 4)=F(4)-F(0)$ এর সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' এর সম্ভাবনা বিন্যাস ব্যবহার করে, $\therefore \mathrm{P}(1<\mathrm{x} \leq 4)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)$ $=0.15+0.12+0.1+0.18=0.55$ দোকান বিক্রির সংখ্যা $(x)$ এর বিন্যাস ফাংশনটি হলো নিম্নরূপ : $\therefore \quad F(4)-F(0)=0.75-0.2=0.55$ এখানে, $P(1<x \leq 4)=F(4)-F(0)$ সুতরাং, উদ্দীপকের আলোকে $P(1<x \leq 4)=F(4)-F(0)$ সম্পর্কটি সঠিক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ:

Jessore · 2025

ক

সম্ভাবনা বিন্যাস কাকে বলে?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের প্রতিটি মানের বিপরীতে উহাদের নিজ নিজ সম্ভাবনা যে সারণিতে উপস্থাপন করা হয় তাকে সম্ভাবনা বিন্যাস বলে।

খ

"ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা। ব্যাখ্যা: যে পরীক্ষায় কি কি ফলাফল পাওয়া যাবে তা পূর্ব থেকে জানা থাকে এবং প্রতিটি ফলাফলের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে অথচ পরীক্ষাটি সম্পন্ন করা হলে কোন ফলটি আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না এরূপ পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলে।

গ

উদ্দীপকের আলোকে $P(2<x \leq 5)$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস : $\therefore \mathrm{P}(2<\mathrm{x} \leq 5)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5)$ $=0.1+0.18+0.25=0.53$ সুতরাং, $\mathrm{P}(2<\mathrm{x} \leq 5) =0.53$

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে $P(1 \leq x \leq 4)=F(4)-F(0)$ এর সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' এর সম্ভাবনা বিন্যাস ব্যবহার করে, $\therefore \mathrm{P}(1<\mathrm{x} \leq 4)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)$ $=0.15+0.12+0.1+0.18=0.55$ দোকান বিক্রির সংখ্যা $(x)$ এর বিন্যাস ফাংশনটি হলো নিম্নরূপ : $\therefore \quad F(4)-F(0)=0.75-0.2=0.55$ এখানে, $P(1<x \leq 4)=F(4)-F(0)$ সুতরাং, উদ্দীপকের আলোকে $P(1<x \leq 4)=F(4)-F(0)$ সম্পর্কটি সঠিক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক: $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2 .$

Dhaka · 2025

ক

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক কাকে বলে?

উত্তর

যে দৈব চলকের মানগুলো পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে।

খ

$5 \leq \mathrm{x} \leq 15$ কী ধরনের দৈব চলক? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

যে দৈব চলক কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যবর্তী যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে তাকে অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে। অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের কোনো নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায় না। কিন্তু এর মান কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকায় সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায়। এখানে, $5 \leq x \leq 15$ দ্বারা বুঝায়, $x$ এর মান 5 থেকে 15 এর মধ্যবর্তী যেকোনো করতে পারে। সুতরাং, $x$ হলো একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক। অতএব, $5 \leq x \leq 15$ এটি একট অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

গ

উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $k$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকে প্রদত্ত বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক, $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2$ দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস হবে নিম্নরূপ : আমরা জানি, $\sum_{x=-2}^2 P(x)=1$ বা, $\mathrm{P}(\mathrm{x}=-2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=-1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)=1$ বা, $\frac{-4+\mathrm{k}}{35}+\frac{-2+\mathrm{k}}{35}+\frac{\mathrm{k}}{35}+\frac{2+\mathrm{k}}{35}+\frac{4+\mathrm{k}}{35}=1$ বা, $\frac{-4+k-2+k+k+2+k+4+k}{35}=1$ বা, $\frac{5 \mathrm{k}}{35}=1$ বা, $5 \mathrm{k}=35$ বা, $k=\frac{35}{5} \therefore k=7$ সুতরাং, উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $\mathrm{k}=7$.

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে $P(0<x \leq 2)$ এবং $[F(2)-F(0)]$ এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'ক' হতে পাই, $k = 7$ $k$ এর মান $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, $\therefore \mathrm{P}(0<\mathrm{x} \leq 2)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)$ $=\frac{9}{35}+\frac{11}{35}=\frac{9+11}{35}=\frac{20}{35}$ সুতরাং, দৈব চলক $x$ এর বিন্যাস ফাংশন হলো: $\therefore [\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(0)]=\left[1-\frac{15}{35}\right]$ $=\left[\frac{35-15}{35}\right]=\frac{20}{35}$ এখানে, $P(0<x \leq 2)=[F(2)-F(0)]$ অতএব, উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{P}(0<\mathrm{x} \leq 2)$ এবং $[\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(0)]$ উভয়ের মান সমান। অর্থাৎ, $P(0<x \leq 2)=[F(2)-F(0)]$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক: $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2 .$

Dhaka · 2025

ক

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক কাকে বলে?

উত্তর

যে দৈব চলকের মানগুলো পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে।

খ

$5 \leq \mathrm{x} \leq 15$ কী ধরনের দৈব চলক? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

যে দৈব চলক কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যবর্তী যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে তাকে অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে। অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের কোনো নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায় না। কিন্তু এর মান কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকায় সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায়। এখানে, $5 \leq x \leq 15$ দ্বারা বুঝায়, $x$ এর মান 5 থেকে 15 এর মধ্যবর্তী যেকোনো করতে পারে। সুতরাং, $x$ হলো একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক। অতএব, $5 \leq x \leq 15$ এটি একট অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

গ

উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $k$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

উদ্দীপকে প্রদত্ত বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক, $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2$ দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস হবে নিম্নরূপ : আমরা জানি, $\sum_{x=-2}^2 P(x)=1$ বা, $\mathrm{P}(\mathrm{x}=-2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=-1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)=1$ বা, $\frac{-4+\mathrm{k}}{35}+\frac{-2+\mathrm{k}}{35}+\frac{\mathrm{k}}{35}+\frac{2+\mathrm{k}}{35}+\frac{4+\mathrm{k}}{35}=1$ বা, $\frac{-4+k-2+k+k+2+k+4+k}{35}=1$ বা, $\frac{5 \mathrm{k}}{35}=1$ বা, $5 \mathrm{k}=35$ বা, $k=\frac{35}{5} \therefore k=7$ সুতরাং, উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $\mathrm{k}=7$.

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে $P(0<x \leq 2)$ এবং $[F(2)-F(0)]$ এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।

উত্তর

'ক' হতে পাই, $k = 7$ $k$ এর মান $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাসে বসিয়ে পাই, $\therefore \mathrm{P}(0<\mathrm{x} \leq 2)$ $=\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)$ $=\frac{9}{35}+\frac{11}{35}=\frac{9+11}{35}=\frac{20}{35}$ সুতরাং, দৈব চলক $x$ এর বিন্যাস ফাংশন হলো: $\therefore [\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(0)]=\left[1-\frac{15}{35}\right]$ $=\left[\frac{35-15}{35}\right]=\frac{20}{35}$ এখানে, $P(0<x \leq 2)=[F(2)-F(0)]$ অতএব, উদ্দীপকের আলোকে $\mathrm{P}(0<\mathrm{x} \leq 2)$ এবং $[\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(0)]$ উভয়ের মান সমান। অর্থাৎ, $P(0<x \leq 2)=[F(2)-F(0)]$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

সিয়াম এবং কিয়াম দুই ভাই। তারা একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করল। তারা বলল যে, মুদ্রা হতে টেল পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

Dhaka · 2017

ক

চেষ্টা কী?

উত্তর

নির্দিষ্ট কিছু শর্তসাপেক্ষে কোনো কাজ একবার সম্পাদন করা হলে সে কাজই চেষ্টা বা ট্রায়াল।

খ

স্বাধীন ঘটনা কি বর্জনশীল ঘটনা হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দুটি ঘটনা একত্রে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না। ব্যাখ্যা : মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A ও B দুটি বাস্তব ঘটনা যেন P(A) $\neq$ 0 এবং P(B) $\neq$ 0। এখন A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, P(A$\cap$B) $\neq$ P(A) P(B) হবে। যেহেতু P(A) $\neq$ 0 এবং P(B) $\neq$ 0 $\therefore$ P(A$\cap$B) 0$\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i)$ আবার, A ও B ঘটনা দুটি বর্জনশীল হলে (A$\cap$B) এর অনুকূল উপাদান বা ফলাফল শূন্য। অর্থাৎ (A$\cap$B) = Ø O, P(A$\cap$B) = 0

$$\ldots\ldots\ldots.. (ii) (i)$$

ও (ii) হতে দেখা যাচ্ছে যে, দুটি ঘটনা একত্রে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।

গ

ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্রটি নিচে উল্লেখ করা হলো : $\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $\mathrm{n}(\mathrm{S})=\left(2^1 \times 6^1\right)=12$ মনে করি, $\mathrm{A}=$ = ছক্কা 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা মনে করি, A = ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা A এর অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : H2, H4, H6, T2, T 4, T6 $\therefore \quad n(A)=6$ $\therefore\mathrm{P}$ (ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য) $=\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}$ $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ $\therefore$ ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংথ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$।

ঘ

দুই ভাইয়ের বক্তব্য সঠিক কি-না সম্ভাবনার ভিত্তিতে মতামত দাও।

উত্তর

মনে করি, B = মুদ্রায় টেল পাওয়ার ঘটনা এবং C = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B এর অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : $\mathrm{T} 1, \mathrm{~T} 2, \mathrm{~T} 3, \text{ T } 4, \text{ T } 5, \text{ T } 6$ $\therefore \mathrm{n}(\mathrm{B})=6$ P(মুদ্রায় টেল) $=\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ C-এর অনুকূল নমুনাবিন্দগুলো হলো : H1, H3, H5, T1, T3, T5 $\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{C})=6$ P(ছক্কায় বিজোড়) $=\mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}$ $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ আবার, $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=$ মুদ্রায় টেল ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার ঘটনা। $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$-এর অনুকূল নমুনাবিন্দুগুলো হলো : $\mathrm{T} 1, \mathrm{~T} 3, \mathrm{~T} 5$ $\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=3$ $\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ $\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})$ $=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ $\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{C})$ সুতরাং ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ দুই ভাইয়ের রক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

সিয়াম এবং কিয়াম দুই ভাই। তারা একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করল। তারা বলল যে, মুদ্রা হতে টেল পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

Dhaka · 2017

ক

চেষ্টা কী?

উত্তর

নির্দিষ্ট কিছু শর্তসাপেক্ষে কোনো কাজ একবার সম্পাদন করা হলে সে কাজই চেষ্টা বা ট্রায়াল।

খ

স্বাধীন ঘটনা কি বর্জনশীল ঘটনা হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দুটি ঘটনা একত্রে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না। ব্যাখ্যা : মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A ও B দুটি বাস্তব ঘটনা যেন P(A) $\neq$ 0 এবং P(B) $\neq$ 0। এখন A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, P(A$\cap$B) $\neq$ P(A) P(B) হবে। যেহেতু P(A) $\neq$ 0 এবং P(B) $\neq$ 0 $\therefore$ P(A$\cap$B) 0$\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i)$ আবার, A ও B ঘটনা দুটি বর্জনশীল হলে (A$\cap$B) এর অনুকূল উপাদান বা ফলাফল শূন্য। অর্থাৎ (A$\cap$B) = Ø O, P(A$\cap$B) = 0

$$\ldots\ldots\ldots.. (ii) (i)$$

ও (ii) হতে দেখা যাচ্ছে যে, দুটি ঘটনা একত্রে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।

গ

ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্রটি নিচে উল্লেখ করা হলো : $\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $\mathrm{n}(\mathrm{S})=\left(2^1 \times 6^1\right)=12$ মনে করি, $\mathrm{A}=$ = ছক্কা 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা মনে করি, A = ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা A এর অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : H2, H4, H6, T2, T 4, T6 $\therefore \quad n(A)=6$ $\therefore\mathrm{P}$ (ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য) $=\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}$ $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ $\therefore$ ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংথ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$।

ঘ

দুই ভাইয়ের বক্তব্য সঠিক কি-না সম্ভাবনার ভিত্তিতে মতামত দাও।

উত্তর

মনে করি, B = মুদ্রায় টেল পাওয়ার ঘটনা এবং C = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B এর অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : $\mathrm{T} 1, \mathrm{~T} 2, \mathrm{~T} 3, \text{ T } 4, \text{ T } 5, \text{ T } 6$ $\therefore \mathrm{n}(\mathrm{B})=6$ P(মুদ্রায় টেল) $=\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ C-এর অনুকূল নমুনাবিন্দগুলো হলো : H1, H3, H5, T1, T3, T5 $\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{C})=6$ P(ছক্কায় বিজোড়) $=\mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}$ $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ আবার, $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=$ মুদ্রায় টেল ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার ঘটনা। $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$-এর অনুকূল নমুনাবিন্দুগুলো হলো : $\mathrm{T} 1, \mathrm{~T} 3, \mathrm{~T} 5$ $\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=3$ $\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ $\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})$ $=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ $\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{C})$ সুতরাং ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ দুই ভাইয়ের রক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো