Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এবং [গণিত] সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] [ [গণিত] -অক্ষের উপরে [গণিত] ধনাত্মক] [চিত্র] (1) নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] প্রদত্ত রেখা, [গণিত] বা, [গণিত] বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রে সীমা [গণিত] থেকে [গণিত] ∴ (1) নং উপবৃত্ত এবং (2) নং রেখা দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণ…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=12x4−x3−x2f(x)=\frac{1}{2} x^4-x^3-x^2. দৃশ্যকল্প-২: 9x2+16y2=1449 x^2+16 y^2=144.

উত্তর

tan⁡−11−x1+x=tan⁡−11−x1+1⋅x=tan⁡−1(1)−tan⁡−1(x)\tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\tan^{-1} \frac{1-x}{1+1 \cdot x}=\tan^{-1}(1)-\tan^{-1}(x) =π4−tan⁡−1x[∵tan⁡−1A−tan⁡−1B=tan⁡−1A−B1−AB]∴ddx(tan⁡−11−x1+x)=ddx(π4−tan⁡−1x)=ddx(π4)−ddxtan⁡−1x=0−11+x2=−11+x2\begin{aligned}=\frac{\pi}{4} & -\tan^{-1} x\left[\because \tan^{-1} A-\tan^{-1} B=\tan^{-1} \frac{A-B}{1-A B}\right] \\ \therefore \frac{d}{d x}\left(\tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}\right) & =\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} x\right) \\ & =\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{d x} \tan^{-1} x \\ & =0-\frac{1}{1+x^2}=-\frac{1}{1+x^2}\end{aligned} নির্ণেয় অন্তরজ : −11+x2-\frac{1}{1+\mathrm{x}^2}.

উত্তর

ধরি, y=f(x)=13x3+12x2−6x+8\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^3+\frac{1}{2} \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}+8 x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=13⋅3x2+12⋅2x−6⋅1+0∴dydx=x2+x−6\begin{aligned}& \quad \frac{d y}{d x}=\frac{1}{3} \cdot 3 x^2+\frac{1}{2} \cdot 2 x-6 \cdot 1+0 \\& \therefore \quad \frac{d y}{d x}=x^2+x-6\end{aligned} পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=2x+1\frac{d^2 y}{d x^2}=2 x+1 চরম মানের জন্য dydx=0\frac{d y}{d x}=0 বা, x2+x−6=0x^2+x-6=0 বা, x2+3x−2x−6=0x^2+3 x-2 x-6=0 বা, x(x+3)−2(x+3)=0x(x+3)-2(x+3)=0 বা, (x+3)(x−2)=0(x+3)(x-2)=0 ∴x=−3,2\therefore \quad x=-3,2 এখন, x=−3x=-3 হলে, d2ydx2=2(−3)+1=−5<0\frac{d^2 y}{d x^2}=2(-3)+1=-5<0 সুতরাং x=−3\mathrm{x}=-3 বিন্দুতে f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান । ∴ সর্বোচ্চ মান, ymax =13(−3)3+12(−3)2−6(−3)+8=432\mathrm{y}_{\text{max }}=\frac{1}{3}(-3)^3+\frac{1}{2}(-3)^2-6(-3)+8=\frac{43}{2} x=2x=2 হলে, d2ydx2=2(2)+1=5>0\frac{d^2 y}{d x^2}=2(2)+1=5>0 সুতরাং x=2x=2 বিন্দুতে f(x)f(x) ফাংশনটির সর্বনিন্ন মান বিদ্যমান। ∴ সর্বনিম মান, ymin⁡=13×23+12×22−6×2+8=23\mathrm{y}_{\min }=\frac{1}{3} \times 2^3+\frac{1}{2} \times 2^2-6 \times 2+8=\frac{2}{3} ∴f(x)\therefore f(x) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিন্ন মান যথাক্রমে 432\frac{43}{2} ও 23\frac{2}{3}.

উত্তর

দেওয়া আছে, 9x2+16y2=1449 x^2+16 y^2=144…(i)\ldots(i) এবং x=2\mathrm{x}=2 (i) নং হতে পাই, 9x2+16y2=1449 x^2+16 y^2=144 বা, 16y2=144−9x216 y^2=144-9 x^2 বা, y2==116(144−9x2)y^2==\frac{1}{16}\left(144-9 x^2\right) ∴y=14144−9x2\therefore \quad y=\frac{1}{4} \sqrt{144-9 x^2}…(1)\ldots(1) [ ∵x\because x-অক্ষের উপরে yy ধনাত্মক] question image (1) নং সমীকরণে y=0y=0 বসিয়ে পাই, 0=14144−9x20=\frac{1}{4} \sqrt{144-9 x^2} বা, 0=144−9x20=\sqrt{144-9 x^2} বা, 9x2=1449 x^2=144 বা, x2=1449=16x^2=\frac{144}{9}=16 ∴x=±4\therefore \quad x= \pm 4 প্রদত্ত রেখা, x−2=0x-2=0 বা, x=2x=2 …(2)\ldots(2) বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রে সীমা x=−4x=-4 থেকে x=2x=2 ∴ (1) নং উপবৃত্ত এবং (2) নং রেখা দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল =2∫−42ydx=2∫−4214144−9x2=2×14∫−429(16−x2)dx=12∫−42342−x2dx=32∫−4242−x2dx=32[x42−x22+422sin⁡−1x4]42[∫a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−xa]=32[(242−222+8sin⁡−124)−(−442−(−4)22+8sin⁡−1−44)]=32{12+8sin⁡−112+0−8sin⁡−1(−1)}=32{23+8×π6−8×(−π2)}\begin{aligned} & =2 \int_{-4}^2 y d x \\ & =2 \int_{-4}^2 \frac{1}{4} \sqrt{144-9 x^2} \\ & =2 \times \frac{1}{4} \int_{-4}^2 \sqrt{9\left(16-x^2\right)} d x \\ & =\frac{1}{2} \int_{-4}^2 3 \sqrt{4^2-x^2} d x \\ & =\frac{3}{2} \int_{-4}^2 \sqrt{4^2-x^2} d x \\ & =\frac{3}{2}\left[\frac{x \sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{4}\right]_4^2\left[\int \sqrt{a^2-x^2 d x}=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-\frac{x}{a}}\right] \\ & =\frac{3}{2}\left[\left(\frac{2 \sqrt{4^2-2^2}}{2}+8 \sin^{-1} \frac{2}{4}\right)-\left(\frac{-4 \sqrt{4^2-(-4)^2}}{2}+8 \sin^{-1} \frac{-4}{4}\right)\right] \\ & =\frac{3}{2}\left\{\sqrt{12}+8 \sin^{-1} \frac{1}{2}+0-8 \sin^{-1}(-1)\right\} \\ & =\frac{3}{2}\left\{2 \sqrt{3}+8 \times \frac{\pi}{6}-8 \times\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right\}\end{aligned} =33+2π+6π=8π+33=3 \sqrt{3}+2 \pi+6 \pi=8 \pi+3 \sqrt{3} বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল (8π+33)(8 \pi+3 \sqrt{3}) বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন