Chapter 9: অন্তরীকরণ Higher Math 1st Paper

HSC Higher Math 1st Paper এর Chapter 9: অন্তরীকরণ অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৮৭৪

প্রশ্ন

Higher Math 1st Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)=lim⁡x→0(1sin⁡x−cos⁡xsin⁡x)=lim⁡x→0(1−cos⁡xsin⁡x)=lim⁡x→02sin⁡2x22sin⁡x2cos⁡x2=lim⁡x→0sin⁡x2cos⁡x2=lim⁡x→0tan⁡x2=tan⁡02=tan⁡0=0 (Ans.) \begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} x-\cot x)=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right) \\ & =\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right)=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\lim_{x \rightarrow 0} \tan \frac{x}{2} \\ & =\tan \frac{0}{2}=\tan 0=0 \text{ (Ans.) }\end{aligned}
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজে, asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} বা, 3bsin⁡2B=bsin⁡B[<a=3b\frac{\sqrt{3} b}{\sin 2 B}=\frac{b}{\sin B} \quad[<a=\sqrt{3} b এবং A=2 B] বা, 32sin⁡Bcos⁡B=1sin⁡B\frac{\sqrt{3}}{2 \sin B \cos B}=\frac{1}{\sin B} বা, 2sin⁡Bcos⁡B=3sin⁡B2 \sin \mathrm{B} \cos \mathrm{B}=\sqrt{3} \sin \mathrm{B} বা, 2cos⁡B=3[<sin⁡B≠02 \cos B=\sqrt{3} \quad[<\sin B \neq 0 কারণ, ত্রিভুজের কোনো কোণ শূন্য হতে পারে না] বা, cos⁡B=32\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2} বা, cos⁡B=cos⁡30∘\cos B=\cos 30^{\circ} ∴B=30∘∴A=2×30∘=60∘\therefore \mathrm{B}=30^{\circ} \quad \therefore \mathrm{A}=2 \times 30^{\circ}=60^{\circ} ∴C=180∘−(30∘+60∘)=180∘−90∘=90∘\therefore \mathrm{C}=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+60^{\circ}\right)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} ∴ABC\therefore \mathrm{ABC} ত্রিভুজের কোণগুলো A=60∘,B=30∘\mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{B}=30^{\circ} এবং C=90∘\mathrm{C}=90^{\circ}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর

দেওয়া আছে, lny = bz বা, lny =bcos⁡−1x[<cos⁡z=x∴z=cos⁡−1x]=b \cos^{-1} x\left[<\cos z=x \therefore z=\cos^{-1} x\right] উভয়পক্ষকে x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, 1yy1=−b11−x2\frac{1}{y} y_1=-b \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} বা, y11−x2=−byy_1 \sqrt{1-x^2}=-b y বা, y12(1−x2)=b2y2\mathrm{y}_1^2\left(1-\mathrm{x}^2\right)=\mathrm{b}^2 \mathrm{y}^2 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] আবার, x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, 2y1y2(1−x2)+y12(−2x)=2b2yy12 y_1 y_2\left(1-x^2\right)+y_1^2(-2 x)=2 b^2 y y_1 বা, y2(1−x2)−xy1=b2yy_2\left(1-x^2\right)-x y_1=b^2 y ∴(1−x2)y2−xy1=b2y\therefore\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2=lim⁡θ→0tan⁡θ−sin⁡θθ2=lim⁡θ→0sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θθ2=lim⁡θ→0sin⁡θ(1−cos⁡θ)θ2cos⁡θ=lim⁡θ→0sin⁡θ⋅2sin⁡2θ2θ2cos⁡θ=24lim⁡θ→0sin⁡θlim⁡θ→01cos⁡θlim⁡θ→0(sin⁡θ2θ2)2=12×0×11×1=0 (Ans.) \begin{aligned} & \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta-\sin \theta}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\sin \theta}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta(1-\cos \theta)}{\theta^2 \cos \theta} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta \cdot 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\theta^2 \cos \theta} \\ & =\frac{2}{4} \lim_{\theta \rightarrow 0} \sin \theta \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos \theta} \lim_{\theta \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}\right)^2 \\ & =\frac{1}{2} \times 0 \times \frac{1}{1} \times 1=0 \text{ (Ans.) }\end{aligned}
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(u)=sin⁡−1u\mathrm{f}(\mathrm{u})=\sin^{-1} \mathrm{u} এবং y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 বা, y=(sin⁡−12x)2y=\left(\sin^{-1} 2 x\right)^2 x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, y1=2sin⁡−12xddx(sin⁡−12x)\mathrm{y}_1=2 \sin^{-1} 2 \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\sin^{-1} 2 \mathrm{x}\right) বা, y1=2sin⁡−12x⋅11−4x2⋅2y_1=2 \sin^{-1} 2 x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-4 x^2}} \cdot 2 বা, y12=4(sin⁡−12x)2⋅41−4x2y_1^2=4\left(\sin^{-1} 2 x\right)^2 \cdot \frac{4}{1-4 x^2} বা, y12(1−4x2)=16yy_1^2\left(1-4 x^2\right)=16 y পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, (1−4x2)2y1y2+y12(−8x)=16y1\left(1-4 x^2\right) 2 y_1 y_2+y_1{ }^2(-8 x)=16 y_1 বা, (1−4x2)y2−4x1=8\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x_1=8 [2 y1y_1 দ্বারা ভাগ করে] ∴(1−4x2)y2−4xy1−8=0\therefore\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0 (দেখানো হলো)
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর

দেওয়া আছে, g(u)=ln⁡u\mathrm{g}(\mathrm{u})=\ln \mathrm{u} ধরি, y=g(2x)x=ln⁡2xxy=\frac{g(2 x)}{x}=\frac{\ln 2 x}{x} ∴dydx=xddxln⁡2x−ln⁡2xddxxx2\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} =\frac{x \frac{d}{d x} \ln 2 \mathrm{x}-\ln 2 \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2} =x⋅12x⋅2−ln⁡2x⋅1x2=1−ln⁡2xx2=\frac{\mathrm{x} \cdot \frac{1}{2 \mathrm{x}} \cdot 2-\ln 2 \mathrm{x} \cdot 1}{\mathrm{x}^2}=\frac{1-\ln 2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2} আবার, d2ydx2=x2ddx(1−ln⁡2x)−(1−ln⁡2x)ddxx2(x2)2\frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{x^2 \frac{d}{d x}(1-\ln 2 x)-(1-\ln 2 x) \frac{d}{d x} x^2}{\left(x^2\right)^2} =x2(−12x⋅2)−(1−ln⁡2x)⋅2xx4=\frac{x^2\left(\frac{-1}{2 x} \cdot 2\right)-(1-\ln 2 x) \cdot 2 x}{x^4} =−x−2x(1−ln⁡2x)x4=\frac{-x-2 x(1-\ln 2 x)}{x^4} =−1−2+2ln⁡2xx3=\frac{-1-2+2 \ln 2 x}{x^3} =−3+2ln⁡2xx3=\frac{-3+2 \ln 2 x}{x^3} লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, dydx=0\frac{d y}{d x}=0 বা, 1−ln⁡2xx2=0\frac{1-\ln 2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2}=0 বা, 1=ln⁡2x1=\ln 2 x বা, ln⁡2x=ln⁡e\ln 2 \mathrm{x}=\ln \mathrm{e} বা, 2x=e2 x=e ∴x=e2\therefore \mathrm{x}=\frac{\mathrm{e}}{2} x=e2\mathrm{x}=\frac{\mathrm{e}}{2} হলে, d2ydx2=−3+2ln⁡2⋅e2(e2)3=−1e38=−8e3<0\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}=\frac{-3+2 \ln 2 \cdot \frac{\mathrm{e}}{2}}{\left(\frac{\mathrm{e}}{2}\right)^3}=\frac{-1}{\frac{\mathrm{e}^3}{8}}=\frac{-8}{\mathrm{e}^3}<0 x=e2x=\frac{e}{2} এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। ∴\therefore গুরুমাन =ln⁡2⋅e2e2=1e2=2e=\frac{\ln 2 \cdot \frac{\mathrm{e}}{2}}{\frac{\mathrm{e}}{2}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{e}}{2}}=\frac{2}{\mathrm{e}} (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

lim⁡y→01−cos⁡yy=lim⁡y→02sin⁡2y2y=lim⁡y→0(sin⁡y2y2)2⋅y2=lim⁡y→0(sin⁡y2y2)2lim⁡y→0y2=12⋅02=0 (Ans.) \begin{aligned} & \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{y} \\ & =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{y}{2}}{y}=\lim_{y \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{y}{2}}{\frac{y}{2}}\right)^2 \cdot \frac{y}{2} \\ & =\lim_{y \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{y}{2}}{\frac{y}{2}}\right)^2 \lim_{y \rightarrow 0} \frac{y}{2}=1^2 \cdot \frac{0}{2}=0 \text{ (Ans.) }\end{aligned}
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, y=f(x)=xtan⁡−1xy=f(x)=x^{\tan^{-1} x} বা, ln⁡y=ln⁡xtan⁡−1x\ln y=\ln x^{\tan^{-1} x} বা, ln⁡y=(tan⁡−1x)(ln⁡x)\ln y=\left(\tan^{-1} x\right)(\ln x) x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(ln⁡y)=ddx{(tan⁡−1x)(ln⁡x)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\ln \mathrm{y})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\left(\tan^{-1} \mathrm{x}\right)(\ln \mathrm{x})\right\} বা, 1ydydx=tan⁡−1x(1x)+ln⁡x⋅11+x2\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\tan^{-1} \mathrm{x}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)+\ln \mathrm{x} \cdot \frac{1}{1+\mathrm{x}^2} ∴ddx(xtan⁡−1x)=xtan⁡−1x(tan⁡−1xx+ln⁡x1+x2)\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}^{\tan^{-1} \mathrm{x}}\right)=\mathrm{x}^{\tan^{-1} \mathrm{x}}\left(\frac{\tan^{-1} \mathrm{x}}{\mathrm{x}}+\frac{\ln \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^2}\right) আবার, ধরি, y=g(x)=log⁡xay=g(x)=\log_x a বা, y=log⁡ea×log⁡xey=\log_{\mathrm{e}} \mathrm{a} \times \log_{\mathrm{x}} \mathrm{e} \quad বা, y=ln⁡a⋅1ln⁡x\mathrm{y}=\ln \mathrm{a} \cdot \frac{1}{\ln \mathrm{x}} x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ln⁡addx(1ln⁡x)\frac{d y}{d x}=\ln a \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{\ln x}\right) বা, \frac{d y}{d x}=(\ln a) \frac{-1}{(\ln x}^2} \frac{d}{d x}(\ln x) \therefore \frac{d}{d x}\left(\log_x a\right)=\frac{-\ln a}{x(\ln x}^2} \text{ (Ans.) }
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর

দেওয়া আছে, y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) বা, y=a+bcos⁡xy=\sqrt{a+b \cos x} বা, y2=a+bcos⁡xy^2=a+b \cos x x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(y2)=ddx(a+bcos⁡x) বা, 2ydydx=−bsin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{y}^2\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\mathrm{a}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}) \text{ বা, } 2 \mathrm{y} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\mathrm{b} \sin \mathrm{x} x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(2ydydx)=ddx(−bsin⁡x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(2 \mathrm{y} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(-\mathrm{b} \sin \mathrm{x}) বা, 2yd2ydx2+2dydxdydx=−bcos⁡x2 y \frac{d^2 y}{d x^2}+2 \frac{d y}{d x} \frac{d y}{d x}=-b \cos x বা, 2yd2ydx2+2(dydx)2+a+bcos⁡x=a2 y \frac{d^2 y}{d x^2}+2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+a+b \cos x=a ∴2yd2yd2+2(dydx)2+y2=a\therefore 2 y \frac{d^2 y}{d^2}+2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+y^2=a [(i) নং হতে] (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, y=lim⁡x→0(1+3x)5xy=\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{5}{x}} ∴ln⁡y=lim⁡x→05xln⁡(1+3x)\therefore \ln y =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{5}{x} \ln (1+3 x) =lim⁡x→05x{3x−(3x)22+(3x)33−….}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{5}{x}\left\{3 x-\frac{(3 x)^2}{2}+\frac{(3 x)^3}{3}-\ldots .\right\} =lim⁡x→0(15−45x2+45x2−…….)=\lim_{x \rightarrow 0}\left(15-\frac{45 x}{2}+45 x^2-\ldots \ldots .\right) বা, ln⁡y=15\ln y=15 বা, y=e15y=e^{15} ∴lim⁡x→0(1+3x)5x=e15 (Ans.) \therefore \lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{5}{x}}=e^{15} \text{ (Ans.) }
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(p)=e−2p\mathrm{f}(\mathrm{p})=\mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}} ∴f(p+h)=e−2(p+h)=e−2p−2 h\therefore \mathrm{f}(\mathrm{p}+\mathrm{h})=\mathrm{e}^{-2(\mathrm{p}+\mathrm{h})}=\mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}-2 \mathrm{~h}} সংজ্ঞানুসারে, ddp{f(p)}=lim⁡h→0f(p+h)−f(p)h\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dp}}\{\mathrm{f}(\mathrm{p})\}=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{f}(\mathrm{p}+\mathrm{h})-\mathrm{f}(\mathrm{p})}{\mathrm{h}} ∴ddp(e−2p)=lim⁡h→0e−2p−2 h−e−2ph\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dp}}\left(\mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}}\right)=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}-2 \mathrm{~h}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}}}{\mathrm{h}} =lim⁡h→0e−2p(e−h−1)h=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{h}}-1\right)}{\mathrm{h}} =lim⁡h→0e−2ph(1−2 h1!+(−2 h)22!+……−1)=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}}}{\mathrm{h}}\left(1-\frac{2 \mathrm{~h}}{1!}+\frac{(-2 \mathrm{~h})^2}{2!}+\ldots \ldots-1\right) =lim⁡h→0e−2p(−2+2 h+h=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}}(-2+2 \mathrm{~h}+\mathrm{h} এর উচ্চ ঘাতবিশিষ্ট পদসমূহ) =−2e−2p (Ans.) =-2 \mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}} \text{ (Ans.) }
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর

ধরি, y=4f(p)+9f(p)y=4 f(p)+\frac{9}{f(p)} =4e−2p+9e−2p=4e−2p+9e2p=4 e^{-2 p}+\frac{9}{e^{-2 p}}=4 e^{-2 p}+9 e^{2 p} ∴dydp=4(−2)e−2p+9.2e2p=−8e−2p+18e2p\therefore \frac{d y}{d p}=4(-2) e^{-2 p}+9.2 e^{2 p}=-8 e^{-2 p}+18 e^{2 p} ∴d2ydp2=−8(−2e−2p)+18(2e2p)=16e−2p+36e2p\therefore \frac{d^2 y}{d p^2}=-8\left(-2 e^{-2 p}\right)+18\left(2 e^{2 p}\right)=16 e^{-2 p}+36 e^{2 p} চরম মানের জন্য, dydp=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dp}}=0 বা, −8e−2p+18e2p=0-8 \mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}}+18 \mathrm{e}^{2 \mathrm{p}}=0 বা, 18e2p=8e−2p18 \mathrm{e}^{2 \mathrm{p}}=8 \mathrm{e}^{-2 \mathrm{p}} বা, e4p=818=49\mathrm{e}^{4 \mathrm{p}}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9} বা, 4p=ln⁡49∴p=14ln⁡494 \mathrm{p}=\ln \frac{4}{9} \therefore \mathrm{p}=\frac{1}{4} \ln \frac{4}{9} p=14ln⁡49\mathrm{p}=\frac{1}{4} \ln \frac{4}{9} হলে, d2ydp2=16e−2×14ln⁡49+36e2×14ln⁡49\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dp}^2}= 16 \mathrm{e}^{-2 \times \frac{1}{4} \ln \frac{4}{9}}+36 \mathrm{e}^{2 \times \frac{1}{4} \ln \frac{4}{9}} =16eln⁡(49)−12+36eln⁡(49)12=16 \mathrm{e}^{\ln \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{-1}{2}}} +36 e^{\ln \left(\frac{4}{9}\right) \frac{1}{2}} =16×32+36×23=24+24=48>0=16 \times \frac{3}{2}+36 \times \frac{2}{3}=24+24=48>0 ∴p=14ln⁡49\therefore \mathrm{p}=\frac{1}{4} \ln \frac{4}{9} এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান =4e−2×14ln⁡49+9e2×14ln⁡49=4 \mathrm{e}^{-2 \times \frac{1}{4} \ln \frac{4}{9}+9 \mathrm{e}^{2 \times \frac{1}{4}} \ln \frac{4}{9}} =4eln⁡(49)−12+9eln⁡(49)12=4 \mathrm{e}^{\ln \left(\frac{4}{9}\right) \frac{-1}{2}}+9 \mathrm{e}^{\ln \left(\frac{4}{9}\right) \frac{1}{2}} =4×32+9×23=4 \times \frac{3}{2}+9 \times \frac{2}{3} = 6+6 =12 (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো