Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: [গণিত] এর [গণিত] এবং [গণিত] এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে [গণিত] । অঙ্কন: [গণিত] বিন্দু থেকে [গণিত] এর উপর [গণিত] লম্ব টানি। প্রমাণ: (১) [গণিত] -এ [গণিত] এবং অতিভুজ [গণিত] । [গণিত] [পীথাগোরাসের উপপাদ্য]। (২) [গণিত] এ [গণিত] এবং অতিভুজ [গণিত] । [গণিত] [পীথাগোরাসের উপপাদ্য] [গণিত] [ধাপ (১) থেকে]। (৩) [গণিত] -এ [গণিত] এবং অতিভুজ [গণিত] । [গণিত] [ধাপ (১) থেকে] [গণিত] [∵ [গণিত] ]। (৪) ধাপ (২) ও ধাপ (৩) হতে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus) · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, ।

উদ্দীপক

question image চিত্রে PQ>PR\mathrm{PQ} > \mathrm{PR} এবং S,QR\mathrm{S, QR} এর মধ্যবিন্দু।

Barisal · 2016

উত্তর

question image পীথাগোরাসের উপপাদ্য: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। PQR\mathrm{PQR} সমকোণী ত্রিভুজে, PQ2+PR2=QR2\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{PR}^2 = \mathrm{QR}^2 [পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বাচন: দেওয়া আছে, ΔPQR\Delta PQR-এ PQ>PRPQ > PR এবং SS, QRQR এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠PSQ\angle PSQ স্থূলকোণ। প্রমাণ: ধাপ (১) ΔPQR\Delta PQR এ PQ>PRPQ > PR [দেওয়া আছে] ∴∠PRQ>∠PQR\therefore \angle PRQ > \angle PQR [ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ, ক্ষুদ্রতম বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর] (২) এখানে ∠PRQ=∠PRS\angle PRQ = \angle PRS এবং ∠PQR=∠PQS\angle PQR = \angle PQS ∴∠PRS>∠PQS\therefore \angle PRS > \angle PQS \quad [ধাপ (১) থেকে] (৩) ΔPQS\Delta PQS ও ΔPSR\Delta PSR এর মধ্যে QS=SR[S,QRQS = SR \quad [S, QR এর মধ্যবিন্দু] ∴∠SPR>∠QPS[QS\therefore \angle SPR > \angle QPS \quad [QS ও SRSR বাহুদ্বয় QRQR সমান্তরাল রেখার উপর অবস্থিত এবং PQ>PR]PQ > PR] (৪) ΔPQS\Delta PQS এর বহিঃস্থ ∠PSR=∠PQS+∠QPS[\angle PSR = \angle PQS + \angle QPS \quad [ কোনো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান] (৫) আবার ΔPSR\Delta PSR এর বহিঃস্থ ∠PSQ=∠SPR+∠PRS[\angle PSQ = \angle SPR + \angle PRS \quad [ একই কারণে] (৬) ধাপ (২) ও ধাপ (৩) যোগ করে ∠PRS+∠SPR>∠PQS+∠QPS\angle PRS + \angle SPR > \angle PQS + \angle QPS ∠PSQ>∠PSR[\angle PSQ > \angle PSR \quad [ধাপ (৪) ও ধাপ (৫) হতে] (৭) ∠PSQ+∠PSR=180∘[\angle PSQ + \angle PSR = 180^\circ \quad [ সরলকোণ] ∴∠PSQ>90∘[\therefore \angle PSQ > 90^\circ \quad [ ধাপ (৬) থেকে] ∴∠PSQ\therefore \angle PSQ স্থূলকোণ। (প্রমাণিত)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: △PQR\triangle\mathrm{PQR} এর PQ>PR\mathrm{PQ} > \mathrm{PR} এবং S,QR\mathrm{S, QR} এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে PQ2+PR2=2(PS2+QS2)\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{PR}^2 = 2(\mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2)। অঙ্কন: P\mathrm{P} বিন্দু থেকে QR\mathrm{QR} এর উপর PC\mathrm{PC} লম্ব টানি। প্রমাণ: (১) △PSC\triangle\mathrm{PSC}-এ ∠PCS=90°\angle\mathrm{PCS} = 90° এবং অতিভুজ PS\mathrm{PS}। ∴PS2=PC2+SC2\therefore \mathrm{PS}^2 = \mathrm{PC}^2 + \mathrm{SC}^2 [পীথাগোরাসের উপপাদ্য]। (২) △PQC\triangle\mathrm{PQC} এ ∠PCQ=90°\angle\mathrm{PCQ} = 90° এবং অতিভুজ PQ\mathrm{PQ}। ∴PQ2=PC2+QC2\therefore \mathrm{PQ}^2 = \mathrm{PC}^2 + \mathrm{QC}^2 [পীথাগোরাসের উপপাদ্য] =PC2+(QS+SC)2= \mathrm{PC}^2 + (\mathrm{QS} + \mathrm{SC})^2 =PC2+QS2+2QS.SC+SC2= \mathrm{PC}^2 + \mathrm{QS}^2 + 2\mathrm{QS}.\mathrm{SC} + \mathrm{SC}^2 =(PC2+SC2)+QS2+2QS.SC= (\mathrm{PC}^2 + \mathrm{SC}^2) + \mathrm{QS}^2 + 2\mathrm{QS}.\mathrm{SC} ∴PQ2=PS2+QS2+2QS.SC\therefore \mathrm{PQ}^2 = \mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2 + 2\mathrm{QS}.\mathrm{SC} [ধাপ (১) থেকে]। (৩) △PRC\triangle\mathrm{PRC}-এ ∠PCR=90°\angle\mathrm{PCR} = 90° এবং অতিভুজ PR\mathrm{PR}। ∴PR2=PC2+CR2\therefore \mathrm{PR}^2 = \mathrm{PC}^2 + \mathrm{CR}^2 =PC2+(SR−SC)2= \mathrm{PC}^2 + (\mathrm{SR} - \mathrm{SC})^2 =PC2+SR2−2.SR.SC+SC2= \mathrm{PC}^2 + \mathrm{SR}^2 - 2.\mathrm{SR}.\mathrm{SC} + \mathrm{SC}^2 =(PC2+SC2)+SR2−2SR.SC= (\mathrm{PC}^2 + \mathrm{SC}^2) + \mathrm{SR}^2 - 2\mathrm{SR}.\mathrm{SC} =PS2+SR2−2SR.SC= \mathrm{PS}^2 + \mathrm{SR}^2 - 2\mathrm{SR}.\mathrm{SC} [ধাপ (১) থেকে] PR2=PS2+QS2−2QS.SC\mathrm{PR}^2 = \mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2 - 2\mathrm{QS}.\mathrm{SC} [∵ SR=QS\mathrm{SR = QS}]। (৪) ধাপ (২) ও ধাপ (৩) হতে পাই, PQ2+PR2\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{PR}^2 =PS2+QS2+2QS.SC+PS2+QS2−2QS.SC= \mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2 + 2\mathrm{QS}.\mathrm{SC} + \mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2 - 2\mathrm{QS}.\mathrm{SC} =2PS2+2QS2= 2\mathrm{PS}^2 + 2\mathrm{QS}^2 =2(PS2+QS2)= 2(\mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2) ∴PQ2+PR2=2(PS2+QS2)\therefore \mathrm{PQ}^2 + \mathrm{PR}^2 = 2(\mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2) (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD সামন্তরিকের AB = 5 সে.মি., AD = 4 সে.মি. এবং ∠BAD = 75°। অপর একটি সামন্তরিক APML এর ∠LAP = 60°। △AED এর ক্ষেত্রফল ও APML সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল, ABCD সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান।
ক
পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।
খ
△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]
গ
APML সামন্তরিকটি অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।

পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.প্রমাণ কর যে, ∠PSQ\angle\mathrm{PSQ} স্থূলকোণ।

প্রমাণ কর যে, ∠PSQ\angle\mathrm{PSQ} স্থূলকোণ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।

পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। যেখানে ∠B=\angle B = এক সমকোণ।

Chittagong · 2016

ক
উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।
গ
ABCABC ত্রিভুজে AB=BCAB = BC এবং PP অতিভুজ ACAC এর উপরস্থ যে কোনো বিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, PA2+PC2=2PB2\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PC}^2 = 2\mathrm{PB}^2 ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।

প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।

উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△ABC\triangle\mathrm{ABC} এ ∠C=1\angle\mathrm{C} = 1 সমকোণ এবং ∠B=2∠A\angle\mathrm{B} = 2\angle\mathrm{A}.

Jessore · 2017

ক
∠A=?\angle\mathrm{A} = ? এবং ∠B=?\angle\mathrm{B} = ?
খ
প্রমাণ করো যে, AB2=AC2+BC2\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2.
গ
প্রমাণ করো যে, △ABC\triangle\mathrm{ABC} এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য এর তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.প্রমাণ করো যে, AB2=AC2+BC2\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2.

প্রমাণ করো যে, AB2=AC2+BC2\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∠A=?\angle\mathrm{A} = ? এবং ∠B=?\angle\mathrm{B} = ?

∠A=?\angle\mathrm{A} = ? এবং ∠B=?\angle\mathrm{B} = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ এবং AC অতিভুজ।

Chittagong · 2017

ক
পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।
খ
∆ABC এ AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 হলে প্রমাণ করো যে, ∠B = 1 সমকোণ।
গ
যদি AB = BC হয় এবং P, AC এর উপরস্থ কোনো বিন্দু হয়, তাহলে প্রমাণ করো যে, PA2+PC2=2PB2\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PC}^2 = 2\mathrm{PB}^2.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

APML সামন্তরিকটি অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত] স্থূলকোণ।পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।[গণিত] ত্রিভুজে [গণিত] এবং [গণিত] অতিভুজ [গণিত] এর উপরস্থ যে কোনো বিন্দু হলে, প্প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।প্রমাণ করো যে, [গণিত] এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য এরপ্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত]যদি AB = BC হয় এবং P, AC এর উপরস্থ কোনো বিন্দু হয়, তাহলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রমাণ কর যে, । | Prosthuti