Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১, g(x)=sin⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} দৃশ্যকল্প-২, x=tan⁡2y\mathrm{x}=\tan \sqrt{2 y}

Dhaka · 2023

উত্তর

আমরা জানি, log⁡xa=log⁡xe×log⁡ea=ln⁡alog⁡ex\log_{x} a=\log_{x} e \times \log_{e} a=\frac{\ln a}{\log_{e} x} =ln⁡aln⁡x=\frac{\ln a}{\ln x} \therefore \frac{d}{d x} \log_{x} a=\frac{-\ln a}{(\ln x}^{2}} \times \frac{1}{x} =\frac{-\ln a}{x(\ln x}^{2}}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, g(x)=sin⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} ধরি, f(x)=1+2g(x)+3[1−{g(x)}2]f(x)=1+2 g(x)+3\left[1-\{g(x)\}^{2}\right] =1+2sin⁡x+3(1−sin⁡2x)=1+2 \sin x+3\left(1-\sin^{2} x\right) =1+2sin⁡x+3cos⁡2x=1+2 \sin x+3 \cos^{2} x AC=ABcos⁡A+BCcos⁡C\mathrm{AC}=\mathrm{AB} \cos \mathrm{A}+\mathrm{BC} \cos \mathrm{C} ⇒BCcos⁡C=AC−ABcos⁡A\Rightarrow \mathrm{BC} \cos \mathrm{C}=\mathrm{AC}-\mathrm{AB} \cos \mathrm{A} AB=BCcos⁡B+ACcos⁡AA B=B C \cos B+A C \cos A ⇒Bcos⁡B=AB−ACcos⁡A\Rightarrow B \cos B=A B-A C \cos A ⇒f′(x)=2cos⁡x+6cos⁡x⋅(−sin⁡x)\Rightarrow f^{\prime}(x)=2 \cos x+6 \cos x \cdot(-\sin x) =2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=2 \cos x-6 \sin x \cos x চরম মানের জন্য, f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 ⇒2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=0\Rightarrow 2 \cos x-6 \sin x \cos x=0 ⇒2cos⁡x(1−3sin⁡x)=0\Rightarrow 2 \cos x(1-3 \sin x)=0 ∴2cos⁡x=0\therefore 2 \cos x=0 \quad অথবা, 1−3sin⁡x=01-3 \sin x=0 ⇒x=π2⇒sin⁡x=13\Rightarrow x=\frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \sin x=\frac{1}{3} ∴x=sin⁡−113\therefore x=\sin^{-1} \frac{1}{3} আবার, f′′′(x)=−2sin⁡x−6[sin⁡x(−sin⁡x)+cos⁡x⋅cos⁡x]f^{\prime \prime \prime}(x)=-2 \sin x-6[\sin x(-\sin x)+\cos x \cdot \cos x] =−2sin⁡x+6sin⁡2x−6cos⁡2x=-2 \sin x+6 \sin^{2} x-6 \cos^{2} x =−2sin⁡x+6sin⁡2x−56(1−sin⁡2x)=-2 \sin x+6 \sin^{2} x-56\left(1-\sin^{2} x\right) =−2sin⁡x+6sin⁡2x−6+6sin⁡2x=-2 \sin x+6 \sin^{2} x-6+6 \sin^{2} x =12sin⁡2x−2sin⁡x−6=12 \sin^{2} x-2 \sin x-6 ∴f′′(sin⁡−113)=12×(13)2−2×13−6\therefore f^{\prime \prime}\left(\sin^{-1} \frac{1}{3}\right)=12 \times\left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \times \frac{1}{3}-6 =12×19−23−6=12 \times \frac{1}{9}-\frac{2}{3}-6 =43−23−6=4−2−183=−163<0=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-6=\frac{4-2-18}{3}=\frac{-16}{3}<0 ∴x=sin⁡−113\therefore \mathrm{x}=\sin^{-1} \frac{1}{3} বিন্দুতে f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) ফাংশনের চরম মান আছে এবং উক্ত চরম মান, f(sin⁡−113)=1+2×13+3{1−(13)2}.f\left(\sin^{-1} \frac{1}{3}\right)=1+2 \times \frac{1}{3}+3\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right\}. =1+23+3(1−19)=1+\frac{2}{3}+3\left(1-\frac{1}{9}\right) =1+23+3×89=1+\frac{2}{3}+3 \times \frac{8}{9} =1+23+83=1+\frac{2}{3}+\frac{8}{3} =3+2+83=\frac{3+2+8}{3} =133=\frac{13}{3}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, x=tan⁡2y\mathrm{x}=\tan \sqrt{2 y} ⇒2y=tan⁡−1x\Rightarrow \sqrt{2 y}=\tan^{-1} x ⇒2j=(tan⁡−1x)2\Rightarrow 2 j=\left(\tan^{-1} x\right)^{2} ⇒2y1=2tan⁡−1x×11+x2\Rightarrow 2 y_{1}=2 \tan^{-1} x \times \frac{1}{1+x^{2}} ⇒(1+x2)2y1=2×tan⁡−1x\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) 2 y_{1}=2 \times \tan^{-1} x ⇒(1+x2)y1=tan⁡−1x\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) y_{1}=\tan^{-1} x ⇒(1+x2)y2+2xy1=11+x2\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) y_{2}+2 x y_{1}=\frac{1}{1+x^{2}} ⇒(1+x2)2y2+2(1+x2)y1=1\Rightarrow\left(1+x^{2}\right)^{2} y_{2}+2\left(1+x^{2}\right) y_{1}=1 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন