Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] প্রদত্ত রাশির ৩য় ও ৪র্থ পদের যোগফল [গণিত] এখন, ২য়, ৩য় ও ৪র্থ পদের যোগফল [গণিত] প্রদত্ত রাশি [গণিত] সুতরাং, [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে,

উদ্দীপক

f(p)=1x+p+2xx2+2p+4x3x4+4p2+8x716p4−x8f(p)=\frac{1}{x+p}+\frac{2 x}{x^2+2 p}+\frac{4 x^3}{x^4+4 p^2}+\frac{8 x^7}{16 p^4-x^8} এবং z=1−3y1+3yz=\frac{1-3 y}{1+3 y}

উত্তর

ধরি, p(x)=2x3+(ax)2+ax+6p(x)=2 x^3+(a x)^2+a x+6 (x+2),p(x)(\mathrm{x}+2), \mathrm{p}(\mathrm{x}) এর একটি উৎপাদক হলে, p(−2)=0\mathrm{p}(-2)=0 হবে। অর্থাৎ, p(−2)=0p(-2)=0 বা, 2(−2)3+{a(−2)}2+a(−2)+6=02(-2)^3+\{\mathrm{a}(-2)\}^2+\mathrm{a}(-2)+6=0 বা, 2(−8)+4a2−2a+6=02(-8)+4 a^2-2 a+6=0 বা, −16+4a2−2a+6=0-16+4 a^2-2 a+6=0 বা, 4a2−2a−10=04 \mathrm{a}^2-2 \mathrm{a}-10=0 বা, 2a2−a−5=02 \mathrm{a}^2-\mathrm{a}-5=0 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ] ∴a=−(−1)±(−1)2−4⋅2⋅(−5)2⋅2=1±1+404=1±414\therefore a=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 2 \cdot(-5)}}{2 \cdot 2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+40}}{4}=\frac{1 \pm \sqrt{41}}{4} নির্ণেয় মান : a=1±414a=\frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(p)=1x+p+2xx2+2p+4x3x4+4p2+8x716p4−x8f(p)=\frac{1}{x+p}+\frac{2 x}{x^2+2 p}+\frac{4 x^3}{x^4+4 p^2}+\frac{8 x^7}{16 p^4-x^8} এখানে, f(2)=1x+2+2xx2+2.2+4x3x4+4.22+8x716.24−x8f(2)=\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{x^2+2.2}+\frac{4 x^3}{x^4+4.2^2}+\frac{8 x^7}{16.2^4-x^8} =1x+2+2xx2+4+4x3x4+16+8x7256−x8=\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{x^2+4}+\frac{4 x^3}{x^4+16}+\frac{8 x^7}{256-x^8} প্রদত্ত রাশির ৩য় ও ৪র্থ পদের যোগফল =4x3x4+16+8x7256−x8=4x3x4+24+8x728−x8=\frac{4 x^3}{x^4+16}+\frac{8 x^7}{256-x^8}=\frac{4 x^3}{x^4+2^4}+\frac{8 x^7}{2^8-x^8} =\frac{4 x^3}{2^4+x^4}+\frac{8 x^7}{\left(2^4\right}^2-\left(x^4\right)^2}=\frac{4 x^3}{2^4+x^4}+\frac{8 x^7}{\left(2^4+x^4\right}\left(2^4-x^4\right)} =4x324+x4(1+2x4(24−x4))=\frac{4 x^3}{2^4+x^4}\left(1+\frac{2 x^4}{\left(2^4-x^4\right)}\right) =4x324+x4×24−x4+2x424+x4=4x324+x4×24+x424−x4=4x324−x4=\frac{4 x^3}{2^4+x^4} \times \frac{2^4-x^4+2 x^4}{2^4+x^4}=\frac{4 x^3}{2^4+x^4} \times \frac{2^4+x^4}{2^4-x^4}=\frac{4 x^3}{2^4-x^4} এখন, ২য়, ৩য় ও ৪র্থ পদের যোগফল =2xx2+4+4x324−x4=\frac{2 x}{x^2+4}+\frac{4 x^3}{2^4-x^4} =\frac{2 x}{x^2+2^2}+\frac{4 x^3}{\left(2^2\right}^2-\left(x^2\right)^2}=\frac{2 x}{x^2+2^2}+\frac{4 x^3}{\left(2^2+x^2\right}-\left(2^2-x^2\right)} =2x22+x2(1+2x222−x2)=2x22+x2×22−x2+2x222−x2=\frac{2 x}{2^2+x^2}\left(1+\frac{2 x^2}{2^2-x^2}\right)=\frac{2 x}{2^2+x^2} \times \frac{2^2-x^2+2 x^2}{2^2-x^2} =2x22+x2×22+x222−x2=2x22−x2=\frac{2 x}{2^2+x^2} \times \frac{2^2+x^2}{2^2-x^2}=\frac{2 x}{2^2-x^2} ∴\therefore প্রদত্ত রাশি 1x+2+2x22−x2\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{2^2-x^2} =\frac{1}{2+x}+\frac{2 x}{(2+x}(2-x)}=\frac{1}{2+x}\left(1+\frac{2 x}{2-x}\right) =12+x×2−x+2x2−x=12+x×2+x2−x=12−x=\frac{1}{2+x} \times \frac{2-x+2 x}{2-x}=\frac{1}{2+x} \times \frac{2+x}{2-x}=\frac{1}{2-x} সুতরাং, f(2)=12−xf(2)=\frac{1}{2-\mathrm{x}}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, z=1−3y1+3y\mathrm{z}=\frac{1-3 \mathrm{y}}{1+3 \mathrm{y}} শর্তমতে, g(y)=ln⁡z\mathrm{g}(\mathrm{y})=\ln \mathrm{z} বা, g(y)=ln⁡(1−3y1+3y)g(y)=\ln \left(\frac{1-3 y}{1+3 y}\right) যেহেতু শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার লগারিদম সজ্ঞায়িত সুতরাং, g(y)∈Rg(y) \in \mathbb{R} হবে যদি, 1−3y1+3y>0\frac{1-3 y}{1+3 y}>0 হয়। এখন, 1−3y1+3y>0\frac{1-3 \mathrm{y}}{1+3 \mathrm{y}}>0 হবে যখন- (i) 1−3y>01-3 \mathrm{y}>0 এবং 1+3y>01+3 \mathrm{y}>0 হয় অথবা (ii) 1−3y<01-3 y<0 এবং 1+3y<01+3 y<0 হয়। (i) নং হতে পাই, 1>3y1>3 y বা, 3y<13 y<1 বা, y<13y<\frac{1}{3} এবং 3y>−13 y>-1 বা, y>−13\mathrm{y}>-\frac{1}{3} ∴\therefore ডোমেন ={y∈R:y<13}∩{y∈R:y>−13}=\left\{y \in \mathbb{R}: y<\frac{1}{3}\right\} \cap\left\{y \in \mathbb{R}: y>-\frac{1}{3}\right\} =(−∞,13)∩(−13,∞)=(−13,13)=\left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cap\left(-\frac{1}{3}, \infty\right)=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) (ii) নং হতে পাই, 1<3y1<3 y বা, 3y>13 y>1 বা, y>13\mathrm{y}>\frac{1}{3} এবং 3y<−13 y<-1 বা, y<−13y<-\frac{1}{3} ∴\therefore ডোমেন ={y∈R:y>13}∩{y∈R:y<−13}=\left\{\mathrm{y} \in \mathbb{R}: \mathrm{y}>\frac{1}{3}\right\} \cap\left\{\mathrm{y} \in \mathbb{R}: \mathrm{y}<-\frac{1}{3}\right\} =(13,∞)∩(−∞,−13)=∅=\left(\frac{1}{3}, \infty\right) \cap\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)=\varnothing ∴\therefore ডোমেন, Dg=(−13,13)∪∅=(−13,13)\mathrm{D}_{\mathrm{g}}=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \cup \varnothing=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) ∴ নির্ণেয় ডোমেন: (−13,13)\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)
SSCউচ্চতর গণিত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে একবার নিক্ষেপ করা হলো।

Dinajpur · 2023

ক
যদি শুধু ছক্কাটি একবার নিক্ষেপ করা হয়, তবে মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত তা নির্ণয় কর।
খ
যদি মুদ্রা বাদে ছক্কাটি দুইবার নিক্ষেপ করা হয়, তবে নমুনাক্ষেত্র হতে একই ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে Probability tree অঙ্কন করে নমুনাক্ষেত্র হতে মুদ্রায় টেল ও ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

কোনো একটি লটারিতে 300টি টিকেট বিক্রি হয়েছে। লাবণ্য 20টি, ফারিয়া 30টি এবং দ্বীনা 25টি টিকেট কিনেছে। টিকেটগুলো ভালোভাবে মিশিয়ে একটি টিকেট দৈবভাবে প্রথম পুরস্কারের জন্য তোলা হলো :

Barisal · 2023

ক
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
লাবণ্য অথবা দ্বীনার প্রথম পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর তিনটি টিকেট তুল নেওয়া হয়, তবে সবগুলো টিকেট ফারিয়ার হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ঘটনা-ক: একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো। ঘটনা-খ: একটি ঝুড়িতে 15টি লাল, 17টি সাদা এবং 18টি কালো বল আছে। দৈবক্রমে একটি বল নেওয়া হলো।

Sylhet · 2023

ক
ঘটনা-ক এর probability tree অঙ্কন কর।
খ
ঘটনা-খ হতে বলটি- (i) কালো হওয়ার এবং (ii) লাল না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
যদি প্রতিস্থাপন না করে 4টি বল তুলে নেওয়া হয়, তবে সবগুলো বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলো। (ii) 14 টি টিকেটে 16 থেকে 29 পর্যন্ত ক্রমিক নম্বর দেওয়া আছে। টিকেটগুলো ভালোভাবে মিশিয়ে একটি টিকেট দৈবভাবে নেওয়া হলো।

Chittagong · 2023

ক
একটি ছক্কা নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা অথবা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
(i) নং এর আলোকে Probability tree অঙ্কন করে কমপক্ষে দুইটি টেল (T) আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
দেখাও যে, টিকেটটির ক্রমিক নম্বর মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা, 4 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনার সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) একটি ঝুড়িতে 10টি নীল, 12টি সবুজ ও 8টি হলুদ বল আছে। (ii) একজন লোকের রাজশাহী হতে ঢাকায় ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা 58\frac{5}{8} এবং ঢাকা হতে কুমিল্লায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 25\frac{2}{5}।

Jessore · 2023

ক
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে মৌলিক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে, বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা এবং হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
Probability tree ব্যবহার করে লোকটি ঢাকায় ট্রেনে কিন্তু কুমিল্লায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) একটি থলেতে 10টি নীল, 12টি হলুদ এবং ৪টি কালো মার্বেল আছে। দৈবভাবে একটি মার্বেল নেওয়া হলো। (ii) একটি মুদ্রাকে চারবার নিক্ষেপ করা হলো।

Comilla · 2023

ক
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে, মৌলিক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
(ii) নং এর আলোকে Probability tree অঙ্কন করে নমুনাক্ষেত্রটি লেখ।
গ
যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর চারটি মার্বেল তুলে নেওয়া হয়, তবে সবগুলো মার্বেক হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) একটি মুদ্রা এবং একটি ছক্কা একত্রে একবার নিক্ষেপ করা হলো। (ii) 22টি টিকেটে 31 হতে 52 পর্যন্ত ক্রমিক নম্বর দেওয়া আছে। একটি টিকেট দৈবভাবে নেওয়া হলো।

Rajshahi · 2023

ক
সেপ্টেম্বর মাসে কোনো শহরে 12 দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে 5 সেপ্টেম্বর বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
(i) নং এর আলোকে সম্ভাব্য ঘটনার Probability tree অঙ্কন করে নমুনাক্ষেত্রটি লেখ।
গ
নির্বাচিত টিকেটের নম্বরটি জোড় অথবা 9 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) একটি ঝুড়িতে 10টি নীল, 12টি সবুজ ও 8টি হলুদ বল আছে। (ii) একজন লোকের রাজশাহী হতে ঢাকায় ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা 58\frac{5}{8} এবং ঢাকা হতে কুমিল্লায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 25\frac{2}{5}।

Dhaka · 2023

ক
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে মৌলিক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে, বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা এবং হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
Probability tree ব্যবহার করে লোকটি ঢাকায় ট্রেনে কিন্তু কুমিল্লায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

একটি ঝুড়িতে 2x2x টি লাল, x+6x + 6 টি সাদা ও x+3x + 3 কালো মার্বেল আছে। দৈবভাবে একটি মার্বেল নেয়া হলো।

Mymensingh · 2024

ক
1টি মুদ্রা ও 1টি ছক্কা নিক্ষেপ ঘটনার Probability tree তৈরি কর।
খ
x=3x = 3 হলে মার্বেলটি কালো অথবা সাদা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
x=4x = 4 হলে যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর চারটি মার্বেল তুলে নেয়া হয়, তবে দেখাও যে, সবগুলো মার্বেল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা সবগুলো মার্বেল লাল হওয়ার সম্ভাবনার তিন গুণ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। (ii) একটি নিরপেক্ষ ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো।

Chittagong · 2024

ক
নিরপেক্ষ ছক্কাটি একবার নিক্ষেপ করা হলে, জোড় সংখ্যা অথবা ও দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
ছক্কা নিক্ষেপে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
(i) হতে Probability tree তৈরি করে বড়জোড় 3T আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

(i) একজন লোকের টাঙ্গাইল হতে ঢাকা বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 27\frac{2}{7} এবং ঢাকা হতে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা 310\frac{3}{10}. (ii) একটি থলেতে 15টি লাল, 18টি সবুজ ও 14টি হলুদ বল আছে।

Dinajpur · 2024

ক
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
Probability tree ব্যবহার করে লোকটির ঢাকা বাসে কিন্তু চট্টগ্রাম ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর চারটি বল তুলে নেয়া হয়, তবে সবগুলো বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

একটি ঝুড়িতে 10টি লাল, 12টি হলুদ, 8টি কালো এবং 15টি সাদা বল আছে।

Barisal · 2024

ক
একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপ করলে উভয় ক্ষেত্রে একই ফলাফল আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
খ
দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা ও কালো হওয়ার সম্ভাবনার পার্থক্য নির্ণয় কর।
গ
প্রতিস্থাপন না করে পরপর তিনটি বল তোলা হলে সবগুলো বল হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে Probability tree অঙ্কন করে নমুনাক্ষেত্র হতে মুদ্রায় টেল ও ছক্কায়যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর তিনটি টিকেট তুল নেওয়া হয়, তবে সবগুলো টিকেট যদি প্রতিস্থাপন না করে 4টি বল তুলে নেওয়া হয়, তবে সবগুলো বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা নদেখাও যে, টিকেটটির ক্রমিক নম্বর মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা, 4 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনাProbability tree ব্যবহার করে লোকটি ঢাকায় ট্রেনে কিন্তু কুমিল্লায় বাসে না যাওয়ার যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর চারটি মার্বেল তুলে নেওয়া হয়, তবে সবগুলো মারনির্বাচিত টিকেটের নম্বরটি জোড় অথবা 9 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।Probability tree ব্যবহার করে লোকটি ঢাকায় ট্রেনে কিন্তু কুমিল্লায় বাসে না যাওয়ার [গণিত] হলে যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর চারটি মার্বেল তুলে নেয়া হয়, তবে (i) হতে Probability tree তৈরি করে বড়জোড় 3T আসার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর চারটি বল তুলে নেয়া হয়, তবে সবগুলো বল সবুজ হপ্রতিস্থাপন না করে পরপর তিনটি বল তোলা হলে সবগুলো বল হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় ক

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন