Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, ABCD একটি সামান্তরিক।

উত্তর: দেওয়া আছে, PQRS একটি চতুর্ভুজ এবং PQ, QR, RS ও SP এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A, B, C ও D। A ও B, B ও C, C ও D এবং D ও A যোগ করি। QS কর্ণের জন্য Q ও S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক। [চিত্র] প্রমাণ: মনে করি, [গণিত] ও [গণিত] এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] ও B যথাক্রমে PQ ও QR এর মধ্যবিন্দু] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অনুরুপভাবে, [গণিত] এবং [গণিত] আবার, [গণিত] QRS এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] এবং [গণিত] - এ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] উভয়দিকে [গণিত] দ্বারা করে [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক হওয়া সম্ভব নয়। অতএব, [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের ধারকরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল অর্থাৎ [গণিত] ।. অনুরূপভাবে [গণিত] এবং [গণিত] যেহেতু, সামন্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল। অতএব, ABCD একটি সামন্তরিক। [প্রমাণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, ABCD একটি সামান্তরিক।

উদ্দীপক

(i) একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং আয়তন 100π100 \pi ঘন সে.মি.। (ii) PQRS চতুর্ভুজের PQ, QR, RS ও PS এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A, B, C ও D I

Chittagong · 2025

উত্তর

question image দেওয়া আছে, গোলকের ব্যাসার্ধ, r=3r=3 সে.মি. আমরা জানি, গোলকের আয়তন, V=43πr3\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi \mathrm{r}^3 ঘন একক =43π×(3)3=\frac{4}{3} \pi \times(3)^3 ঘন সে.মি. =36π=36 \pi ঘন সে.মি. =113.098=113.098 ঘন সে.মি. (প্রায়) [Ans.]

উত্তর

question image দেওয়া আছে, একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা, h=12\mathrm{h}=12 সে.মি. এবং আয়তন, V=100π\mathrm{V}=100 \pi ঘন সে.মি. ধরি, কোণকের ব্যাসার্ধ = r আমরা জানি, সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন, V=13πr2 h\mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi \mathrm{r}^2 \mathrm{~h} ঘন একক প্রশ্নমতে, 100π=13πr2×12100 \pi=\frac{1}{3} \pi \mathrm{r}^2 \times 12 বা, 100×312=r2\frac{100 \times 3}{12}=\mathrm{r}^2 বা, r2=25\mathrm{r}^2=25 ∴r=5\therefore r=5 ∴ কোণকের ব্যাসার্ধ, r=5 সে.মি. এখন, কোণকের হেলানো উচ্চতা ll হলে, l=r2+h2l=\sqrt{\mathrm{r}^2+\mathrm{h}^2} একক =52+122=\sqrt{5^2+12^2} সে.মি. =25+144=\sqrt{25+144} সে.মি. =169=\sqrt{169} সে.মি. =13=13 সে.মি. ∴ কোণকের হেলানো উচ্চতা 13 সে.মি. [Ans.]

উত্তর

দেওয়া আছে, PQRS একটি চতুর্ভুজ এবং PQ, QR, RS ও SP এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A, B, C ও D। A ও B, B ও C, C ও D এবং D ও A যোগ করি। QS কর্ণের জন্য Q ও S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক। question image প্রমাণ: মনে করি, PQ→=a‾,QR→=b‾,RS→=c‾\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\underline{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{RS}}=\underline{\mathrm{c}} ও SP→=d‾△AQB\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\underline{\mathrm{d}} \triangle \mathrm{AQB} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, AQ→+QB→=AB→\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} বা, 12PQ→+12QR→=AB→[∵A\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}[\because \mathrm{A} ও B যথাক্রমে PQ ও QR এর মধ্যবিন্দু] বা, 12(PQ→+QR→)=AB→\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}})=\overrightarrow{\mathrm{AB}} বা, 12(a‾+b‾)=AB→\frac{1}{2}(\underline{a}+\underline{b})=\overrightarrow{A B} ∴AB→=12(a‾+b‾)\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{a}}+\underline{\mathrm{b}}) অনুরুপভাবে, BC→=12( b‾+c‾),CD→=12(c‾+d‾)\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{~b}}+\underline{\mathrm{c}}), \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{c}}+\underline{\mathrm{d}}) এবং DA→=12(d+a)\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\frac{1}{2}(d+a) আবার, Δ\Delta QRS এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, QS→=QR→+RS→\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}} ∴QS→=b‾+c‾\therefore \overrightarrow{\mathrm{QS}}=\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{c}} এবং △PQS\triangle \mathrm{PQS} - এ, SP→+PQ→+QS→=0‾\overrightarrow{\mathrm{SP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\underline{0} বা, SP→+PQ→−SQ→=0‾[∵QS→=−SQ→]\overrightarrow{\mathrm{SP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{SQ}}=\underline{0} \quad[\because \overrightarrow{\mathrm{QS}}=-\overrightarrow{\mathrm{SQ}}] বা, SQ→=SP→+PQ→∴SQ→=d‾+a‾\overrightarrow{\mathrm{SQ}}=\overrightarrow{\mathrm{SP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \therefore\overrightarrow{\mathrm{SQ}}=\underline{\mathrm{d}}+\underline{\mathrm{a}} এখন, QS→+SQ→=(b‾+c‾)+(d‾+a‾)\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{SQ}}=(\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{c}})+(\underline{\mathrm{d}}+\underline{\mathrm{a}}) বা, QS→−QS→=(b‾+c‾)+(d‾+a‾)[∵SQ→=−QS→]\overrightarrow{\mathrm{QS}}-\overrightarrow{\mathrm{QS}}=(\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{c}})+(\underline{\mathrm{d}}+\underline{\mathrm{a}})[\because \overrightarrow{\mathrm{SQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{QS}}] বা, 0‾=(b‾+c‾)+(d‾+a‾)\underline{0}=(\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{c}})+(\underline{\mathrm{d}}+\underline{\mathrm{a}}) বা, (b‾+c‾)+(d‾+a‾)=0‾(\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{c}})+(\underline{\mathrm{d}}+\underline{\mathrm{a}})=\underline{0} বা, (b‾+c‾)=−(d‾+a‾)(\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{c}})=-(\underline{\mathrm{d}}+\underline{\mathrm{a}}) বা, 12(b‾+c‾)=−12(d‾+a‾)[\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{c})=-\frac{1}{2}(\underline{d}+\underline{a})\left[\right. উভয়দিকে 12\frac{1}{2} দ্বারা করে ]] বা, BC→=−DA→[∵BC→=12(b‾+c‾)\overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\overrightarrow{\mathrm{DA}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{c})\right. এবং DA→=12(d‾+a‾)]\left.\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\frac{1}{2}(\underline{d}+\underline{a})\right] বা, BC→=AD→[∵AD→=−DA→]\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}[\because \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\overrightarrow{\mathrm{DA}}] বা, ∣BC→∣=∣AD→∣|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}| ∴BC=AD\therefore B C=A D আবার, BC→=AD→\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} ∴BC→\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}} ও AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক হওয়া সম্ভব নয়। অতএব, BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ও AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারকরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল অর্থাৎ BC∥AD\mathrm{BC} \| \mathrm{AD} ।. অনুরূপভাবে AB=DC\mathrm{AB}=\mathrm{DC} এবং AB∥DC\mathrm{AB} \| \mathrm{DC} যেহেতু, সামন্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল। অতএব, ABCD একটি সামন্তরিক। [প্রমাণিত]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক
শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।
গ
ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন