Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [পুণরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীক্ররণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . [প্রমাণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x. দৃশ্যকল্প-২ : x=sin⁡(1mln⁡y)x=\sin \left(\frac{1}{m} \ln y\right).

Dinajpur · 2023

উত্তর

lim⁡x→∞7xsin⁡a7x\lim_{x \rightarrow \infty} 7^{x} \sin \frac{a}{7^{x}} ধরি, a7x=θ\frac{a}{7^{x}}=\theta বা, 7x=aθ7^{x}=\frac{a}{\theta} x→θx \rightarrow \theta হলে, θ→0\theta \rightarrow 0 ∴lim⁡x→∞7xsin⁡a7x=lim⁡θ→0aθ⋅sin⁡θ\therefore \lim_{x \rightarrow \infty} 7^{x} \sin \frac{a}{7^{x}}=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{a}{\theta} \cdot \sin \theta =lim⁡θ→0sin⁡θθ=\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} =a⋅1=a=a \cdot 1=a নির্ণেয় মান : a.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ধরি, g(x)=f(π2−2x)f(2x)=sin⁡(π2−2x)sin⁡2x=cos⁡2xsin⁡2xg(x)=\frac{f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)}{f(2 x)}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)}{\sin 2 x}=\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x} ∴g(x)=cot⁡2x\therefore \quad g(x)=\cot 2 x ∴g(x+h)=cot⁡2(x+h)=cot⁡(2x+2h)\therefore \quad g(x+h)=\cot 2(x+h)=\cot (2 x+2 h) অন্তরজের সংজ্ঞানুযায়ী আমরা পাই, ddx{g(x)}=lim⁡h→0g(x+h)−g(x)h\frac{d}{d x}\{g(x)\} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} =lim⁡h→0cot⁡(2x+2h)−cot⁡2xh=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cot (2 x+2 h)-\cot 2 x}{h} lim⁡h→0cos⁡(2x+2h)sin⁡(2x+2h)−cos⁡2xsin⁡2xh\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\cos (2 x+2 h)}{\sin (2 x+2 h)}-\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (2 x+2 h) \sin 2 x-\cos 2 x \sin (2 x+2 h)}{h \sin (2 x+2 h} \sin 2 x} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (2 x-2 x-2 h)}{h \sin (2 x+2 h} \sin 2 x} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin 2 h}{h \sin (2 x+2 h} \sin 2 x} =−2lim⁡h→0(sin⁡2h2h)lim⁡→01sin⁡2(2x+2h)⋅sin⁡2x=-2 \lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 2 h}{2 h}\right) \lim \rightarrow 0 \frac{1}{\sin^{2}(2 x+2 h) \cdot \sin^{2 x}} =−2⋅1⋅1sin⁡2x⋅sin⁡2x=−2⋅1sin⁡22x=−2cosec⁡⁡22x= -2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sin 2 x \cdot \sin 2 x}=-2 \cdot \frac{1}{\sin^{2} 2 x}=-2 \operatorname{\cosec}^{2} 2 x ∴ddx(cot⁡2x)=−2cosec⁡⁡22x\therefore \quad \frac{d}{d x}(\cot 2 x)=-2 \operatorname{\cosec}^{2} 2 x.

উত্তর

দেওয়া আছে, x=sin⁡(1 mln⁡y)\mathrm{x}=\sin \left(\frac{1}{\mathrm{~m}} \ln \mathrm{y}\right) বা, 1mln⁡y=sin⁡−1x\frac{1}{m} \ln y=\sin^{-1} x বা, ln⁡y=msin⁡−1x\ln y=m \sin^{-1} x বা, 1ydydx=m11−x2[x\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=m \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}[x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, 1yy1=m1−x2\frac{1}{\mathrm{y}} \mathrm{y}_{1}=\frac{\mathrm{m}}{\sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}} বা, y12y2=m21−x2\frac{y_{1}^{2}}{y^{2}}=\frac{m^{2}}{1-x^{2}} [বর্গ করে] বা, (1−x2)y12=m2y2\left(1-x^{2}\right) y_{1}^{2}=m^{2} y^{2} বা, ddx{(1−x2)y12}=ddx(m2y2)\frac{d}{d x}\left\{\left(1-x^{2}\right) y_{1}{ }^{2}\right\}=\frac{d}{d x}\left(m^{2} y^{2}\right) [পুণরায় x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীক্ররণ করে] বা, (1−x2)ddxy12+y12ddx(1−x2)=m2⋅2y⋅y1\left(1-x^{2}\right) \frac{d}{d x} y_{1}^{2}+y_{1}^{2} \frac{d}{d x}\left(1-x^{2}\right)=m^{2} \cdot 2 y \cdot y_{1} বা, (1−x2)⋅2y1y2+y12(0−2x)=m2⋅2y⋅y1\left(1-x^{2}\right) \cdot 2 y_{1} y_{2}+y_{1}^{2}(0-2 x)=m^{2} \cdot 2 y \cdot y_{1} ∴(1−x2)y2−xy1=m2y\therefore \quad\left(1-x^{2}\right) y_{2}-x y_{1}=m^{2} y. [প্রমাণিত]
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন