Chapter 2: দৈব চলক ও সম্ভাবনা বিন্যাস Statistics 2nd Paper

HSC Statistics 2nd Paper এর Chapter 2: দৈব চলক ও সম্ভাবনা বিন্যাস অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

২৭৭

প্রশ্ন

Statistics 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সিয়াম এবং কিয়াম দুই ভাই। তারা একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করল। তারা বলল যে, মুদ্রা হতে টেল পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

Dhaka · 2017

ক
চেষ্টা কী?

উত্তর

নির্দিষ্ট কিছু শর্তসাপেক্ষে কোনো কাজ একবার সম্পাদন করা হলে সে কাজই চেষ্টা বা ট্রায়াল।
খ
স্বাধীন ঘটনা কি বর্জনশীল ঘটনা হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দুটি ঘটনা একত্রে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না। ব্যাখ্যা : মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A ও B দুটি বাস্তব ঘটনা যেন P(A) ≠\neq 0 এবং P(B) ≠\neq 0। এখন A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, P(A∩\capB) ≠\neq P(A) P(B) হবে। যেহেতু P(A) ≠\neq 0 এবং P(B) ≠\neq 0 ∴\therefore P(A∩\capB) 0…………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) আবার, A ও B ঘটনা দুটি বর্জনশীল হলে (A∩\capB) এর অনুকূল উপাদান বা ফলাফল শূন্য। অর্থাৎ (A∩\capB) = Ø O, P(A∩\capB) = 0
………..(ii)(i)\ldots\ldots\ldots.. (ii) (i)
ও (ii) হতে দেখা যাচ্ছে যে, দুটি ঘটনা একত্রে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।
গ
ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্রটি নিচে উল্লেখ করা হলো : question image ∴\therefore মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S)=(21×61)=12\mathrm{n}(\mathrm{S})=\left(2^1 \times 6^1\right)=12 মনে করি, A=\mathrm{A}= = ছক্কা 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা মনে করি, A = ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা A এর অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : H2, H4, H6, T2, T 4, T6 ∴n(A)=6\therefore \quad n(A)=6 ∴P\therefore\mathrm{P} (ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য) =P(A)=n(A)n(S)=\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})} =612=12=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} ∴\therefore ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংথ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা 12\frac{1}{2}।
ঘ
দুই ভাইয়ের বক্তব্য সঠিক কি-না সম্ভাবনার ভিত্তিতে মতামত দাও।

উত্তর

মনে করি, B = মুদ্রায় টেল পাওয়ার ঘটনা এবং C = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B এর অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : T1, T2, T3, T 4, T 5, T 6\mathrm{T} 1, \mathrm{~T} 2, \mathrm{~T} 3, \text{ T } 4, \text{ T } 5, \text{ T } 6 ∴n(B)=6\therefore \mathrm{n}(\mathrm{B})=6 P(মুদ্রায় টেল) =P(B)=n(B)n(S)=612=12=\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} C-এর অনুকূল নমুনাবিন্দগুলো হলো : H1, H3, H5, T1, T3, T5 ∴n(C)=6\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{C})=6 P(ছক্কায় বিজোড়) =P(C)=n(C)n(S)=\mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})} =612=12=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} আবার, B∩C=\mathrm{B} \cap \mathrm{C}= মুদ্রায় টেল ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার ঘটনা। B∩C\mathrm{B} \cap \mathrm{C}-এর অনুকূল নমুনাবিন্দুগুলো হলো : T1, T3, T5\mathrm{T} 1, \mathrm{~T} 3, \mathrm{~T} 5 ∴n(B∩C)=3\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=3 P(B∩C)=n(B∩C)n(S)=312=14\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} ∴P(B∩C)=P(B)×P(C)\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C}) =12×12=14=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} ∴P(B∩C)=P(B)⋅P(C)\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{C}) সুতরাং ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ দুই ভাইয়ের রক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সিয়াম এবং কিয়াম দুই ভাই। তারা একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করল। তারা বলল যে, মুদ্রা হতে টেল পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

Dhaka · 2017

ক
চেষ্টা কী?

উত্তর

নির্দিষ্ট কিছু শর্তসাপেক্ষে কোনো কাজ একবার সম্পাদন করা হলে সে কাজই চেষ্টা বা ট্রায়াল।
খ
স্বাধীন ঘটনা কি বর্জনশীল ঘটনা হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দুটি ঘটনা একত্রে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না। ব্যাখ্যা : মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A ও B দুটি বাস্তব ঘটনা যেন P(A) ≠\neq 0 এবং P(B) ≠\neq 0। এখন A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, P(A∩\capB) ≠\neq P(A) P(B) হবে। যেহেতু P(A) ≠\neq 0 এবং P(B) ≠\neq 0 ∴\therefore P(A∩\capB) 0…………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) আবার, A ও B ঘটনা দুটি বর্জনশীল হলে (A∩\capB) এর অনুকূল উপাদান বা ফলাফল শূন্য। অর্থাৎ (A∩\capB) = Ø O, P(A∩\capB) = 0
………..(ii)(i)\ldots\ldots\ldots.. (ii) (i)
ও (ii) হতে দেখা যাচ্ছে যে, দুটি ঘটনা একত্রে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।
গ
ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্রটি নিচে উল্লেখ করা হলো : question image ∴\therefore মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S)=(21×61)=12\mathrm{n}(\mathrm{S})=\left(2^1 \times 6^1\right)=12 মনে করি, A=\mathrm{A}= = ছক্কা 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা মনে করি, A = ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা A এর অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : H2, H4, H6, T2, T 4, T6 ∴n(A)=6\therefore \quad n(A)=6 ∴P\therefore\mathrm{P} (ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য) =P(A)=n(A)n(S)=\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})} =612=12=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} ∴\therefore ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংথ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা 12\frac{1}{2}।
ঘ
দুই ভাইয়ের বক্তব্য সঠিক কি-না সম্ভাবনার ভিত্তিতে মতামত দাও।

উত্তর

মনে করি, B = মুদ্রায় টেল পাওয়ার ঘটনা এবং C = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B এর অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : T1, T2, T3, T 4, T 5, T 6\mathrm{T} 1, \mathrm{~T} 2, \mathrm{~T} 3, \text{ T } 4, \text{ T } 5, \text{ T } 6 ∴n(B)=6\therefore \mathrm{n}(\mathrm{B})=6 P(মুদ্রায় টেল) =P(B)=n(B)n(S)=612=12=\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} C-এর অনুকূল নমুনাবিন্দগুলো হলো : H1, H3, H5, T1, T3, T5 ∴n(C)=6\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{C})=6 P(ছক্কায় বিজোড়) =P(C)=n(C)n(S)=\mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})} =612=12=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} আবার, B∩C=\mathrm{B} \cap \mathrm{C}= মুদ্রায় টেল ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার ঘটনা। B∩C\mathrm{B} \cap \mathrm{C}-এর অনুকূল নমুনাবিন্দুগুলো হলো : T1, T3, T5\mathrm{T} 1, \mathrm{~T} 3, \mathrm{~T} 5 ∴n(B∩C)=3\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=3 P(B∩C)=n(B∩C)n(S)=312=14\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} ∴P(B∩C)=P(B)×P(C)\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C}) =12×12=14=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} ∴P(B∩C)=P(B)⋅P(C)\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{C}) সুতরাং ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ দুই ভাইয়ের রক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

রুমার কাছে ১টি লাল ও 4টি সাদা বল আছে। রুমা 2টি বল দৈবভাবে নির্বাচন করে।

Dhaka · 2017

ক
নমুনা বিন্দু কী?

উত্তর

নমুনা বিন্দু হলো নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি ফলাফল বা উপাদান।
খ
'A′A^{\prime} ঘটনার সম্ভাবনা 0.83। 'A′A^{\prime} কি ধরনের ঘটনা? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

'A′A^{\prime} ঘটনার সম্ভাবনা 0.83 হলে A হবে একটি অনিশ্চিত ঘটনা। মূলত যা ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনা ঘটবার ক্ষেত্রে পরিপূর্ণ নিশ্চয়তা থাকে না। অর্থাৎ যে ঘটনাটি ঘটতেও পারে, আবার নাও ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান শূন্যের (0) চেয়ে বেশি কিন্তু 1 থেকে ছোট' অর্থাৎ 0 < P(A) < 1।
গ
রুমা কর্তৃক নির্বাচিত বল 2টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

উত্তর

লাল বলের সংখ্যা = 5 টি সাদা বলের সংখ্যা = 4 টি মোট বল = 9 টি পাত্র হতে 2টি বল মোট 9C2{ }^9 \mathrm{C}_2 উপায়ে নির্বাচন করা যায়। রুমা কর্তৃক নির্বাচিত বল 2টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = P(বলদ্বয় সাদা) =4C29C2=636=16=\frac{{ }^4 C_2}{{ }_9 C_2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} ∴\therefore রুমা কর্তৃক নির্বাচিত বল 2টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা 16\frac{1}{6}।
ঘ
বল 2টি একই রঙের এবং ভিন্ন রঙের পাওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা কি-না সম্ভাবনার ভিত্তিতে মন্তব্য কর।

উত্তর

বলদ্বয় একই রঙের পাওয়ার সম্ভাবনা =P(=\mathrm{P}( বলদ্বয় লাল বা সাদা )=P()=\mathrm{P}( বলদ্বয় লাল )+P()+\mathrm{P}( বলদ্বয় সাদা )) =5C29C2+4C29C2=\frac{{ }^5 C_2}{{ }^9 C_2}+\frac{{ }^4 C_2}{{ }^9 C_2} =1036+636=10+636=1636=49=\frac{10}{36}+\frac{6}{36}=\frac{10+6}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9} বলদ্বয় ভিন্ন রঙের পাওয়ার সম্ভাবনা = P(বলদ্বয়ের মধ্যে একটি লাল ও একটি সাদা) =5C1×4C19C2=5×436=2036=59=\frac{{ }^5 \mathrm{C}_1 \times{ }^4 \mathrm{C}_1}{{ }^9 \mathrm{C}_2}=\frac{5 \times 4}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9} বল 2টি একই রঙের এবং ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনার সমষ্টি =49+59=4+59=99=1=\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=\frac{4+5}{9}=\frac{9}{9}=1 ∴\therefore বলা যায়, ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

রুমার কাছে ১টি লাল ও 4টি সাদা বল আছে। রুমা 2টি বল দৈবভাবে নির্বাচন করে।

Dhaka · 2017

ক
নমুনা বিন্দু কী?

উত্তর

নমুনা বিন্দু হলো নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি ফলাফল বা উপাদান।
খ
'A′A^{\prime} ঘটনার সম্ভাবনা 0.83। 'A′A^{\prime} কি ধরনের ঘটনা? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

'A′A^{\prime} ঘটনার সম্ভাবনা 0.83 হলে A হবে একটি অনিশ্চিত ঘটনা। মূলত যা ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনা ঘটবার ক্ষেত্রে পরিপূর্ণ নিশ্চয়তা থাকে না। অর্থাৎ যে ঘটনাটি ঘটতেও পারে, আবার নাও ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান শূন্যের (0) চেয়ে বেশি কিন্তু 1 থেকে ছোট' অর্থাৎ 0 < P(A) < 1।
গ
রুমা কর্তৃক নির্বাচিত বল 2টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

উত্তর

লাল বলের সংখ্যা = 5 টি সাদা বলের সংখ্যা = 4 টি মোট বল = 9 টি পাত্র হতে 2টি বল মোট 9C2{ }^9 \mathrm{C}_2 উপায়ে নির্বাচন করা যায়। রুমা কর্তৃক নির্বাচিত বল 2টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = P(বলদ্বয় সাদা) =4C29C2=636=16=\frac{{ }^4 C_2}{{ }_9 C_2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} ∴\therefore রুমা কর্তৃক নির্বাচিত বল 2টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা 16\frac{1}{6}।
ঘ
বল 2টি একই রঙের এবং ভিন্ন রঙের পাওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা কি-না সম্ভাবনার ভিত্তিতে মন্তব্য কর।

উত্তর

বলদ্বয় একই রঙের পাওয়ার সম্ভাবনা =P(=\mathrm{P}( বলদ্বয় লাল বা সাদা )=P()=\mathrm{P}( বলদ্বয় লাল )+P()+\mathrm{P}( বলদ্বয় সাদা )) =5C29C2+4C29C2=\frac{{ }^5 C_2}{{ }^9 C_2}+\frac{{ }^4 C_2}{{ }^9 C_2} =1036+636=10+636=1636=49=\frac{10}{36}+\frac{6}{36}=\frac{10+6}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9} বলদ্বয় ভিন্ন রঙের পাওয়ার সম্ভাবনা = P(বলদ্বয়ের মধ্যে একটি লাল ও একটি সাদা) =5C1×4C19C2=5×436=2036=59=\frac{{ }^5 \mathrm{C}_1 \times{ }^4 \mathrm{C}_1}{{ }^9 \mathrm{C}_2}=\frac{5 \times 4}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9} বল 2টি একই রঙের এবং ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনার সমষ্টি =49+59=4+59=99=1=\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=\frac{4+5}{9}=\frac{9}{9}=1 ∴\therefore বলা যায়, ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x এর সম্ভাবনা অপেক্ষক নিম্নরূপ : question image

Dhaka · 2019

ক
দৈব চলক কি?

উত্তর

যে চলক একটি দৈব পরীক্ষার ফলাফলকে পরিমাপ করে এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাই দৈব চলক।
খ
মুদ্রা নিক্ষেপণ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা নির্দেশকারী চলকের প্রকৃতি ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মুদ্রা নিক্ষেপণ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা নির্দেশকারী চলক হলো একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক। ব্যাখ্যা : যে দৈব চলকের মানগুলো পুরস্পর বিচ্ছিন্ন হয় এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে। যেমন- একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা নির্দেশকারী চলক, x = 0, 1, 2 মানগুলো পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং চলকের মানগুলোর সম্ভাবনা যথাক্রমে 14,24,14\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{1}{4} হবে। অতএব, মুদ্রা নিক্ষেপণ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা নির্দেশকারী চলক হলো একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক।
গ
P(1≤ x ≤ 4 ) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

x একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক। বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের ক্ষেত্রে আমরা জানি, ∑5P(x)=1\sum^{5} P(x)=1 ব, 110+15+3k+2k+15+110=1\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+3 k+2 k+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=1 বা, 0.1+0.2+3k+2k+0.2+0.1=10.1+0.2+3 k+2 k+0.2+0.1=1 বা, 0.6+5k=10.6+5 \mathrm{k}=1 বা, 5k=1−0.6=0.45 \mathrm{k}=1-0.6=0.4 ∴k=0.45=0.08\therefore \quad k=\frac{0.4}{5}=0.08 এখন, k=0.08\mathrm{k}=0.08 বসিয়ে দৈব চলক x এর সম্ভাবনা অপেক্ষকটি পাই, question image এখন, P(1≤x≤4)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)\mathrm{P}(1 \leq \mathrm{x} \leq 4) =\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4) =0.2+0.24+0.16+0.2=0.2+0.24+0.16+0.2 =0.8=0.8 সুতরাং, P(1≤x≤4)=0.8\mathrm{P}(1 \leq \mathrm{x} \leq 4)=0.8.
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে P(1≤ x ≤ 4 ) = F(4) – F(1) এর সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x-এর বিন্যাস ফাংশন হলো নিম্নরূপ : question image এখন, বামপক্ষ = P(1 ≤ x ≤ 4) =0.8" ['গ' হতে পাই] " ডানপক্ষ = F(4)-F(1)=0.9-0.3=0.6 সুতরাং, বামপক্ষ ≠ ডানপক্ষ। অর্থাৎ, P(1≤x≤4)≠F(4)-F(1)। অতএব, P(1≤x≤4)=F(4)-F(1) গাণিতিক সম্পর্কটি সত্য নয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x এর সম্ভাবনা অপেক্ষক নিম্নরূপ : question image

Dhaka · 2019

ক
দৈব চলক কি?

উত্তর

যে চলক একটি দৈব পরীক্ষার ফলাফলকে পরিমাপ করে এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাই দৈব চলক।
খ
মুদ্রা নিক্ষেপণ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা নির্দেশকারী চলকের প্রকৃতি ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মুদ্রা নিক্ষেপণ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা নির্দেশকারী চলক হলো একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক। ব্যাখ্যা : যে দৈব চলকের মানগুলো পুরস্পর বিচ্ছিন্ন হয় এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে। যেমন- একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা নির্দেশকারী চলক, x = 0, 1, 2 মানগুলো পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং চলকের মানগুলোর সম্ভাবনা যথাক্রমে 14,24,14\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{1}{4} হবে। অতএব, মুদ্রা নিক্ষেপণ পরীক্ষায় উপরের পিঠে মাথা নির্দেশকারী চলক হলো একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক।
গ
P(1≤ x ≤ 4 ) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

x একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক। বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের ক্ষেত্রে আমরা জানি, ∑5P(x)=1\sum^{5} P(x)=1 ব, 110+15+3k+2k+15+110=1\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+3 k+2 k+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=1 বা, 0.1+0.2+3k+2k+0.2+0.1=10.1+0.2+3 k+2 k+0.2+0.1=1 বা, 0.6+5k=10.6+5 \mathrm{k}=1 বা, 5k=1−0.6=0.45 \mathrm{k}=1-0.6=0.4 ∴k=0.45=0.08\therefore \quad k=\frac{0.4}{5}=0.08 এখন, k=0.08\mathrm{k}=0.08 বসিয়ে দৈব চলক x এর সম্ভাবনা অপেক্ষকটি পাই, question image এখন, P(1≤x≤4)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)\mathrm{P}(1 \leq \mathrm{x} \leq 4) =\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4) =0.2+0.24+0.16+0.2=0.2+0.24+0.16+0.2 =0.8=0.8 সুতরাং, P(1≤x≤4)=0.8\mathrm{P}(1 \leq \mathrm{x} \leq 4)=0.8.
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে P(1≤ x ≤ 4 ) = F(4) – F(1) এর সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x-এর বিন্যাস ফাংশন হলো নিম্নরূপ : question image এখন, বামপক্ষ = P(1 ≤ x ≤ 4) =0.8" ['গ' হতে পাই] " ডানপক্ষ = F(4)-F(1)=0.9-0.3=0.6 সুতরাং, বামপক্ষ ≠ ডানপক্ষ। অর্থাৎ, P(1≤x≤4)≠F(4)-F(1)। অতএব, P(1≤x≤4)=F(4)-F(1) গাণিতিক সম্পর্কটি সত্য নয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো