Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, QM : MR = QP : PR .

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] অঙ্কন: [গণিত] এবং [গণিত] আঁকি। প্রমাণ: ধাপ-১: [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী । [গণিত] এবং [গণিত] . . . . . . . . (1) [দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহু গুলো সমানুপাতিক] ধাপ-২: [গণিত] ও [গণিত] এ， [গণিত] [উভয়েই 90º] [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী］ অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী । [গণিত] . . . . . . . . (2)［দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহু গুলো সমানুপাতিক］ （1）নং ও（2）নং হতে পাই， [গণিত] ধাপ-৩： [গণিত] এর ক্ষেত্রফল [গণিত] . . . . . . . . . (3)［ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল [গণিত] ভূমি [গণিত] উচ্চতা］ [গণিত] এর ক্ষেত্রফল [গণিত] . . . . . . . .(4) (3) নং ÷ (4) নং থেকে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ধাপ-২ হতে, [গণিত] বা, [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC সাধারণ গণিত Chapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · সাধারণ গণিত · Chapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus) · সৃজনশীল

এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, QM : MR = QP : PR .

উদ্দীপক

△PQR\triangle \mathrm{PQR} ও △DEF\triangle \mathrm{DEF} সদৃশকোণী । PM রেখাংশ △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর অন্তঃস্থ ∠P\angle \mathrm{P} কে সমদ্বিখন্ডিত করে QR বাহুকে M বিন্দুতে ছেদ করে।

Dinajpur · 2025

উত্তর

নিচে AB=11\mathrm{AB}=11 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে 5:35: 3 অনুপাতে অন্তবির্ভক্ত করা হলো: question image চিত্রে, AB রেখাংশের AD:DB=5:3\mathrm{AD}: \mathrm{DB}=5: 3

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: উদ্দীপক অনুযায়ী, PM রেখাংশ △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর অন্তঃস্থ ∠P\angle \mathrm{P} কে সমদ্বিখন্ডিত করে QR বাহুকে M বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, QM:MR=QP:PR\mathbf{Q M}: \mathbf{M R}=\mathbf{Q P}: \mathbf{P R}. অঙ্কন: R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত MP এর সমান্তরাল রেখাংশ RE, বর্ধিত QP বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ : ধাপ-১: যেহেতু, MP∥RE\mathrm{MP} \| \mathrm{RE} এবং QE তাদের ছেদক। ∴∠PER=∠QPM\therefore \angle \mathrm{PER}=\angle \mathrm{QPM} [অনুরূপ কোণ] ধাপ-২: আবার, MP || RE এবং PR তাদের ছেদক। ∴∠PRE=∠RPM\therefore \angle \mathrm{PRE}=\angle \mathrm{RPM} [একান্তর কোণ] ধাপ-৩: কিন্তু ∠QPM=∠RPM\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPM} [ ∵ PM. ∠P এর সমদ্বিখন্ডক] ∴∠PER=∠PRE\therefore \angle \mathrm{PER}=\angle \mathrm{PRE} [ধাপ-১ ও ধাপ-২ হতে] ∴PR=PE\therefore \mathrm{PR}=\mathrm{PE} [সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুদ্ধয় পরস্পর সমান।] ধাপ-৪: আবার, △EQR\triangle \mathrm{EQR} এর MP∥RE\mathrm{MP} \| \mathrm{RE} ∴QMMR=QPPE[\therefore \frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{MR}}=\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{PE}} \quad[ [ত্রিভুজের যে কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে] ∴QMMR=QPPR{\therefore \frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{MR}}=\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{PR}} \quad\{ ধাপ ৩ থেকে, PE=PR}\mathrm{PE}=\mathrm{PR}\} ∴QM:MR=QP:PR\therefore Q M: M R=Q P: P R [প্রমাণিত]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, △PQR\triangle \mathrm{PQR} ও △DEF\triangle \mathrm{DEF} সদৃশকোণী। প্রমাণ করতে হবে যে, △PQR:△DEF=QR2:EF2\triangle \mathrm{PQR}: \triangle \mathrm{DEF}=\mathbf{Q R}^{\mathbf{2}}: \mathbf{E F}^{\mathbf{2}} অঙ্কন: PG⊥QR\mathrm{PG} \perp \mathrm{QR} এবং DH⊥EF\mathrm{DH} \perp \mathrm{EF} আঁকি। প্রমাণ: ধাপ-১: △PQR\triangle \mathrm{PQR} ও △DEF\triangle \mathrm{DEF} সদৃশকোণী । ∴∠Q=∠E\therefore \angle \mathrm{Q}=\angle \mathrm{E} এবং PQDE=QREF\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{EF}} . . . . . . . . (1) [দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহু গুলো সমানুপাতিক] ধাপ-২: △PQG\triangle \mathrm{PQG} ও △DEH\triangle \mathrm{DEH} এ， ∠PGQ=∠DHE\angle \mathrm{PGQ}=\angle \mathrm{DHE} [উভয়েই 90º] ∠Q=∠E[△PQR\angle \mathrm{Q}=\angle \mathrm{E} \quad[\triangle \mathrm{PQR} ও △DEF\triangle \mathrm{DEF} সদৃশকোণী］ অবশিষ্ট ∠QPG=\angle \mathrm{QPG}= অবশিষ্ট ∠EDH\angle \mathrm{EDH} ∴△PQG\therefore \triangle \mathrm{PQG} ও △DEH\triangle \mathrm{DEH} সদৃশকোণী । ∴PGDH=PQDE\therefore \frac{P G}{D H}=\frac{P Q}{D E} . . . . . . . . (2)［দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহু গুলো সমানুপাতিক］ （1）নং ও（2）নং হতে পাই， QREF=PGDH\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{DH}} ধাপ-৩： △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর ক্ষেত্রফল =12×QR×PG=\frac{1}{2} \times \mathrm{QR} \times \mathrm{PG} . . . . . . . . . (3)［ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =12×=\frac{1}{2} \times ভূমি ×\times উচ্চতা］ △DEF\triangle \mathrm{DEF} এর ক্ষেত্রফল =12×EF×DH=\frac{1}{2} \times \mathrm{EF} \times \mathrm{DH} . . . . . . . .(4) (3) নং ÷ (4) নং থেকে পাই, △PQR এর ক্ষেত্রফল △DEF এর ক্ষেত্রফল =12×QR×PG12×EF×DH\frac{\triangle \mathrm{PQR} \text{ এর ক্ষেত্রফল }}{\triangle \mathrm{DEF} \text{ এর ক্ষেত্রফল }}=\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{QR} \times \mathrm{PG}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{EF} \times \mathrm{DH}} বা, △PQR△DEF=QREF×PGDH\frac{\triangle \mathrm{PQR}}{\triangle \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{EF}} \times \frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{DH}} বা, △PQR△DEF=QREF×QREF[∵\frac{\triangle \mathrm{PQR}}{\triangle \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{EF}} \times \frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{EF}} \quad\left[\because\right. ধাপ-২ হতে, QREF=PGDH]\left.\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{DH}}\right] বা, △PQR△DEF=QR2EF2\frac{\triangle \mathrm{PQR}}{\triangle \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{QR}^2}{\mathrm{EF}^2} ∴△PQR:△DEF=QR2:EF2\therefore \triangle \mathrm{PQR}: \triangle \mathrm{DEF}=\mathrm{QR}^2: \mathrm{EF}^2 [প্রমাণিত]
SSCসাধারণ গণিতChapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.যদি A={3,5,6}A=\{3,5,6\} এবং B={x∈Z:−1<x<5}B=\{x \in \mathbb{Z}:-1<x<5\} হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।

যদি A={3,5,6}A=\{3,5,6\} এবং B={x∈Z:−1<x<5}B=\{x \in \mathbb{Z}:-1<x<5\} হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দুইটি সদৃশকোণী ∆ABC ও ∆DEF এর BC এবং EF এর উপর যথাক্রমে AG ও DH লম্ব।

Comilla · 2017

ক
উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.
গ
প্রমাণ করো যে, ∆ABC : ∆DEF = BC² : EF².

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.

প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

সমকোণী ∆PQR এর ∠Q = এক সমকোণ এবং ∆АВС সমবাহু যার AD ⊥ BC.

Dinajpur · 2017

ক
দেখাও যে, BD = CD
খ
প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²
গ
প্রমাণ কর যে, 4AD² = 3AB²

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²

প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.দেখাও যে, BD = CD

দেখাও যে, BD = CD

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆PQR এর ∠P এর সমদ্বিখণ্ডক PS, QR-কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে। SP এর সমান্তরাল RT রেখাংশ বর্ধিত QP-কে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Dinajpur · 2017

ক
দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।
খ
প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.
গ
QR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ এবং PR-কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, QS: SR = MQ : NR.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.

প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।

দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△MNS\triangle \mathrm{MNS} ও △GHK\triangle \mathrm{GHK} দুটি সদৃশ ত্রিভুজ। △MNS\triangle \mathrm{MNS} এর MP\mathrm{MP} একটি মধ্যমা।

Sylhet · 2020

ক
নিচে AB=5\mathrm{AB} = 5 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে 2:12 : 1 অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করো।
খ
প্রমাণ করো যে, △SMN:△KGH=MN2:GH2\triangle\mathrm{SMN} : \triangle\mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2
গ
প্রমাণ করো যে, MN2+MS2=2(MP2+NP2)\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2 = 2(\mathrm{MP}^2 + \mathrm{NP}^2)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ করো যে, △SMN:△KGH=MN2:GH2\triangle\mathrm{SMN} : \triangle\mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2

প্রমাণ করো যে, △SMN:△KGH=MN2:GH2\triangle\mathrm{SMN} : \triangle\mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, ∆ABC : ∆DEF = BC² : EF².প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, 4AD² = 3AB²প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²দেখাও যে, BD = CDQR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ এবং PR-কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাপ্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।প্রমাণ করো যে, [গণিত]প্রমাণ করো যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন