অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা উচ্চতর গণিত

SSC উচ্চতর গণিত এর অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৭৪

প্রশ্ন

উচ্চতর গণিত

বিষয়

SSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

SSCউচ্চতর গণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

12x+1+1(2x+1)2+1(2x+1)3+…\frac{1}{2\mathrm{x}+1} + \frac{1}{(2\mathrm{x}+1)^2} + \frac{1}{(2\mathrm{x}+1)^3} + \ldots

Jessore · 2017

ক
x=3\mathrm{x} = 3 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত ধারা 12x+1+1(2x+1)2+1(2x+1)3+…\frac{1}{2\mathrm{x}+1} + \frac{1}{(2\mathrm{x}+1)^2} + \frac{1}{(2\mathrm{x}+1)^3} + \ldots x=3\mathrm{x} = 3 হলে ধারাটি, \frac{1}{2 \cdot 3+1} + \frac{1}{(2 \cdot 3+1}^2} + \frac{1}{(2 \cdot 3+1}^3} + \ldots =17+172+173+…= \frac{1}{7} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \ldots ∴\therefore সাধারণ অনুপাত =172÷17=17= \frac{1}{7^2} \div \frac{1}{7} = \frac{1}{7} (Ans.)
খ
x=−2\mathrm{x} = -2 হলে, ধারাটির দশম পদ এবং প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর

x=−2\mathrm{x} = -2 হলে ধারাটি, \frac{1}{2 \cdot (-2}+1} + \frac{1}{\{2 \cdot (-2)+1\}^2} + \frac{1}{\{2 \cdot (-2)+1\}^3} + \ldots =−13+132−133+…= -\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^3} + \ldots ধারাটির ১ম পদ, a=−13\mathrm{a} = -\frac{1}{3} সাধারণ অনুপাত, r=132÷−13=−13\mathrm{r} = \frac{1}{3^2} \div \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n\mathrm{n} তম পদ =arn−1= \mathrm{ar}^{\mathrm{n}-1} ∴\therefore ধারাটির ১০ তম পদ =−13⋅(−13)10−1= -\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{10-1} =−13⋅139=1310= -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^9} = \frac{1}{3^{10}} (Ans.) আবার, গুণোত্তর ধারার ১ম n\mathrm{n} পদের সমষ্টি, Sn=a(1−rn)1−r\mathrm{S_n} = \frac{\mathrm{a}(1 - \mathrm{r}^\mathrm{n})}{1 - \mathrm{r}}; [∣r∣<1][|\mathrm{r}| < 1] ∴\therefore প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি, S8=−13{1−(−13)8}1−(−13)\mathrm{S_8} = \frac{-\frac{1}{3}\left\{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^8\right\}}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} =−13(1−138)1+13= \frac{-\frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{3^8}\right)}{1 + \frac{1}{3}} =−13×34×38−138= -\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{3^8 - 1}{3^8} =1−384×38= \frac{1 - 3^8}{4 \times 3^8} (Ans.)
গ
x\mathrm{x}-এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে উদ্দীপকের ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত ধারার ১ম পদ, a=12x+1\mathrm{a} = \frac{1}{2\mathrm{x}+1} সাধারণ অনুপাত, r=1(2x+1)2÷12x+1=12x+1\mathrm{r} = \frac{1}{(2\mathrm{x}+1)^2} \div \frac{1}{2\mathrm{x}+1} = \frac{1}{2\mathrm{x}+1} এখন, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদিও কেবল যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 বা, ∣12x+1∣<1\left|\frac{1}{2\mathrm{x}+1}\right| < 1 হয়। অথাৎ −1<12x+1<1-1 < \frac{1}{2\mathrm{x}+1} < 1 ∴−1<12x+1\therefore -1 < \frac{1}{2\mathrm{x}+1} বা, −1>2x+1-1 > 2\mathrm{x}+1 বা, −1−1>2x+1−1-1-1 > 2\mathrm{x}+1-1 বা, −2>2x-2 > 2\mathrm{x} ∴x<−1\therefore \mathrm{x} < -1 অথবা, 12x+1<1\frac{1}{2\mathrm{x}+1} < 1 বা, 2x+1>12\mathrm{x}+1 > 1 বা, 2x+1−1>1−12\mathrm{x}+1-1 > 1-1 বা, 2x>02\mathrm{x} > 0 ∴x>0\therefore \mathrm{x} > 0 ∴\therefore নির্ণেয় শর্ত: x<−1\mathrm{x} < -1 অথবা x>0\mathrm{x} > 0 (Ans.) আবার, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r\mathrm{S_\infty} = \frac{\mathrm{a}}{1 - \mathrm{r}} =12x+11−12x+1= \frac{\frac{1}{2\mathrm{x}+1}}{1 - \frac{1}{2\mathrm{x}+1}} =12x+12x+1−12x+1= \frac{\frac{1}{2\mathrm{x}+1}}{\frac{2\mathrm{x}+1-1}{2\mathrm{x}+1}} =12x+1×2x+12x= \frac{1}{2\mathrm{x}+1} \times \frac{2\mathrm{x}+1}{2\mathrm{x}} =12x= \frac{1}{2\mathrm{x}} (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCউচ্চতর গণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

13x−1+1(3x−1)2+1(3x−1)3+…\frac{1}{3\mathrm{x} - 1} + \frac{1}{(3\mathrm{x} - 1)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x} - 1)^3} + \ldots

Sylhet · 2017

ক
x=2\mathrm{x} = 2 হলে প্রাপ্ত ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত ধারাটি, 13x−1+1(3x−1)2+1(3x−1)3+…\frac{1}{3\mathrm{x}-1} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^3} + \ldots x=2\mathrm{x} = 2 হলে ধারাটি, \frac{1}{3 \cdot 2 - 1} + \frac{1}{(3 \cdot 2 - 1}^2} + \frac{1}{(3 \cdot 2 - 1}^3} + \ldots =15+152+153+…= \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \ldots ∴\therefore ধারাটির সাধারণ অনুপাত =152÷15=15= \frac{1}{5^2} \div \frac{1}{5} = \frac{1}{5} (Ans.)
খ
x=1\mathrm{x} = 1 হলে ধারাটির ৭ম পদ এবং ১ম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর

x=1\mathrm{x} = 1 হলে ধারাটি, \frac{1}{3 \cdot 1 - 1} + \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1}^2} + \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1}^3} + \ldots =12+122+123+…= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots যার প্রথম পদ, a=12\mathrm{a} = \frac{1}{2} সাধারণ অনুপাত, r=122÷12=12<1\mathrm{r} = \frac{1}{2^2} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1 আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n\mathrm{n} তম পদ =arn−1= \mathrm{ar}^{\mathrm{n}-1} ∴\therefore ৭ম পদ =12(12)7−1= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{7-1} =12⋅126=127= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{1}{2^7} (Ans.) আবার, গুণোত্তর ধারার প্রথম n\mathrm{n} পদের সমষ্টি, Sn=a(1−rn)1−r\mathrm{S_n} = \frac{\mathrm{a}(1 - \mathrm{r}^\mathrm{n})}{1 - \mathrm{r}} ∴\therefore প্রথম ১০ পদের সমষ্টি, S10=12(1−1210)1−12\mathrm{S_{10}} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2^{10}}\right)}{1 - \frac{1}{2}} =12⋅210−121012= \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2^{10} - 1}{2^{10}}}{\frac{1}{2}} =1024−11024=10231024= \frac{1024 - 1}{1024} = \frac{1023}{1024} (Ans.)
গ
x\mathrm{x} এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত ধারাটির ১ম পদ, a=13x−1\mathrm{a} = \frac{1}{3\mathrm{x}-1} সাধারণ অনুপাত, r=1(3x−1)2÷13x−1=1(3x−1)2×3x−11=13x−1\mathrm{r} = \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^2} \div \frac{1}{3\mathrm{x}-1} = \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^2} \times \frac{3\mathrm{x}-1}{1} = \frac{1}{3\mathrm{x}-1} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 হয়। অথাৎ, ∣13x−1∣<1\left|\frac{1}{3\mathrm{x}-1}\right| < 1 বা, −1<13x−1<1-1 < \frac{1}{3\mathrm{x}-1} < 1 ∴13x−1<1\therefore \frac{1}{3\mathrm{x}-1} < 1 বা, 3x−1>13\mathrm{x}-1 > 1 বা, 3x−1+1>1+13\mathrm{x}-1+1 > 1+1 বা, 3x>23\mathrm{x} > 2 ∴x>23\therefore \mathrm{x} > \frac{2}{3} অথবা, 13x−1>−1\frac{1}{3\mathrm{x}-1} > -1 বা, 3x−1<−13\mathrm{x}-1 < -1 বা, 3x<−1+13\mathrm{x} < -1+1 বা, 3x<03\mathrm{x} < 0 ∴x<0\therefore \mathrm{x} < 0 ∴x>23\therefore \mathrm{x} > \frac{2}{3} অথবা x<0\mathrm{x} < 0 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। (Ans.) এখন, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r\mathrm{S_\infty} = \frac{\mathrm{a}}{1 - \mathrm{r}} =13x−11−13x−1= \frac{\frac{1}{3\mathrm{x}-1}}{1 - \frac{1}{3\mathrm{x}-1}} =13x−13x−1−13x−1= \frac{\frac{1}{3\mathrm{x}-1}}{\frac{3\mathrm{x}-1-1}{3\mathrm{x}-1}} =13x−2= \frac{1}{3\mathrm{x}-2} (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো
SSC উচ্চতর গণিত — অধ্যায়-৭ : অসীম ধারা MCQ | Prosthuti