Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

MO রেখাংশ [গণিত] এর সমদ্বিখন্ডক হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, [গণিত] -এর [গণিত] -এর সমদ্বিখণ্ডক MO, NP বাহুকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] অঙ্কন: P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত OM এর সমান্তরাল রেখাংশ PE, বর্ধিত NM বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ: ধার্প-১: যেহেতু, OM || PE এবং NE তাদের ছেদক। [গণিত] [অনুরূপ কোণ] ধাপ-২: আবার, OM || PE এবং MP তাদের ছেদক। [গণিত] [একান্তর কোণ] ধাপ-৩: কিন্তু [গণিত] [ [গণিত] এর সমদ্বিখন্ডক] [গণিত] [ধাপ-১ ও ধাপ-২ হতে] [গণিত] [সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।] ধাপ-৪: আবার, [গণিত] এর [গণিত] ত্রিভুজের যে কোনো বাহুর সমান্তরাল সরল রেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে] [গণিত] ধাপ-৩ থেকে, [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC সাধারণ গণিত Chapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · সাধারণ গণিত · Chapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus) · সৃজনশীল

MO রেখাংশ এর সমদ্বিখন্ডক হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image চিত্রে, △MNP\triangle \mathrm{MNP} একটি ত্রিভুজ এবং R ও S যথাক্রমে MN ও MP এর মধ্যবিন্দু।

Sylhet · 2025

উত্তর

আমরা জানি, বৃত্তে একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণের মান বৃত্তস্থ কোণের মানের দ্বিগুণ। ∴(x+60)∘=2×(x+5)∘ বা ,x+60∘=2x+10∘ বা, 2x−x=60∘−10∘∴x=50∘∴x এর মান 50∘ [Ans.] \begin{aligned} & \therefore(\mathrm{x}+60)^{\circ}=2 \times(\mathrm{x}+5)^{\circ} \\ & \text{ বা }, \mathrm{x}+60^{\circ}=2 \mathrm{x}+10^{\circ} \\ & \text{ বা, } 2 \mathrm{x}-\mathrm{x}=60^{\circ}-10^{\circ} \\ & \therefore \mathrm{x}=50^{\circ} \\ & \therefore \mathrm{x} \text{ এর মান } 50^{\circ} \quad \text{ [Ans.] }\end{aligned}

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: উদ্দীপক অনুযায়ী, AMNP এর MN ও MP এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R ও S I R, S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, RS=12NP\mathrm{RS}=\frac{1}{2} \mathrm{NP} অঙ্কন: RS কে F পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন SF = RS হয়।P, F যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১: △MRS\triangle \mathrm{MRS} ও △PSF\triangle \mathrm{PSF} এ, MS=SP\mathrm{MS} =\mathrm{SP} [MP বাহুর মধ্যবিন্দু S] RS=SF\mathrm{RS} =\mathrm{SF} [অঙ্কন অনুসারে] ∠MSR=∠PSF\angle \mathrm{MSR} =\angle \mathrm{PSF} [বিপ্রতীপ কোণ বলে] ∴△MRS≅△PSF\therefore \triangle \mathrm{MRS} \cong \triangle \mathrm{PSF} [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] তাহলে, MR=PF\mathrm{MR}=\mathrm{PF} . . . . . . . . . (1) এবং ∠MRS=∠SFP\angle \mathrm{MRS}=\angle \mathrm{SFP} ধাপ-২: MR ও PF বাহুকে RF বাহু ছেদ করায়, ∠MRS\angle \mathrm{MRS} ও ∠SFP\angle \mathrm{SFP} একান্তর কোণ দুটি উৎপন্ন হয় এবং এগুলো পরস্পর সমান। ∴MR∥PF\therefore \mathrm{MR} \| \mathrm{PF} বা, MN∥PF\mathrm{MN} \| \mathrm{PF} বা, NR || PF ধাপ-৩: আবার, MR=NR\mathrm{MR}=\mathrm{NR} [MN বাহুর মধ্যবিন্দু R] কিন্তু, সমীকরণ (1) হতে পাই, MR=PF\mathrm{MR} =\mathrm{PF} ∴NR=PF\therefore \mathrm{NR} =\mathrm{PF} ধাপ-৪: এখন, NRFP চতুর্ভুজের, NR=PF\mathrm{NR}=\mathrm{PF} এবং NR || PF সুতরাং, NRFP একটি সামন্তরিক। [কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমাঙ্করাদ হলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক] ধাপ-৫: RF=NP\mathrm{RF}=\mathrm{NP} [সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান] বা, RS+SF=NP\mathrm{RS}+\mathrm{SF}=\mathrm{NP} বা, RS+RS=NP\mathrm{RS}+\mathrm{RS}=\mathrm{NP} [অঙ্কন অনুসারে, SF=RS\mathrm{SF}=\mathrm{RS} ] বা, 2RS=NP2 \mathrm{RS}=\mathrm{NP} ∴RS=12NP\therefore R S=\frac{1}{2} N P [প্রমাণিত]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, △MNP\triangle \mathrm{MNP}-এর ∠NMP\angle \mathrm{NMP}-এর সমদ্বিখণ্ডক MO, NP বাহুকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, MN:MP=NO:OP.M N: M P=N O: O P . অঙ্কন: P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত OM এর সমান্তরাল রেখাংশ PE, বর্ধিত NM বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ: ধার্প-১: যেহেতু, OM || PE এবং NE তাদের ছেদক। ∴∠MEP=∠NMO\therefore \angle \mathrm{MEP}=\angle \mathrm{NMO} [অনুরূপ কোণ] ধাপ-২: আবার, OM || PE এবং MP তাদের ছেদক। ∴∠MPE=∠PMO\therefore \angle \mathrm{MPE}=\angle \mathrm{PMO} [একান্তর কোণ] ধাপ-৩: কিন্তু ∠NMO=∠PMO\angle \mathrm{NMO}=\angle \mathrm{PMO} [ ∵MO,∠M\because \mathrm{MO}, \angle \mathrm{M} এর সমদ্বিখন্ডক] ∴∠MEP=∠MPE\therefore \angle \mathrm{MEP}=\angle \mathrm{MPE} [ধাপ-১ ও ধাপ-২ হতে] ∴MP=ME\therefore \mathrm{MP}=\mathrm{ME} [সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।] ধাপ-৪: আবার, △ENP\triangle \mathrm{ENP} এর OM∥PE\mathrm{OM} \| \mathrm{PE} ∴MNME=NOOP[\therefore \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{ME}}=\frac{\mathrm{NO}}{\mathrm{OP}} \quad[ ত্রিভুজের যে কোনো বাহুর সমান্তরাল সরল রেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে] ∴MNMP=NOOP[\therefore \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{NO}}{\mathrm{OP}} \quad[ ধাপ-৩ থেকে, ME=MP]\mathrm{ME}=\mathrm{MP}] ∴MN:MP=NO:OP\therefore \mathbf{M N}: \mathbf{M P}=\mathbf{N O}: \mathbf{O P} [প্রমাণিত]
SSCসাধারণ গণিতChapter 14 : অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.যদি A={3,5,6}A=\{3,5,6\} এবং B={x∈Z:−1<x<5}B=\{x \in \mathbb{Z}:-1<x<5\} হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।

যদি A={3,5,6}A=\{3,5,6\} এবং B={x∈Z:−1<x<5}B=\{x \in \mathbb{Z}:-1<x<5\} হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দুইটি সদৃশকোণী ∆ABC ও ∆DEF এর BC এবং EF এর উপর যথাক্রমে AG ও DH লম্ব।

Comilla · 2017

ক
উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.
গ
প্রমাণ করো যে, ∆ABC : ∆DEF = BC² : EF².

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.

প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

সমকোণী ∆PQR এর ∠Q = এক সমকোণ এবং ∆АВС সমবাহু যার AD ⊥ BC.

Dinajpur · 2017

ক
দেখাও যে, BD = CD
খ
প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²
গ
প্রমাণ কর যে, 4AD² = 3AB²

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²

প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.দেখাও যে, BD = CD

দেখাও যে, BD = CD

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆PQR এর ∠P এর সমদ্বিখণ্ডক PS, QR-কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে। SP এর সমান্তরাল RT রেখাংশ বর্ধিত QP-কে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Dinajpur · 2017

ক
দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।
খ
প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.
গ
QR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ এবং PR-কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, QS: SR = MQ : NR.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.

প্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।

দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△MNS\triangle \mathrm{MNS} ও △GHK\triangle \mathrm{GHK} দুটি সদৃশ ত্রিভুজ। △MNS\triangle \mathrm{MNS} এর MP\mathrm{MP} একটি মধ্যমা।

Sylhet · 2020

গ
প্রমাণ করো যে, MN2+MS2=2(MP2+NP2)\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2 = 2(\mathrm{MP}^2 + \mathrm{NP}^2)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ করো যে, △SMN:△KGH=MN2:GH2\triangle\mathrm{SMN} : \triangle\mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2

প্রমাণ করো যে, △SMN:△KGH=MN2:GH2\triangle\mathrm{SMN} : \triangle\mathrm{KGH} = \mathrm{MN}^2 : \mathrm{GH}^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে B - A নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, ∆ABC : ∆DEF = BC² : EF².প্রমাণ করো যে, AG : DH = AB : DE.উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, 4AD² = 3AB²প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²দেখাও যে, BD = CDQR এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ PQ এবং PR-কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাপ্রমাণ কর যে, QS: SR = PQ : PR.দেখাও যে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল উচ্চতার সমানুপাতিক।প্রমাণ করো যে, [গণিত]প্রমাণ করো যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন