ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত] এবং [গণিত] .
উত্তর: [চিত্র] এখানে, [গণিত] -এর AB ও AC বাহুদ্ময়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] . প্রমাণ : D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু । [গণিত] এবং [গণিত] হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] (1) ও (2) হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং [গণিত] ও [গণিত] ভেন্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় DE এবং BC সমান্তরাল। ∴ [গণিত] এবং [গণিত] . (প্রমাণিত)
SSC উচ্চতর গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · উচ্চতর গণিত · সৃজনশীল
ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, এবং .
উদ্দীপক
এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু D ও E .
উত্তর
এখানে, , ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী,
AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E.
এবং
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুযায়ী,
বা,
বা,
উত্তর
এখানে, -এর AB ও AC বাহুদ্ময়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, এবং .
প্রমাণ : D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু ।
এবং
হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,
বা,
বা,
বা,
আবার, হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,
(1) ও (2) হতে পাই,
বা,
আবার, ও ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং ও ভেন্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় DE এবং BC সমান্তরাল।
∴ এবং . (প্রমাণিত)উত্তর
এখানে BCED ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয় BD ও CE এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N । M,N যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে,
এবং
প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে B, C, E ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b, c, e ও d ।তাহলে, M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
& =\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{e})-\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{d}) \\ & =\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{e}-\underline{b}-\underline{d})=\frac{1}{2}\{(\underline{c}-\underline{b})+(\underline{e}-\underline{d})\}\end{aligned}
এবং
বা,
আবার, এবং সমান্তরাল বলে ভেক্টরটিও ও এর সমান্তরাল । অর্থাৎ এবং (প্রমাণিত)