Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর চরম মানসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] চরম মান থাকবে, যেখানে [গণিত] হয়, [গণিত] এখন, [গণিত] বসিয়ে, [গণিত] লঘু মান বিদ্যমান [গণিত] বসিয়ে, [গণিত] লঘু মান বিদ্যমান [গণিত] বিন্দুতে গুরু মান বিদ্যামান লঘুমান [গণিত] গুরুমান [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এর চরম মানসমূহ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} এবং g(x)=4x3+3x2−6x+30\mathrm{g}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^{3}+3 \mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+30 দুটি ফাংশন।

Dinajpur · 2022

উত্তর

lim⁡x→02e−sin⁡x−2sin⁡x\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 e^{-\sin x}-2}{\sin x} =lim⁡x→02(e−sin⁡x−1)sin⁡x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\left(e^{-\sin x}-1\right)}{\sin x} =lim⁡x→02sin⁡x(1+(−sin⁡x)21+(−sin⁡x)212)(∵ex=1+x11+x2L2+x323+⋯ =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sin x}\left(1+\frac{(-\sin x)}{21}+\frac{(-\sin x)^{2}}{12}\right) \quad\left(\because e^{x}=1+\frac{x}{11}+\frac{x^{2}}{L^{2}}+\frac{x^{3}}{23}+\cdots\right. +(−sin⁡x)323+⋯−1)\left.+\frac{(-\sin x)^{3}}{23}+\cdots-1\right) =lim⁡x→02sin⁡x(−sin⁡xL1+sin⁡2xL2−sin⁡3x∠3+⋯ )=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sin x}\left(\frac{-\sin x}{L 1}+\frac{\sin^{2} x}{L^{2}}-\frac{\sin^{3} x}{\angle 3}+\cdots\right) =lim⁡x→02sin⁡x×sin⁡x(−1+sin⁡xL2−sin⁡2xL3+⋯ )=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sin x} \times \sin x\left(-1+\frac{\sin x}{L^{2}}-\frac{\sin^{2} x}{L^{3}}+\cdots\right) =lim⁡x→02(−1+sin⁡xL2−sin⁡2xL3+⋯ )=\lim_{x \rightarrow 0} 2\left(-1+\frac{\sin x}{L^{2}}-\frac{\sin^{2} x}{L^{3}}+\cdots\right) =lim⁡sin⁡x→02(−1+sin⁡xL2−sin⁡2xL3+⋯ )=\lim_{\sin x \rightarrow 0} 2\left(-1+\frac{\sin x}{L^{2}}-\frac{\sin^{2} x}{L^{3}}+\cdots\right) =2x(−1+0−0+⋯ )sin⁡x→0=2 x(-1+0-0+\cdots) \sin x \rightarrow 0 =−2Ans=-2 \mathrm{Ans}

উত্তর

এখানে, f(π2−2x)f(2x)=sin⁡(π2−2x)sin⁡(2x)=cos⁡2xsin⁡2x\begin{aligned}\frac{f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)}{f(2 x)} & =\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)}{\sin (2 x)} \\& =\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}\end{aligned} মূল নিয়মের সাপেক্ষে আমরা জানি, \begin{aligned}& \frac{d y}{d x}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos 2(x+h)}{\sin 2(x+h)}-\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x} \times \frac{1}{h} \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (2 \mathrm{x}+2 \mathrm{~h}) \sin 2 \mathrm{x}-\cos 2 \mathrm{x} \sin (2 \mathrm{x}+2 \mathrm{~h})}{\sin (2 \mathrm{x}+2 \mathrm{~h}) \sin (2 \mathrm{x}) \times \mathrm{h}}[\therefore \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}-\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B}=\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B})] \\ & =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (2 \mathrm{x}-2 \mathrm{x}-2 h)}{h \times 2 x(+2 h) \sin (2 x)} \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (-2 h)}{h} \times \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sin (2 x+2 h} \cdot \sin 2 x} \\& =-2 \lim_{2 h \rightarrow 0} \frac{\sin (2 h)}{2 h} \times \frac{1}{\sin^{2} 2 x} \\& =-2 \times 1 \times \operatorname{\cosec}^{2} 2 \mathrm{x} \\& =-2 \operatorname{\cosec}^{2} 2 x\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=4x3+3x2−6x+30g(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-6 x+30 চরম মান থাকবে, যেখানে g′(x)=0g^{\prime}(x)=0 হয়, g′(x)=0⇒12x2+6x−6=0⇒2x2+x−1=0x=1/2,−1∴x=12,−1 বিন্দুতে চরম বিন্দু রয়েছে \begin{aligned}& g^{\prime}(x)=0 \\& \Rightarrow 12 x^{2}+6 x-6=0 \\& \Rightarrow 2 x^{2}+x-1=0 \\& x=1 / 2,-1 \\& \therefore x=\frac{1}{2},-1 \text{ বিন্দুতে চরম বিন্দু রয়েছে }\end{aligned} এখন, g′′(x)=24x+6g^{\prime \prime}(x)=24 x+6 x=1/2x=1 / 2 বসিয়ে, g′′(1/2)=24×12+6=18>0g^{\prime \prime}(1 / 2)=24 \times \frac{1}{2}+6=18>0 ∴x=12G\therefore x=\frac{1}{2} G লঘু মান বিদ্যমান x=−1x=-1 বসিয়ে, g′′(12)=24×−1+6=−18<0g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)=24 \times-1+6=-18<0 ∴x=−1\therefore x=-1 লঘু মান বিদ্যমান ∴x=−1\therefore \mathrm{x}=-1 বিন্দুতে গুরু মান বিদ্যামান লঘুমান f(12)=4×(1/2)3+3(12)2−6×12+30f\left(\frac{1}{2}\right)=4 \times(1 / 2)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-6 \times \frac{1}{2}+30 =1134 Ans =\frac{113}{4} \text{ Ans } গুরুমান f(−1)=4(−1)3+3(−1)2−6×(−1)+30f(-1)=4(-1)^{3}+3(-1)^{2}-6 \times(-1)+30 =35(Ans)=35 (Ans)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন