Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সে সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর: প্রদত্ত (i) নং অনন্ত গুণোত্তর ধারা : [গণিত] এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, [গণিত] সাধারণ অনুপাত, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি [গণিত] উভয়পক্ষে ঋণাত্মক [গণিত] দ্বারা গুণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, [গণিত] নির্ণেয় শর্ত : [গণিত] এবং অসীমতক সমষ্টি [গণিত] ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা · সৃজনশীল

এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সে সমষ্টি …

উদ্দীপক

(i) 30+330+3330+…30 + 330 + 3330 + \ldots (iii) 1+(3x−5)−1+(3x−5)−2+(3x−5)−3+…1 + (3\mathrm{x}-5)^{-1} + (3\mathrm{x}-5)^{-2} + (3\mathrm{x}-5)^{-3} + \ldots

Dinajpur · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a=12\mathrm{a} = \frac{1}{2} এবং অসীমতক সমষ্টি S∞=13\mathrm{S}_{\infty} = \frac{1}{3} আমরা জানি, গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r\mathrm{S}_{\infty} = \frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} বা, 13=121−r\frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\mathrm{r}} বা, 1−r=12131-\mathrm{r} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} বা, 1−r=12×31-\mathrm{r} = \frac{1}{2} \times 3 বা, 1−r=321-\mathrm{r} = \frac{3}{2} বা, r=1−32\mathrm{r} = 1 - \frac{3}{2} বা, r=2−32\mathrm{r} = \frac{2-3}{2} ∴r=−12\therefore \mathrm{r} = -\frac{1}{2} নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত =−12= -\frac{1}{2}।

উত্তর

প্রদত্ত (i) নং ধারা : 30+330+3330+…30 + 330 + 3330 + \ldots ধারাটির n-সংখ্যক পদের যোগফল Sn=30+330+3330+…\mathrm{S}_\mathrm{n} = 30 + 330 + 3330 + \ldots =30(1+11+111+…)= 30(1 + 11 + 111 + \ldots) =309(9+99+999+…)= \frac{30}{9}(9 + 99 + 999 + \ldots) =103{(10−1)+(100−1)+(1000−1)+…}= \frac{10}{3}\{(10-1) + (100-1) + (1000-1) + \ldots\} =103{(10+100+1000+…+n= \frac{10}{3}\{(10 + 100 + 1000 + \ldots + \mathrm{n} তম পদ )−(1+1+1+…n) - (1+1+1+\ldots \mathrm{n} তম পদ) =103{(10+102+103+…+n= \frac{10}{3}\{(10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + \mathrm{n} তম পদ)−n}) - \mathrm{n}\} =103{10(10n−1)10−1−n}= \frac{10}{3}\left\{\frac{10(10^\mathrm{n}-1)}{10-1} - \mathrm{n}\right\} =103{10(10n−1)9−n}=10027(10n−1)−10n3= \frac{10}{3}\left\{\frac{10(10^\mathrm{n}-1)}{9} - \mathrm{n}\right\} = \frac{100}{27}(10^\mathrm{n}-1) - \frac{10\mathrm{n}}{3} নির্ণেয় ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল =10027(10n−1)−10n3= \frac{100}{27}(10^\mathrm{n}-1) - \frac{10\mathrm{n}}{3}।

উত্তর

প্রদত্ত (i) নং অনন্ত গুণোত্তর ধারা : 1+13x−5+1(3x−5)2+1(3x−5)3+…1 + \frac{1}{3\mathrm{x}-5} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-5)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-5)^3} + \ldots এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a=1\mathrm{a} = 1 সাধারণ অনুপাত, r=13x−51=13x−5\mathrm{r} = \frac{\frac{1}{3\mathrm{x}-5}}{1} = \frac{1}{3\mathrm{x}-5} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 হয়। অর্থাৎ, −1<r<1-1 < \mathrm{r} < 1 বা, −1<13x−5<1-1 < \frac{1}{3\mathrm{x}-5} < 1 এখন, −1<13x−5-1<\frac{1}{3 x-5} বা, −(3x−5)>1-(3 x-5)>1 উভয়পক্ষে ঋণাত্মক (3x−5)(3 \mathrm{x}-5) দ্বারা গুণ করে] বা, 3x−5<−13 x-5<-1 বা, 3x<−1+53 x<-1+5 বা, 3x<43 x<4 ∴x<43\therefore \quad x<\frac{4}{3} অথবা, 13x−5<1\frac{1}{3 x-5}<1 বা, 1<3x−51<3 x-5 [উভয়পক্ষে ধনাত্মক ( 3x−53 \mathrm{x}-5 ) দ্বারা গুণ করে] বা, 3x−5>13 x-5>1 বা, 3x>1+53 x>1+5 বা, 3x>63 x>6 বা, x>63x>\frac{6}{3} ∴x>2\therefore \quad \mathrm{x}>2 ∴x<43\therefore \mathrm{x} < \frac{4}{3} অথবা x>2\mathrm{x} > 2 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r=11−13x−5\mathrm{S}_{\infty} = \frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3\mathrm{x}-5}} =13x−5−13x−5=13x−63x−5= \frac{1}{\frac{3\mathrm{x}-5-1}{3\mathrm{x}-5}} = \frac{1}{\frac{3\mathrm{x}-6}{3\mathrm{x}-5}} =1×3x−53x−6=3x−53x−6=3x−53(x−2)= 1 \times \frac{3\mathrm{x}-5}{3\mathrm{x}-6} = \frac{3\mathrm{x}-5}{3\mathrm{x}-6} = \frac{3\mathrm{x}-5}{3(\mathrm{x}-2)} নির্ণেয় শর্ত : x<43\mathrm{x} < \frac{4}{3} অথবা x>2\mathrm{x} > 2 এবং অসীমতক সমষ্টি =3x−53(x−2)= \frac{3\mathrm{x}-5}{3(\mathrm{x}-2)}।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৭ : অসীম ধারা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 13\frac{1}{3}, অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.1+13+19+127+…1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) তবে, তা নির্ণয় করো।

1+13+19+127+…1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) তবে, তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.(−12)+14+(−18)+…\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)+\ldots ধারাটির n\mathrm{n} তম পদ নির্ণয় করো।

(−12)+14+(−18)+…\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)+\ldots ধারাটির n\mathrm{n} তম পদ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.5+5+1+15+15+5 + \sqrt{5} + 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{5} + ………..\ldots\ldots\ldots.. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

5+5+1+15+15+5 + \sqrt{5} + 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{5} + ………..\ldots\ldots\ldots.. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি থাকে তবে তা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোনো অসীম গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 22 এবং সাধারণ অনুপাত 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটি নির্ণয় করো।

কোনো অসীম গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 22 এবং সাধারণ অনুপাত 12\frac{1}{2} হলে, ধারাটি নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.5−1+5−2+5−3+5−4+…5^{-1} + 5^{-2} + 5^{-3} + 5^{-4} + \ldots অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) নির্ণয় করো।

5−1+5−2+5−3+5−4+…5^{-1} + 5^{-2} + 5^{-3} + 5^{-4} + \ldots অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

5,10,5,10,……….5,10,5,10, \ldots \ldots \ldots .. অনুক্রমটির nn তম পদ লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি 12\frac{1}{2}, ১ম পদ 13\frac{1}{3} হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

12x+1+1(2x+1)2+1(2x+1)3+…\frac{1}{2\mathrm{x}+1} + \frac{1}{(2\mathrm{x}+1)^2} + \frac{1}{(2\mathrm{x}+1)^3} + \ldots

Jessore · 2017

ক
x=3\mathrm{x} = 3 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।
খ
x=−2\mathrm{x} = -2 হলে, ধারাটির দশম পদ এবং প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
গ
x\mathrm{x}-এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে উদ্দীপকের ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.x=−2\mathrm{x} = -2 হলে, ধারাটির দশম পদ এবং প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

x=−2\mathrm{x} = -2 হলে, ধারাটির দশম পদ এবং প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.x=3\mathrm{x} = 3 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

x=3\mathrm{x} = 3 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

13x−1+1(3x−1)2+1(3x−1)3+…\frac{1}{3\mathrm{x} - 1} + \frac{1}{(3\mathrm{x} - 1)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x} - 1)^3} + \ldots

Sylhet · 2017

ক
x=2\mathrm{x} = 2 হলে প্রাপ্ত ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।
খ
x=1\mathrm{x} = 1 হলে ধারাটির ৭ম পদ এবং ১ম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
গ
x\mathrm{x} এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

একটি অসীম গুণোত্তর ধারার ১ম পদ [গণিত] , অসীমতক সমষ্টি [গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ[গণিত] ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) তবে, তা নির্ণয় করো।[গণিত] ধারাটির [গণিত] তম পদ নির্ণয় করো।[গণিত] .. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি থাকে তবে তা নির্ণয় করো।কোনো অসীম গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ [গণিত] এবং সাধারণ অনুপাত [গণিত] হলে, ধারাটি নি[গণিত] অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) নির্ণয় করো।[গণিত] . অনুক্রমটির [গণিত] তম পদ লেখ।গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি [গণিত] , ১ম পদ [গণিত] হলে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করো[গণিত] -এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে উদ্দীপকের ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই স[গণিত] হলে, ধারাটির দশম পদ এবং প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।[গণিত] এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন