Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং, [গণিত] (i) নং থেকে [গণিত] এখন, (ii) নং থেকে, [গণিত] (Proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

h(x)=cos⁡3x,u=tan⁡−12xh(x)=\cos 3 x, u=\tan^{-1} 2 x

Rajshahi · 2022

উত্তর

প্রশ্নমতে, \begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 3 x}{x^2} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 \cdot\left(\frac{3 x}{2}\right)}{x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3 x}{2}}{x^2} \quad\left[\begin{array}{c}x \rightarrow 0 \text{ হলে } \\ \frac{3 x}{2} \rightarrow 0<\text{ হবে }\end{aligned}\right] \\ & =\frac{\sin \frac{3 x}{2}}{\frac{3 x}{2}} \times \lim_{\frac{3 x}{2}} \frac{\sin \frac{3 x}{2}}{2} \times \frac{3 x}{2} \times \frac{3}{2} \times 2 \\ & =1 \times 1 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 2 \\ & =\frac{9}{2} \mathrm{Ans} \\ & \end{aligned} \end{array}\end{array}

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=cos⁡3xh(x) = \cos 3x মূল নিয়মের সংগানুসারে, h′(x)=ddx h(x)=lim⁡h→0cos⁡3(x+h)−cos⁡3xh=lim⁡h→01 h{cos⁡(3x+3 h)−cos⁡3x}=lim⁡h→01 h2⋅sin⁡3x+3 h+3x2sin⁡3x−3x−3 h2=lim⁡h→02 hsin⁡6x+3 h2sin⁡−3 h2=lim⁡h→0sin⁡6x+3 h2×lim⁡h→0sin⁡(−3 h2)(−3 h2)×−3h2×2=sin⁡6x+02×1×−32×2=−3sin⁡3x( Ans )\begin{aligned} & \mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{d}{d x} \mathrm{~h}(\mathrm{x})=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\cos 3(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\cos 3 \mathrm{x}}{\mathrm{h}} \\ & =\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{~h}}\{\cos (3 \mathrm{x}+3 \mathrm{~h})-\cos 3 \mathrm{x}\} \\ & =\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{~h}} 2 \cdot \sin \frac{3 \mathrm{x}+3 \mathrm{~h}+3 \mathrm{x}}{2} \sin \frac{3 \mathrm{x}-3 \mathrm{x}-3 \mathrm{~h}}{2} \\ & =\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{2}{\mathrm{~h}} \sin \frac{6 \mathrm{x}+3 \mathrm{~h}}{2} \sin \frac{-3 \mathrm{~h}}{2} \\ & =\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \sin \frac{6 \mathrm{x}+3 \mathrm{~h}}{2} \times \lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\frac{-3 \mathrm{~h}}{2}\right)}{\left(\frac{-3 \mathrm{~h}}{2}\right)} \times \frac{-3 h}{2} \times 2 \\ & =\sin \frac{6 \mathrm{x}+0}{2} \times 1 \times \frac{-3}{2} \times 2 \\ & =-3 \sin 3 \mathrm{x}(\text{ Ans })\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, u=tan⁡−1(2x)⇒tan⁡u=2x……..(i)u=\tan^{-1}(2 x) \Rightarrow \tan u=2 x \ldots\ldots.. (i) এবং, ln⁡y=u\ln y=u ⇒ln⁡y=tan⁡−12x⇒1y⋅y1=1×21+4x2⇒y1(1+4x2)=2y⇒y1(0+8x)+(1+4x+y2=2y\begin{aligned}& \Rightarrow \ln y=\tan^{-1} 2 x \\& \Rightarrow \frac{1}{y} \cdot y_1=\frac{1 \times 2}{1+4 x^2} \\& \Rightarrow y_1\left(1+4 x^2\right)=2 y \\& \Rightarrow y_1(0+8 x)+\left(1+4 x+y_2=2 y\right.\end{aligned} (i) নং থেকে tan⁡u=2x\tan u=2 x ⇒tan⁡2u=4x⇒1+tan⁡2u=1+4x2⇒sec⁡2u=(1+4x2)⋅⋅(ii)\begin{aligned}& \Rightarrow \tan^2 u=4 x \\& \Rightarrow 1+\tan^2 u=1+4 x^2 \\& \Rightarrow \sec^2 u=\left(1+4 x^2\right) \cdot \cdot (ii) \end{aligned} এখন, (ii) নং থেকে,  y1×8x+(1+4x2)y2=2y1\: y_1 \times 8 x+ (1+4 x^2) y_2=2 y_1 ⇒y1×8x+(1+4x2)y2−2y1=0\Rightarrow y_1 \times 8 x+ (1+4 x^2) y_2-2 y_1=0 ⇒4y1tan⁡u+sec⁡2(u)y2−2y1=0\Rightarrow 4 y_1 \tan u+\sec^2(u) y_2-2 y_1=0 sec⁡2u⋅y2+2y1(2tan⁡u−1)=0\sec^2 u \cdot y_2+2 y_1(2 \tan u-1) =0 (Proved)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন