Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] আবার, [গণিত] লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে, [গণিত] এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। [গণিত] গুরুমাन [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, ফাংশনের সর্বোচ্চ মান ।

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

উত্তর

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2=lim⁡θ→0tan⁡θ−sin⁡θθ2=lim⁡θ→0sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θθ2=lim⁡θ→0sin⁡θ(1−cos⁡θ)θ2cos⁡θ=lim⁡θ→0sin⁡θ⋅2sin⁡2θ2θ2cos⁡θ=24lim⁡θ→0sin⁡θlim⁡θ→01cos⁡θlim⁡θ→0(sin⁡θ2θ2)2=12×0×11×1=0 (Ans.) \begin{aligned} & \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta-\sin \theta}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\sin \theta}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta(1-\cos \theta)}{\theta^2 \cos \theta} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta \cdot 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\theta^2 \cos \theta} \\ & =\frac{2}{4} \lim_{\theta \rightarrow 0} \sin \theta \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos \theta} \lim_{\theta \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}\right)^2 \\ & =\frac{1}{2} \times 0 \times \frac{1}{1} \times 1=0 \text{ (Ans.) }\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(u)=sin⁡−1u\mathrm{f}(\mathrm{u})=\sin^{-1} \mathrm{u} এবং y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 বা, y=(sin⁡−12x)2y=\left(\sin^{-1} 2 x\right)^2 x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, y1=2sin⁡−12xddx(sin⁡−12x)\mathrm{y}_1=2 \sin^{-1} 2 \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\sin^{-1} 2 \mathrm{x}\right) বা, y1=2sin⁡−12x⋅11−4x2⋅2y_1=2 \sin^{-1} 2 x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-4 x^2}} \cdot 2 বা, y12=4(sin⁡−12x)2⋅41−4x2y_1^2=4\left(\sin^{-1} 2 x\right)^2 \cdot \frac{4}{1-4 x^2} বা, y12(1−4x2)=16yy_1^2\left(1-4 x^2\right)=16 y পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, (1−4x2)2y1y2+y12(−8x)=16y1\left(1-4 x^2\right) 2 y_1 y_2+y_1{ }^2(-8 x)=16 y_1 বা, (1−4x2)y2−4x1=8\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x_1=8 [2 y1y_1 দ্বারা ভাগ করে] ∴(1−4x2)y2−4xy1−8=0\therefore\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0 (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(u)=ln⁡u\mathrm{g}(\mathrm{u})=\ln \mathrm{u} ধরি, y=g(2x)x=ln⁡2xxy=\frac{g(2 x)}{x}=\frac{\ln 2 x}{x} ∴dydx=xddxln⁡2x−ln⁡2xddxxx2\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} =\frac{x \frac{d}{d x} \ln 2 \mathrm{x}-\ln 2 \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2} =x⋅12x⋅2−ln⁡2x⋅1x2=1−ln⁡2xx2=\frac{\mathrm{x} \cdot \frac{1}{2 \mathrm{x}} \cdot 2-\ln 2 \mathrm{x} \cdot 1}{\mathrm{x}^2}=\frac{1-\ln 2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2} আবার, d2ydx2=x2ddx(1−ln⁡2x)−(1−ln⁡2x)ddxx2(x2)2\frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{x^2 \frac{d}{d x}(1-\ln 2 x)-(1-\ln 2 x) \frac{d}{d x} x^2}{\left(x^2\right)^2} =x2(−12x⋅2)−(1−ln⁡2x)⋅2xx4=\frac{x^2\left(\frac{-1}{2 x} \cdot 2\right)-(1-\ln 2 x) \cdot 2 x}{x^4} =−x−2x(1−ln⁡2x)x4=\frac{-x-2 x(1-\ln 2 x)}{x^4} =−1−2+2ln⁡2xx3=\frac{-1-2+2 \ln 2 x}{x^3} =−3+2ln⁡2xx3=\frac{-3+2 \ln 2 x}{x^3} লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, dydx=0\frac{d y}{d x}=0 বা, 1−ln⁡2xx2=0\frac{1-\ln 2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2}=0 বা, 1=ln⁡2x1=\ln 2 x বা, ln⁡2x=ln⁡e\ln 2 \mathrm{x}=\ln \mathrm{e} বা, 2x=e2 x=e ∴x=e2\therefore \mathrm{x}=\frac{\mathrm{e}}{2} x=e2\mathrm{x}=\frac{\mathrm{e}}{2} হলে, d2ydx2=−3+2ln⁡2⋅e2(e2)3=−1e38=−8e3<0\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}=\frac{-3+2 \ln 2 \cdot \frac{\mathrm{e}}{2}}{\left(\frac{\mathrm{e}}{2}\right)^3}=\frac{-1}{\frac{\mathrm{e}^3}{8}}=\frac{-8}{\mathrm{e}^3}<0 x=e2x=\frac{e}{2} এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। ∴\therefore গুরুমাन =ln⁡2⋅e2e2=1e2=2e=\frac{\ln 2 \cdot \frac{\mathrm{e}}{2}}{\frac{\mathrm{e}}{2}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{e}}{2}}=\frac{2}{\mathrm{e}} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: g(x)=xcosec⁡⁡−11x,y=cos⁡(msin⁡−1p)g(x)=x \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{1}{x}, y=\cos \left(m \sin^{-1} p\right)।

Chittagong · 2017

ক
x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে ln⁡(x+x2+a2)\ln \left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{a}^2}\right) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর যোগজ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্পের আলোকে প্রমাণ কর যে, (1−p2)y2−py1+m2y=0\left(1-p^2\right) y_2-p y_1+m^2 y=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্পের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন