Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর ফাংশনটির লঘুমান ও গুরুমান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] লঘুমান বা গুরুমানের জন্য শর্তমতে, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বা গুরুমান বিদ্যমান। এখন দ্বিতীয় অন্তরজে ( [গণিত] ) মান বসিয়ে পাই: যখন [গণিত] , [গণিত] যেহেতু মান ধনাত্মক, তাই [গণিত] বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান (Minimum Value) রয়েছে। [গণিত] লঘুমান [গণিত] নির্ণেয় গুরুমান [গণিত] এবং লঘুমান [গণিত] ।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর ফাংশনটির লঘুমান ও গুরুমান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : y = acot (Inx) দৃশ্যকল্প-২ : f(x) = x3 - 6x2+9x+1.6x^2 + 9x + 1.

Barisal · 2022

উত্তর

ধরি, y=7cos⁡−1xy = 7^{\cos^{-1} x} উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ddx(7cos⁡−1x)\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( 7^{\cos^{-1} x} \right) আমরা জানি, ddx(ax)=axln⁡a\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln a. এই সূত্র এবং চেইন রুল (Chain Rule) প্রয়োগ করে পাই, dydx=7cos⁡−1x⋅ln⁡7⋅ddx(cos⁡−1x)\frac{dy}{dx} = 7^{\cos^{-1} x} \cdot \ln 7 \cdot \frac{d}{dx} (\cos^{-1} x) =7cos⁡−1x⋅ln⁡7⋅(−11−x2)= 7^{\cos^{-1} x} \cdot \ln 7 \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) =−7cos⁡−1xln⁡71−x2= -\frac{7^{\cos^{-1} x} \ln 7}{\sqrt{1 - x^2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, y=acot⁡(ln⁡x)y = a \cot(\ln x) উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=−acosec⁡⁡2(ln⁡x)⋅ddx(ln⁡x)y_1 = -a \operatorname{\cosec}^2(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) ⇒y1=−acosec⁡⁡2(ln⁡x)⋅1x\Rightarrow y_1 = -a \operatorname{\cosec}^2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} আড়গুণন করে পাই, ⇒xy1=−acosec⁡⁡2(ln⁡x)\Rightarrow x y_1 = -a \operatorname{\cosec}^2(\ln x) পুনরায় উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (uvuv মেথড) করে পাই, xy2+y1⋅1=−a⋅2cosec⁡⁡(ln⁡x)⋅ddx(cosec⁡⁡(ln⁡x))x y_2 + y_1 \cdot 1 = -a \cdot 2 \operatorname{\cosec}(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{\cosec}(\ln x)) ⇒xy2+y1=−2acosec⁡⁡(ln⁡x)⋅{−cosec⁡⁡(ln⁡x)cot⁡(ln⁡x)⋅ddx(ln⁡x)}\Rightarrow x y_2 + y_1 = -2a \operatorname{\cosec}(\ln x) \cdot \left\{ -\operatorname{\cosec}(\ln x) \cot(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) \right\} ⇒xy2+y1=−2acosec⁡⁡(ln⁡x)⋅{−cosec⁡⁡(ln⁡x)cot⁡(ln⁡x)⋅1x}\Rightarrow x y_2 + y_1 = -2a \operatorname{\cosec}(\ln x) \cdot \left\{ -\operatorname{\cosec}(\ln x) \cot(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \right\} ⇒xy2+y1=2acosec⁡⁡2(ln⁡x)cot⁡(ln⁡x)x\Rightarrow x y_2 + y_1 = \frac{2a \operatorname{\cosec}^2(\ln x) \cot(\ln x)}{x} উভয়পক্ষকে xx দ্বারা গুণ করে পাই, x2y2+xy1=2cosec⁡⁡2(ln⁡x)⋅{acot⁡(ln⁡x)}x^2 y_2 + x y_1 = 2 \operatorname{\cosec}^2(\ln x) \cdot \{a \cot(\ln x)\} যেহেতু y=acot⁡(ln⁡x)y = a \cot(\ln x), মান বসিয়ে পাই, x2y2+xy1=2ycosec⁡⁡2(ln⁡x)(Showed)x^2 y_2 + x y_1 = 2y \operatorname{\cosec}^2(\ln x) \quad \text{(Showed)}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 xx এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই, f′(x)=3x2−12x+9f^{\prime}(x) = 3x^2 - 12x + 9 f^{\prime}'(x) = 6x - 12 লঘুমান বা গুরুমানের জন্য শর্তমতে, f′(x)=0f^{\prime}(x) = 0 3x2−12x+9=03x^2 - 12x + 9 = 0 ⇒3(x2−4x+3)=0\Rightarrow 3(x^2 - 4x + 3) = 0 ⇒x2−3x−x+3=0\Rightarrow x^2 - 3x - x + 3 = 0 ⇒x(x−3)−1(x−3)=0\Rightarrow x(x - 3) - 1(x - 3) = 0 ⇒(x−3)(x−1)=0\Rightarrow (x - 3)(x - 1) = 0 ∴x=1,3\therefore x = 1, 3 অর্থাৎ, x=1x = 1 এবং x=3x = 3 বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বা গুরুমান বিদ্যমান। এখন দ্বিতীয় অন্তরজে (f^{\prime}'(x)) মান বসিয়ে পাই: যখন x=1x = 1, f^{\prime}'(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 যেহেতু মান ঋণাত্মক, তাই x=1x = 1 বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান (Maximum Value) রয়েছে। ∴\therefore গুরুমান =f(1)=13−6(1)2+9(1)+1=1−6+9+1=5= f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 যখন x=3x = 3, f^{\prime}'(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 যেহেতু মান ধনাত্মক, তাই x=3x = 3 বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান (Minimum Value) রয়েছে। ∴\therefore লঘুমান =f(3)=33−6(3)2+9(3)+1=27−54+27+1=1= f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 নির্ণেয় গুরুমান 55 এবং লঘুমান 11।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন