Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, MR ও QN এর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা MN ও QR এর সমান্তরাল।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, ∆PQR-এ M ও N যথাক্রমে PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু। ∴ MN || QR এবং MN = [গণিত] QR ∴ MQRN একটি ট্রাপিজিয়াম। আবার, QN ও RM কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। T, S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ST || MN || QR প্রমাণ: মনে করি, Q, R, M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] [ [গণিত] এর মধ্যবিন্দু] এবং [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] [ [গণিত] এর মধ্যবিন্দু] [গণিত] হওয়ায় [গণিত] ভেক্টরটিও [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরের সমান্তরাল হবে, তাহলে [গণিত] ভেক্টরটিও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল হবে। [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, MR ও QN এর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক …

উদ্দীপক

APQR এর ভূমি a = 5.3 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন কোণ x = 40°, অপর দুই বাহুর অন্তর d = 2 সে.মি., PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N.

Dhaka · 2019

উত্তর

মনে করি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r সে.মি. ∴ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4\pir\pir² বর্গ সে.মি. শর্তমতে, 4\pir\pir² = 100π\pi বা, r² = 100π4π=25\frac{100\pi}{4\pi} = 25 ∴ r = 5 সে.মি. ∴ গোলকের আয়তন = 43πr3\frac{4}{3}\pi \mathrm{r}^3 ঘন একক = 43π×53\frac{4}{3}\pi \times 5^3 ঘন সে.মি. = 500π3\frac{500\pi}{3} ঘন সে.মি. (Ans.)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: একটি ত্রিভুজের ভূমি QR = a = 5.3 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন ∠x = 40° এবং PQ – PR = d = 2 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ : ধাপ ১: যেকোনো রশ্মি QF থেকে QR = a = 5.3 সে.মি. কেটে নিই। ধাপ ২: QR-এর Q বিন্দুতে ∠RQE = ∠x = 40° আঁকি। ধাপ ৩: QE থেকে QD = d = 2 সে.মি. কেটে নিই। ধাপ ৪: R, D যোগ করি। ধাপ ৫: RD রশ্মির R বিন্দুতে ∠DRP = ∠EDR আঁকি। ধাপ ৬: RP, DE কে P বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ∆PQR-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

উত্তর

question image দেওয়া আছে, ∆PQR-এ M ও N যথাক্রমে PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু। ∴ MN || QR এবং MN = 12\frac{1}{2}QR ∴ MQRN একটি ট্রাপিজিয়াম। আবার, QN ও RM কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। T, S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ST || MN || QR প্রমাণ: মনে করি, Q, R, M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে q⃗,r⃗,m⃗\vec{\mathrm{q}}, \vec{\mathrm{r}}, \vec{\mathrm{m}} ও n⃗\vec{\mathrm{n}} QR→=r‾−q‾\overrightarrow{QR} = \underline{r} - \underline{q} MN→=n‾−m‾\overrightarrow{MN} = \underline{n} - \underline{m} SS বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(q‾+n‾)= \frac{1}{2}(\underline{q} + \underline{n}) [∵S,QN\because S, QN এর মধ্যবিন্দু] এবং TT বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(r‾+m‾)= \frac{1}{2}(\underline{r} + \underline{m}) [∵T,RM\because T, RM এর মধ্যবিন্দু] ∴\thereforeST→\overrightarrow{ST}=12(r‾+m‾)−12(q‾+n‾)= \frac{1}{2}(\underline{r} + \underline{m}) - \frac{1}{2}(\underline{q} + \underline{n}) =12(r‾+m‾−q‾−n‾)= \frac{1}{2}(\underline{r} + \underline{m} - \underline{q} - \underline{n}) =12{(r‾−q‾)−(n‾−m‾)}= \frac{1}{2}\{(\underline{r} - \underline{q}) - (\underline{n} - \underline{m})\} =12(= \frac{1}{2}(QR→\overrightarrow{QR}−-MN→\overrightarrow{MN})) MN∥QRMN \parallel QR হওয়ায় ((QR→\overrightarrow{QR}−-MN→\overrightarrow{MN})) ভেক্টরটিও QR→\overrightarrow{QR} ও MN→\overrightarrow{MN} ভেক্টরের সমান্তরাল হবে, তাহলে ST→\overrightarrow{ST} ভেক্টরটিও QR→\overrightarrow{QR} ও MN→\overrightarrow{MN} এর সমান্তরাল হবে। ∴ST∥MN∥QR\therefore ST \parallel MN \parallel QR (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক
শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।
গ
ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন