Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি AB = BC হয় এবং P, AC এর উপরস্থ কোনো বিন্দু হয়, তাহলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ∆ABC-এর BA = BC এবং অতিভুজ AC। P, AC এর ওপর যেকোনো বিন্দু। P, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . অঙ্কন: P বিন্দু থেকে BA এবং BC বাহুর ওপর যথাক্রমে PE এবং PD লম্ব টানি। প্রমাণ: ধাপ (১) ∆BAC-এর, ∠B = 90° [দেওয়া আছে] এবং ∠A = ∠C = 45° [∵ BC = BA] এখন, ∆PDC-এর, ∠D = 90° [∵ PD ⊥ BC] সুতরাং, ∠DPC = ∠DCP = 45° ∴ CD = PD অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, PAE সমকোণী ত্রিভুজে, PE = AE (২) PDC সমকোণী ত্রিভুজে PC অতিভুজ হওয়ায় [পিথাগোরাসের উপপাদ্য] [গণিত] [∵ PD = CD] ∴ [গণিত] ... ... ... (i) (৩) PAE সমকোণী ত্রিভুজে PA অতিভুজ হওয়ায়, [পিথাগোরাসের উপপাদ্য] [গণিত] [∵ AE = PE] ∴ [গণিত] ... ... ... (ii) (৪) (i) এবং (ii) নং যোগ করে পাই, [গণিত] আবার, BDPE একটি আয়ত। [∠E = ∠B = ∠D = এক সমকোণ] ∴ PE = BD [∵ আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান] ∴ [গণিত] ... ... ... (iii) (৫) BDP সমকোণী ত্রিভুজে PB অতিভুজ হওয়ায়, [গণিত] [পিথাগোরাসের উপপাদ্য] (৬) (iii) নং হতে পাই, [গণিত] ∴ [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus) · সৃজনশীল

যদি AB = BC হয় এবং P, AC এর উপরস্থ কোনো বিন্দু হয়, তাহলে প্রমাণ করো…

উদ্দীপক

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ এবং AC অতিভুজ।

Chittagong · 2017

উত্তর

পীথাগোরাসের উপপাদ্য: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

উত্তর

question image মনে করি, ∆ABC-এ AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 প্রমাণ করতে হবে যে, ∠B = এক সমকোণ অঙ্কন: DEF একটি ত্রিভুজ আঁকি, যার ∠E = এক সমকোণ DE = AB এবং EF = BC প্রমাণ: যেহেতু ∠E = এক সমকোণ ∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে পাই, DF2=DE2+EF2\mathrm{DF}^2 = \mathrm{DE}^2 + \mathrm{EF}^2 বা, DF2=AB2+BC2\mathrm{DF}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 [∵ অঙ্কন অনুসারে, DE = AB এবং EF = BC] বা, DF2=AC2\mathrm{DF}^2 = \mathrm{AC}^2 ∴ DF = AC এখন ∆ABC এবং ∆DEF-এ AB = DE [অঙ্কন অনুসারে] BC = EF [একই কারণে] এবং AC = DF ∴ ∆ABC ≅ ∆DEF ∴ ∠B = ∠E [অঙ্কন অনুসারে] কিন্তু ∠E = এক সমকোণ ∴ ∠B = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ∆ABC-এর BA = BC এবং অতিভুজ AC। P, AC এর ওপর যেকোনো বিন্দু। P, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PA2+PC2=2PB2\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PC}^2 = 2\mathrm{PB}^2. অঙ্কন: P বিন্দু থেকে BA এবং BC বাহুর ওপর যথাক্রমে PE এবং PD লম্ব টানি। প্রমাণ: ধাপ (১) ∆BAC-এর, ∠B = 90° [দেওয়া আছে] এবং ∠A = ∠C = 45° [∵ BC = BA] এখন, ∆PDC-এর, ∠D = 90° [∵ PD ⊥ BC] সুতরাং, ∠DPC = ∠DCP = 45° ∴ CD = PD অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, PAE সমকোণী ত্রিভুজে, PE = AE (২) PDC সমকোণী ত্রিভুজে PC অতিভুজ হওয়ায় [পিথাগোরাসের উপপাদ্য] PC2=PD2+CD2\mathrm{PC}^2 = \mathrm{PD}^2 + \mathrm{CD}^2 =PD2+PD2= \mathrm{PD}^2 + \mathrm{PD}^2 [∵ PD = CD] ∴ PC2=2PD2\mathrm{PC}^2 = 2\mathrm{PD}^2 ... ... ... (i) (৩) PAE সমকোণী ত্রিভুজে PA অতিভুজ হওয়ায়, [পিথাগোরাসের উপপাদ্য] PA2=AE2+PE2\mathrm{PA}^2 = \mathrm{AE}^2 + \mathrm{PE}^2 =PE2+PE2= \mathrm{PE}^2 + \mathrm{PE}^2 [∵ AE = PE] ∴ PA2=2PE2\mathrm{PA}^2 = 2\mathrm{PE}^2 ... ... ... (ii) (৪) (i) এবং (ii) নং যোগ করে পাই, PC2+PA2=2PD2+2PE2\mathrm{PC}^2 + \mathrm{PA}^2 = 2\mathrm{PD}^2 + 2\mathrm{PE}^2 =2(PD2+PE2)= 2(\mathrm{PD}^2 + \mathrm{PE}^2) আবার, BDPE একটি আয়ত। [∠E = ∠B = ∠D = এক সমকোণ] ∴ PE = BD [∵ আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান] ∴ PC2+PA2=2(PD2+BD2)\mathrm{PC}^2 + \mathrm{PA}^2 = 2(\mathrm{PD}^2 + \mathrm{BD}^2) ... ... ... (iii) (৫) BDP সমকোণী ত্রিভুজে PB অতিভুজ হওয়ায়, PB2=PD2+BD2\mathrm{PB}^2 = \mathrm{PD}^2 + \mathrm{BD}^2 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য] (৬) (iii) নং হতে পাই, PC2+PA2=2PB2\mathrm{PC}^2 + \mathrm{PA}^2 = 2\mathrm{PB}^2 ∴ PA2+PC2=2PB2\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PC}^2 = 2\mathrm{PB}^2 (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD সামন্তরিকের AB = 5 সে.মি., AD = 4 সে.মি. এবং ∠BAD = 75°। অপর একটি সামন্তরিক APML এর ∠LAP = 60°। △AED এর ক্ষেত্রফল ও APML সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল, ABCD সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান।
ক
পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।
খ
△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]
গ
APML সামন্তরিকটি অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।

পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PQ>PR\mathrm{PQ} > \mathrm{PR} এবং S,QR\mathrm{S, QR} এর মধ্যবিন্দু।

Barisal · 2016

ক
পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, ∠PSQ\angle\mathrm{PSQ} স্থূলকোণ।
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2+PR2=2(PS2+QS2)\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{PR}^2 = 2(\mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2)।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, ∠PSQ\angle\mathrm{PSQ} স্থূলকোণ।

প্রমাণ কর যে, ∠PSQ\angle\mathrm{PSQ} স্থূলকোণ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।

পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। যেখানে ∠B=\angle B = এক সমকোণ।

Chittagong · 2016

ক
উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।
গ
ABCABC ত্রিভুজে AB=BCAB = BC এবং PP অতিভুজ ACAC এর উপরস্থ যে কোনো বিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, PA2+PC2=2PB2\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PC}^2 = 2\mathrm{PB}^2 ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।

প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।

উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△ABC\triangle\mathrm{ABC} এ ∠C=1\angle\mathrm{C} = 1 সমকোণ এবং ∠B=2∠A\angle\mathrm{B} = 2\angle\mathrm{A}.

Jessore · 2017

ক
∠A=?\angle\mathrm{A} = ? এবং ∠B=?\angle\mathrm{B} = ?
খ
প্রমাণ করো যে, AB2=AC2+BC2\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2.
গ
প্রমাণ করো যে, △ABC\triangle\mathrm{ABC} এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য এর তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ করো যে, AB2=AC2+BC2\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2.

প্রমাণ করো যে, AB2=AC2+BC2\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∠A=?\angle\mathrm{A} = ? এবং ∠B=?\angle\mathrm{B} = ?

∠A=?\angle\mathrm{A} = ? এবং ∠B=?\angle\mathrm{B} = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

APML সামন্তরিকটি অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রমাণ কর যে, [গণিত] স্থূলকোণ।পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।[গণিত] ত্রিভুজে [গণিত] এবং [গণিত] অতিভুজ [গণিত] এর উপরস্থ যে কোনো বিন্দু হলে, প্প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।প্রমাণ করো যে, [গণিত] এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য এরপ্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন