Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক হতে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে, উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=ln⁡x,g(x)=(x+1+x2)f(x)=\ln x, g(x)=\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)

Comilla · 2023

উত্তর

ধরি, y=cos⁡−1x\mathrm{y}=\cos^{-1} \sqrt{x} ⇒dydx=−11−(x)2×ddx(x)\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}} \times \frac{d}{d x}(\sqrt{x}) =−11−x×12x=\frac{-1}{\sqrt{1-x}} \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} =−12x(1−x)=\frac{-1}{2 \sqrt{x(1-x)}} =−12x−x2=\frac{-1}{2 \sqrt{x-x^{2}}}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x ∴f(x+4)=ln⁡(x+4)\therefore f(x+4)=\ln (x+4) মূল নিয়নে অন্তরীকরণের সংখ্যা হতে পাই, ddxf(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\frac{d}{d x} f(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} ⇒ddxf(x)=lim⁡h→01h{ln⁡(x+h)−ln⁡x}\Rightarrow \frac{d}{d x} f(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\{\ln (x+h)-\ln x\} =lim⁡h→01hln⁡x+hx=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \ln \frac{x+h}{x} =lim⁡h→01hln⁡(1+hx)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \ln \left(1+\frac{h}{x}\right) =lim⁡h→01h(hx−h22x2+h33x3+⋯ )=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{h}{x}-\frac{h^{2}}{2 x^{2}}+\frac{h^{3}}{3 x^{3}}+\cdots\right) =lim⁡h→0(1x−h2x2+h23x2+⋯ )=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{h}{2 x^{2}}+\frac{h^{2}}{3 x^{2}}+\cdots\right) ∴ddxf(x)=1x\therefore \frac{d}{d x} f(x)=\frac{1}{x}

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, g(x)=x+1+x2g(x)=x+\sqrt{1+x^{2}} ∴z={g(x)}m\therefore z=\{g(x)\}^{m} =(x+1+x2)m=\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m} ⇒dzdx=m(x+1+x2)m−1×(1+121+x2×2x)\Rightarrow \frac{d z}{d x}=m\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m-1} \times\left(1+\frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}}} \times 2 x\right) ⇒dzdx=m(x+1+x2)mx+1+x2(1+x1+x2)\Rightarrow \frac{d z}{d x}=m \frac{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{m}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right) ⇒dzdx=mzx+1+x2×x+1+x21+x2\Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{m z}{x+\sqrt{1+x^{2}}} \times \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}} ⇒(1+x2)dzdx=mz\Rightarrow\left(\sqrt{1+x^{2}}\right) \frac{d z}{d x}=m z ⇒(1+x2)(dzdx)2=m2z2\Rightarrow\left(1+x^{2}\right)\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2}=m^{2} z^{2} ⇒(1+x2)2⋅dzdx⋅d2zdx2+(dzdx)2×2x=m2×2z×dzdx\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) 2 \cdot \frac{d z}{d x} \cdot \frac{d^{2} z}{d x^{2}}+\left(\frac{d z}{d x}\right)^{2} \times 2 x=m^{2} \times 2 z \times \frac{d z}{d x} ⇒(1+x2)d2zdx2+xdzdx−m2z=0\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) \frac{d^{2} z}{d x^{2}}+x \frac{d z}{d x}-m^{2} z=0 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন