Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] বক্রেরেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল c।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বক্ররেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, (a, b) বিন্দুটি (i) নং এর স্পর্শ বিন্দু [গণিত] (ii) (i) নং কে [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] . বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] (a, b) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] দ্বারা ভাগ করে [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [(ii) নং হতে] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ, [গণিত] হলে, [গণিত] অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ, [গণিত] স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল [গণিত] যা একটি ধ্রুবক (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, f(x)+f(y)=f(c)f(\mathrm{x})+f(\mathrm{y})=f(\mathrm{c}) বক্রেরেখার (a,b)(a, b) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল c।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=xf(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}} ∴f(y)=y,f(c)=c\therefore \quad f(\mathrm{y})=\sqrt{\mathrm{y}}, f(\mathrm{c})=\sqrt{\mathrm{c}} বক্ররেখার সমীকরণ, f(x)+f(y)=f(c)f(\mathrm{x})+f(\mathrm{y})=f(\mathrm{c}) বা, x+y=c…(i)\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{y}}=\sqrt{\mathrm{c}} \ldots (i) আবার, (a, b) বিন্দুটি (i) নং এর স্পর্শ বিন্দু ∴a+b=c\therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}
……(ii)(i)\ldots\ldots (ii) (i)
নং কে x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(x+y)=ddx(c)\frac{d}{d x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{d}{d x}(\sqrt{c}) বা, ddx(x12)+ddx(y12)=0\frac{d}{d x}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\frac{d}{d x}\left(y^{\frac{1}{2}}\right)=0. বা, 12x−12+12y−12dydx=0\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} y^{-\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x}=0 বা, 1x+1ydydx=0\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=0 বা, 1ydydx=−1x\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{x}} ∴dydx=−yx\therefore \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} (a,b)(a, b) বিন্দুতে dydx=(dydx)(a,b)=−ba\frac{d y}{d x}=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, b)}=-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} (a, b) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−y1=(dydx)(a,b)(x−x1)y-y_{1}=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, b)}\left(x-x_{1}\right) বা, y−b=−ba(x−a)y-b=-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}(x-a) বা, ay−ab=−bx+ab\sqrt{a} y-\sqrt{a b}=-\sqrt{b} x+a \sqrt{b} বা, bx+ay=ab+ab\sqrt{b} x+\sqrt{a} y=a \sqrt{b}+\sqrt{a b} বা, bx+ayab=ab+abab[ab\frac{\sqrt{b} x+\sqrt{a y}}{\sqrt{a} \sqrt{b}}=\frac{a \sqrt{b}+\sqrt{a b}}{\sqrt{a} \sqrt{b}}[\sqrt{a} \sqrt{b} দ্বারা ভাগ করে ]] বা, xa+yb=a+b\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{a}}}+\frac{\mathrm{y}}{\sqrt{\mathrm{b}}}=\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{b}} বা, xa+yb=c\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{a}}}+\frac{\mathrm{y}}{\sqrt{\mathrm{b}}}=\sqrt{\mathrm{c}} [(ii) নং হতে] এখন, y=0y=0 হলে, xx অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ, x=acx=\sqrt{a} \sqrt{c} x=0x=0 হলে, yy অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ, y=bcy=\sqrt{b} \sqrt{c} ∴\therefore \quad স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল =ac+bc=\sqrt{a} \sqrt{c}+\sqrt{b} \sqrt{c} =c(a+b)=\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) =c⋅c=\sqrt{c} \cdot \sqrt{c} =c;=c ; যা একটি ধ্রুবক (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন