Chapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus) সাধারণ গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দুইটি সদৃশকোণী ∆ABC ও ∆DEF এর BC এবং EF এর উপর যথাক্রমে AG ও DH লম্ব।

Comilla · 2017

ক

উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।

উত্তর

উদ্দীপকের আলোকে চিত্র নিম্নরূপ :

খ

প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.

উত্তর

দেওয়া আছে, ∆ABC ও ∆DEF দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ। AG ও DH যথাক্রমে তাদের উচ্চতা। প্রমাণ করতে হবে যে, AG : DH = AB : DE প্রমাণ: ধাপ (১) যেহেতু ∆ABC ও ∆DEF সদৃশকোণী ∴ ∠A = ∠D, ∠B = ∠E এবং ∠C= ∠F ধাপ (২) আবার, ∆ABG ও ADEH -এ, ∠ABG = ∠DEH ∠AGB = ∠DHE = এক সমকোণ ∴ ∠BAG = ∠EDH [অবশিষ্ট] ∴ ∆ABG ও ∆DEH সদৃশকোণী, তাই সদৃশ। ∴ $\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{DH}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}$ [সদৃশ কোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক] ∴ AG : DH = AB : DE (প্রমাণিত)

গ

প্রমাণ করো যে, ∆ABC : ∆DEF = BC² : EF².

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\triangle A B C$ ও $\triangle D E F$ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ এবং এদের অনুরূপ বাহু $B C$ ও $E F$ । প্রমান করতে হবে যে, $\triangle A B C: \triangle D E F=B C^2: E F^2$ অঙ্কন: $B C$ ও $E F$ এর উপর যথাক্রমে $A G$ ও $D H$ লম্ব আঁকি। মনে করি $A G=h, D H=p$ । প্রমাণ: ধাপ ১. $\triangle A B C=\frac{1}{2} \times B C \times h$ এবং $\triangle D E F=\frac{1}{2} \times E F \times p$ $\frac{\triangle A B C}{\triangle D E F}=\frac{\frac{1}{2} \times B C \times h}{\frac{1}{2} \times E F \times p}=\frac{h}{p} \times \frac{B C}{E F}$ ধাপ ২. $A B G$ ও $D E H$ ত্রিভুজদ্বয়ের $\angle B=\angle E, \angle A G B=\angle D H E$ [এক সমকোণ] $\therefore \angle B A G=\angle E D H$ $\therefore \triangle A B C \text{ ও } \triangle D E F$ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী, তাই সদৃশ। $\therefore \frac{h}{p}=\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{E F} \quad$ [কারণ $\triangle A B C$ ও $\triangle D E F$ সদৃশ] ধাপ ৩. $\frac{\triangle A B C}{\triangle D E F}=\frac{h}{p} \times \frac{B C}{E F}=\frac{B C}{E F} \times \frac{B C}{E F}=\frac{B C^2}{E F^2}$ $\triangle \mathrm{ABC}: \triangle \mathrm{DEF}=\mathrm{BC}^2: \mathrm{EF}^2$. (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

সমকোণী ∆PQR এর ∠Q = এক সমকোণ এবং ∆АВС সমবাহু যার AD ⊥ BC.

Dinajpur · 2017

ক

দেখাও যে, BD = CD

উত্তর

∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। যার AD⊥BC। প্রমাণ করতে হবে যে, BD = CD প্রমাণ: ধাপ যথার্থতা (১) AD ⊥ BC হওয়ায় ∠ADB = ∠ADC = 1 সমকোণ (২) এখন ∆ABD ও ∆ADC সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ AB = অতিভুজ AC [সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহু সমান] AD সাধারণ বাহু সুতরাং, ∆ABD ≅ ∆ADC ∴ BD = CD (প্রমাণিত)

খ

প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $A B C$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle A C B$ সমকোণ এবং $A B$ অতিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, $A B^2=B C^2+A C^2$ । অঙ্কন: $A B, A C$ এবং $B C$ বাহুর উপর যথাক্রমে $A B E D, A C G F$ এবং $B C H K$ বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করি। $C$ বিন্দু দিয়ে $A D$ বা $B E$ রেখার সমান্তরাল $C L$ রেখা আঁকি। মনে করি, তা $A B$ কে $M$ বিন্দুতে এবং $D E$ কে $L$ বিন্দুতে ছেদ করে। $C$ ও $D$ এবং $B$ ও $F$ যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ ১. $\triangle C A D$ ও $\triangle B A F$ তে $C A=A F, A D=A B$ এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle C A D=\angle C A B+\angle B A D=\angle C A B+\angle C A F=$ অন্তর্ভুক্ত $\angle B A F$ $[\angle B A D=\angle C A F=1$ সমকোণ] অতএব, $\triangle C A D \cong \triangle B A F$ ধাপ ২. $\triangle C A D$ এবং আয়তক্ষেত্র $A D L M$ একই ভূমি $A D$ এর উপর এবং $A D$ ও $C L$ সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং আয়তক্ষেত্র $A D L M=2 \triangle C A D$ ধাপ ৩. $\triangle B A F$ এবং বর্গক্ষেত্র $A C G F$ একই ভূমি $A F$ এর উপর এবং $A F$ ও $B G$ সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং বর্গক্ষেত্র $A C G F=2 \triangle F A B=2 \triangle C A D$। ধাপ ৪. আয়তক্ষেত্র $A D L M=$ বর্গক্ষেত্র $A C G F$ ধাপ ৫. অনুরূপভাবে $C, E$ ও $A, K$ যোগ করে প্রমাণ করা যায় যে, আয়তক্ষেত্র $B E L M=$ বর্গক্ষেত্র $B C H K$ ধাপ ৬. আয়তক্ষেত্র $(A D L M+B E L M)=$ বর্গক্ষেত্র $A C G F+$ বর্গক্ষেত্র $B C H K$ বা, বর্গক্ষেত্র $A B E D=$ বর্গক্ষেত্র $A C G F+$ বর্গক্ষেত্র $B C H K$ অর্থাৎ, $A B^2=B C^2+A C^2$ (প্রমাণিত) বি.দ্র.: সৃজনশীল অনুরূপ।

গ

প্রমাণ কর যে, 4AD² = 3AB²

উত্তর

দেওয়া আছে, ∆ABC সমবাহু অর্থাৎ AB = BC = CA এবং AD ⊥ BC প্রমাণ করতে হবে যে, 4AD² = 3AB² প্রমাণ: ধাপ (১) AD ⊥ BC [দেওয়া আছে] ∠ADB = ∠ADC = 90°. (২) এখন, সমকোণী ∆ABD এবং সমকোণী ∆ACD-এ অতিভুজ AB = অতিভুজ AC [∵ ABC সমবাহু ত্রিভুজ] এবং AD = AD [∵ সাধারণ বাহু] ∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [∵ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অতিভুজ এবং অপর একটি বাহু সমান] সুতরাং, BD = CD ∴ BC = 2BD (৩) আবার, সমকোণী ∆ABD-এ ∠ADB = 90° এবং অতিভুজ = AB. (৪) পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, AB² = AD² + BD² বা, AD² = AB² - BD² বা, 4AD² = 4AB² - 4BD² [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে।] বা, 4AD² = 4AB² – (2BD)² বা, 4AD² = 4AB² – BC² [∵ BC = 2BD] বা, 4AD² = 4AB² - AB² [∵ AB = BC] ∴ 4AD² = 3AB². (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

∆PQR এর ∠P এর সমদ্বিখণ্ডক PS, QR-কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে। SP এর সমান্তরাল RT রেখাংশ বর্ধিত QP-কে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Dinajpur · 2017

ক

দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।

উত্তর

মনে করি, ত্রিভুজক্ষেত্র $A B C$ ও $D E F$ এর উচ্চতা যথাক্রমে $A P=h, D Q=k$ এবং উভয় ক্ষেত্রের ভূমি $b$ । সুতরাং, ত্রিভুজক্ষেত্র $A B C$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times b \times h$, ত্রিভুজক্ষেত্র $D E F$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times b \times k$ অতএব, ত্রিভুজক্ষেত্র $A B C$ এর ক্ষেত্রফল: ত্রিভুজক্ষেত্র $D E F$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times b \times h: \frac{1}{2} \times b \times k=h: k=A P: D Q$

খ

প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.

উত্তর

∆PQR এর ∠P এর সমদ্বিখণ্ডক PS, QR কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, QS : SR = PQ : PR অঙ্কন: SP রেখাংশের সমান্তরাল করে R বিন্দু দিয়ে RT রেখাংশ অঙ্কন করি, যেন তা বর্ধিত QP বাহুকে T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ: ধাপ যথার্থতা (১) যেহেতু SP || RT এবং PR ও QT তাদের ছেদক [অঙ্কন] ∴ ∠PTR = ∠QPS [অনুরূপ কোণ] এবং ∠PRT = ∠RPS [একান্তর কোণ] (২) কিন্তু ∠QPS = ∠RPS [স্বীকার] ∴ ∠PTR = ∠PRT; ∴ PR = PT (৩) আবার, যেহেতু SP || RT, ∴ $\frac{QS}{SR} = \frac{PQ}{PT}$ ∴ $\frac{QS}{SR} = \frac{PQ}{PR}$ ∴ QS : SR = PQ : PR (প্রমাণিত)

গ

QR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ এবং PR-কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, QS: SR = MQ : NR.

উত্তর

মনে করি, ∆PQR এ ∠P এর সমদ্বিখন্ডক PS। QR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ এবং PR কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, QS : SR = MQ : NR প্রমাণ: ধাপ যথার্থতা (১) ∆PQR এর ∠P এর সমদ্বিখণ্ডক PS ∴ QS : SR = PQ : PR $\ldots\ldots..(i) [$'খ' হতে] (২) এখন, MN || QR ∴ $\frac{PM}{MQ} = \frac{PN}{NR}$ বা, $\frac{PM}{MQ} + 1 = \frac{PN}{NR} + 1$ [উভয় পক্ষে 1 যোগ করে] বা, $\frac{PM + MQ}{MQ} = \frac{PN + NR}{NR}$ বা, $\frac{PQ}{MQ} = \frac{PR}{NR}$ বা, $\frac{PQ}{PR} = \frac{MQ}{NR}$ বা, PQ : PR = MQ : NR

$$\ldots.. (ii) ($$

৩) সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই, QS : SR = MQ : NR (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$\triangle \mathrm{MNS}$ ও $\triangle \mathrm{GHK}$ দুটি সদৃশ ত্রিভুজ। $\triangle \mathrm{MNS}$ এর $\mathrm{MP}$ একটি মধ্যমা।

Sylhet · 2020

ক

নিচে $\mathrm{AB} = 5$ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে $2 : 1$ অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করো।

উত্তর

নিচে $\mathrm{AB} = 5$ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে $2 : 1$ অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করা হলো: চিত্রে, $\mathrm{AB}$ রেখাংশের $\mathrm{AD} : \mathrm{DB} = 2 : 1$

খ

প্রমাণ করো যে, $\triangle\mathrm{SMN} : \triangle\mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2$

উত্তর

বিশেষ নির্বাচন: মনে করি, $\triangle \mathrm{MNS}$ ও $\triangle \mathrm{GHK}$ দুটি সদৃশ ত্রিভুজ। $\mathrm{MN}$ ও $\mathrm{GH}$ অনুরূপ বাহু। প্রমাণ করতে হবে যে, $\triangle \mathrm{SMN} : \triangle \mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2$ অঙ্কন: $\mathrm{MN}$ ও $\mathrm{GH}$ এর ওপর যথাক্রমে $\mathrm{SU}$ ও $\mathrm{KV}$ লম্ব আঁকি। মনে করি, $\mathrm{SU} = h, \mathrm{KV} = p$। প্রমাণ: ধাপ-১: $\triangle \mathrm{SMN} = \frac{1}{2} \times \mathrm{MN} \cdot h \dots (i)$ [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা $$] এবং $\triangle \mathrm{KGH} = \frac{1}{2} \times \mathrm{GH} \cdot p \dots (ii)$ (i) নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করে পাই, $\frac{\triangle \mathrm{SMN}}{\triangle \mathrm{KGH}} = \frac{\frac{1}{2}\mathrm{MN} \cdot h}{\frac{1}{2}\mathrm{GH} \cdot p} = \frac{h}{p} \times \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{GH}} \dots (iii)$ ধাপ-২: $\triangle \mathrm{SMU}$ এবং $\triangle \mathrm{KGV}$ ত্রিভুজদ্বয়ের, $\angle \mathrm{M} = \angle \mathrm{G}$ $\angle \mathrm{\sum} = \angle \mathrm{KVG}$ [উভয়ে এক সমকোণ] অবশিষ্ট $\angle \mathrm{MSU} = \angle \mathrm{GKV}$ $\triangle \mathrm{SMU}$ ও $\triangle \mathrm{KGV}$ সদৃশকোণী, তাই ত্রিভুজ দুটি সদৃশ। $\therefore \frac{h}{p} = \frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{KG}}$ [দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক] কিন্তু $\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{KG}} = \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{GH}}$ [কারণ, $\triangle \mathrm{SMN}$ ও $\triangle \mathrm{KGH}$ সদৃশ] $\therefore \frac{h}{p} = \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{GH}}$ ধাপ-৩: (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই, $\frac{\triangle \mathrm{SMN}}{\triangle \mathrm{KGH}} = \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{GH}} \times \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{GH}}$ [মান বসিয়ে] $= \frac{\mathrm{MN}^2}{\mathrm{GH}^2}$ $\therefore \triangle \mathrm{SMN} : \triangle \mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2$ [প্রমাণিত]

গ

প্রমাণ করো যে, $\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2 = 2(\mathrm{MP}^2 + \mathrm{NP}^2)$

উত্তর

বিশেষ নির্বাচন: দেওয়া আছে, $\triangle \mathrm{MNS}$ এর একটি মধ্যমা $\mathrm{MP}$। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2 = 2(\mathrm{MP}^2 + \mathrm{NP}^2)$। অঙ্কন: $\mathrm{M}$ বিন্দু থেকে $\mathrm{NS}$ এর ওপর $\mathrm{ML}$ লম্ব টানি। প্রমাণ: ধাপ-১: $\triangle \mathrm{NML}$ সমকোণী ত্রিভুজে, $\mathrm{MN}^2 = \mathrm{NL}^2 + \mathrm{ML}^2$ [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে] বা, $\mathrm{MN}^2 = (\mathrm{NP} + \mathrm{PL})^2 + \mathrm{ML}^2$ বা, $\mathrm{MN}^2 = \mathrm{NP}^2 + 2\mathrm{NP} \cdot \mathrm{PL} + \mathrm{PL}^2 + \mathrm{ML}^2$ বা, $\mathrm{MN}^2 = \mathrm{NP}^2 + 2\mathrm{NP} \cdot \mathrm{PL} + \mathrm{MP}^2$ [$\triangle \mathrm{LMP}$ সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে] বা, $\mathrm{MN}^2 = \mathrm{NP}^2 + \mathrm{MP}^2 + 2\mathrm{NP}\cdot\mathrm{PL} \dots \dots (i)$ ধাপ-২: $\triangle \mathrm{MSL}$ সমকোণী ত্রিভুজে, $\mathrm{MS}^2 = \mathrm{ML}^2 + \mathrm{LS}^2$ [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে] বা, $\mathrm{MS}^2 = \mathrm{ML}^2 + (\mathrm{PS} - \mathrm{PL})^2$ [চিত্র থেকে] বা, $\mathrm{MS}^2 = \mathrm{ML}^2 + \mathrm{PS}^2 - 2\mathrm{PS} \cdot \mathrm{PL} + \mathrm{PL}^2$ বা, $\mathrm{MS}^2 = \mathrm{ML}^2 + \mathrm{PL}^2 + \mathrm{PS}^2 - 2\mathrm{PS} \cdot \mathrm{PL}$ বা, $\mathrm{MS}^2 = \mathrm{MP}^2 + \mathrm{PS}^2 - 2\mathrm{PS} \cdot \mathrm{PL}$ [$\triangle \mathrm{LMP}$ সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে] বা, $\mathrm{MS}^2 = \mathrm{MP}^2 + \mathrm{NP}^2 - 2\mathrm{NP} \cdot \mathrm{PL} \dots \dots (ii)$ [$\because \mathrm{NP} = \mathrm{PS}$] ধাপ-৩: (i) ও (ii) যোগ করে পাই, $\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2 = \mathrm{NP}^2 + \mathrm{MP}^2 + 2\mathrm{NP}\cdot\mathrm{PL} + \mathrm{MP}^2 + \mathrm{NP}^2 - 2\mathrm{NP}\cdot\mathrm{PL}$ বা, $\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2 = 2\mathrm{NP}^2 + 2\mathrm{MP}^2$ $\therefore \mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2 = 2(\mathrm{MP}^2 + \mathrm{NP}^2)$ [প্রমাণিত]

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো