Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, g(x) = 0 বক্ররেখার যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের যোগফল একটি ধ্রুবক।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, বক্ররেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] .. (i) (1) নং কে [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] মরে করি, যেকোনো স্পর্শবিন্দু [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] এব: [গণিত] বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (ii) [উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] বিন্দুটি (i) নং বক্ররেখার উপর অবস্থিত হওয়ায়, [গণিত] .. (iii) [গণিত] (ii) নং সমীকরণ হতে পাই, [গণিত] নং ব্যবহার করে] এখন, (iv) নং স্পর্শকের সমীকরণে, [গণিত] হলে, [গণিত] অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, [গণিত] হলে, [গণিত] অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, [গণিত] স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল [গণিত] যা ধ্রুবক। অর্থাৎ অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, g(x) = 0 বক্ররেখার যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক দ্বারা অক্…

উদ্দীপক

f(x)=a5x,g(x)=x2a+y2a−1f(x)=a^{5 x}, g(x)=\sqrt{\frac{x}{2 a}}+\sqrt{\frac{y}{2 a}}-1.

Jessore · 2023

উত্তর

lim⁡x→ax32−a32x−a=lim⁡x→a(x12)3−(a12)3x−a=lim⁡x→a(x)3−(a)3x−a=3⋅(a)3−1[∵lim⁡x→pxn−pnx−p=npn−1]=3(a)2=3a\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow a} \frac{x^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} & =\lim_{x \rightarrow a} \frac{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3-\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \\ & =\lim_{x \rightarrow a} \frac{(\sqrt{x})^3-(\sqrt{a})^3}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \\ & =3 \cdot(\sqrt{a})^{3-1}\left[\because \lim_{x \rightarrow p} \frac{x^n-p^n}{x-p}=n p^{n-1}\right] \\ & =3(\sqrt{a})^2=3 a\end{aligned} নির্ণেয় মান : 3a

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=a5xf(x)=a^{5 x} f(x+h)=a5(x+h)f(x+h)=a^{5(x+h)} অন্তরজের মূল নিয়ম অনুযায়ী, f′(x)=ddxf(x)f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) =Lt⁡h→0f(x+h)−f(x)h=\operatorname{Lt}_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{f(\mathrm{x}+\mathrm{h})-f(\mathrm{x})}{\mathrm{h}} =Lt⁡h→0a5(x+h)−a5xh=\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{a^{5(x+h)}-a^{5 x}}{h} =Lth→0a5x(a5h−1)h=\mathrm{Lt}_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{a}^{5 x}\left(a^{5 h}-1\right)}{h} =a5xLt⁡h→0{1+5hln⁡a+(5hln⁡a)22!+(5hln⁡a)33!+……}−1h=a^{5 x} \operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{\left\{1+5 h \ln a+\frac{(5 h \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{(5 h \ln a)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right\}-1}{h} =a5xLt⁡h→0h{5ln⁡a+h(5ln⁡a)22!+h2(5ln⁡a)33!+……}h=a^{5 x} \operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{h\left\{5 \ln a+\frac{h(5 \ln a)^{2}}{2 !}+\frac{h^{2}(5 \ln a)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right\}}{h} =a5xLth→0[5ln⁡a+h(5ln⁡a)22!+h2(5ln⁡a)33!+……]=\mathrm{a}^{5 \mathrm{x}} \underset{\mathrm{h} \rightarrow 0}{\mathrm{Lt}}\left[5 \ln \mathrm{a}+\frac{\mathrm{h}(5 \ln \mathrm{a})^{2}}{2 !}+\frac{\mathrm{h}^{2}(5 \ln \mathrm{a})^{3}}{3 !}+\ldots \ldots\right] =a5x[5ln⁡a+0+0+=a^{5 x}[5 \ln a+0+0+ =5a5xln⁡a=5 a^{5 x} \ln a নির্ণেয় অন্তরজ : 5a5xln⁡5 \mathrm{a}^{5 \mathrm{x}} \ln a.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x2a+y2a−1g(x)=\sqrt{\frac{x}{2 a}}+\sqrt{\frac{y}{2 a}}-1 আবার, বক্ররেখার সমীকরণ, g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 বা, x2a+y2a−1=0\sqrt{\frac{x}{2 a}}+\sqrt{\frac{y}{2 a}}-1=0 বা, x2a+y2a=1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 a}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2 a}}=1 বা, x+y=2a\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2 a}
…..(i)(1)\ldots.. (i) (1)
নং কে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(x+y)=ddx(2a)\frac{d}{d x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{d}{d x}(\sqrt{2 a}) বা, ddx(x12)+ddx(y12)=0\frac{d}{d x}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\frac{d}{d x}\left(y^{\frac{1}{2}}\right)=0 বা, 12x−12+12y12−1dydx=0\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2}-1} \frac{d y}{d x}=0 বা, 1x+1ydydx=0\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=0 বা, 1ydydx=−1x\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{x}} dydx=−yx\frac{d y}{d x}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} মরে করি, যেকোনো স্পর্শবিন্দু (x1,y1)\left(x_{1}, y_{1}\right) ∴(x1,y1)\therefore \quad\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) বিন্দুতে dydx=−y1x1\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{\sqrt{\mathrm{y}_{1}}}{\sqrt{\mathrm{x}_{1}}} এব: (x1,y1)\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−y1=dydx(x−x1)=−y1x1(x−x1)y-y_{1}=\frac{d y}{d x}\left(x-x_{1}\right)=-\frac{\sqrt{y_{1}}}{\sqrt{x_{1}}}\left(x-x_{1}\right) বা, x1y−x1y1=−y1x+x1y1\sqrt{x_{1}} y-\sqrt{x_{1}} y_{1}=-\sqrt{y_{1}} x+x_{1} \sqrt{y_{1}} বা, x1y+xy1=x1y1+x1y1\sqrt{x_{1}} y+x \sqrt{y_{1}}=\sqrt{x_{1}} y_{1}+x_{1} \sqrt{y_{1}} বা, xx1+yy1=x1+y1\frac{x}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{y}{\sqrt{y_{1}}}=\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}
……(ii)[\ldots\ldots (ii) [
উভয়পক্ষকে x1y1\sqrt{\mathrm{x}_{1}} \sqrt{\mathrm{y}_{1}} দ্বারা ভাগ করে] (x1,y1)\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) বিন্দুটি (i) নং বক্ররেখার উপর অবস্থিত হওয়ায়, x1+y1=2a\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}=\sqrt{2 a} ……..(iii)\ldots\ldots.. (iii) ∴\therefore (ii) নং সমীকরণ হতে পাই, xx1+yy1=2a……(iv)[(iii)\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}_{1}}}+\frac{\mathrm{y}}{\sqrt{\mathrm{y}_{1}}}=\sqrt{2 \mathrm{a}} \ldots \ldots (iv) [(iii) নং ব্যবহার করে] এখন, (iv) নং স্পর্শকের সমীকরণে, y=0y=0 হলে, xx অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, x=x12ax=\sqrt{x_{1}} \sqrt{2 a} x=0x=0 হলে, yy অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, y=y12ay=\sqrt{y_{1}} \sqrt{2 a} ∴\therefore \quad স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল =2ax1+2ay1=\sqrt{2 a} \sqrt{x_{1}}+\sqrt{2 a} \sqrt{y_{1}} =2a(x1+y1)=\sqrt{2 a}\left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}\right) =2a×2a=\sqrt{2 a} \times \sqrt{2 a} =(2a)2=2a;=(\sqrt{2 a})^{2}=2 a ; যা ধ্রুবক। অর্থাৎ অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন