Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর চরম মান নিণয় করো ।

উত্তর: দেওয়া আছে; [গণিত] ধরি, [গণিত] ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মানের জন্য, [গণিত] . [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর জন্য, [গণিত] এর জন্য y এর ক্ষুদ্রতম মান বিদ্যমান। ∴ ক্ষুদ্রতম মান [গণিত] নির্ণেয় চরমমান 12.

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এর চরম মান নিণয় করো ।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: y=tan⁡(mtan⁡−1x)y=\tan \left(m \tan^{-1} x\right) এবং g(x)=4e−x+9e−xg(x)=\frac{4}{e^{-x}}+9 e^{-x}.

উত্তর

ধরি, m5x=θ\frac{m}{5^x}=\theta ∴5x=mθ\therefore 5^x=\frac{m}{\theta} x→∞x \rightarrow \infty হলে, θ→0\theta \rightarrow 0 ∴Ltx→∞5xsin⁡(m5x)=x→∞Ltmθsin⁡θ=mx→∞Ltsin⁡θθ=m⋅1=m.\therefore \mathrm{Lt}_{x \rightarrow \infty} 5^x \sin \left(\frac{m}{5^x}\right)={ }_{x \rightarrow \infty}^{L t} \frac{m}{\theta} \sin \theta=\mathrm{m}_{x \rightarrow \infty}^{L t} \frac{\sin \theta}{\theta}=m \cdot 1=m . নির্ণেয় মান : m.

উত্তর

দেওয়া আছে, y=tan⁡(mtan⁡−1x)\mathrm{y}=\tan \left(\mathrm{m} \mathrm{\tan}^{-1} \mathrm{x}\right) xx-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=sec⁡2(mtan⁡−1x)m1+x2y_1=\sec^2\left(m \tan^{-1} x\right) \frac{m}{1+x^2} বা, (1+x2)y1=msec⁡2(mtan⁡−1x)\left(1+x^2\right) y_1=m \sec^2\left(m \tan^{-1} x\right) বা, (1+x2)y1=m{1+tan⁡2(mtan⁡−1x)}\left(1+x^2\right) y_1=m\left\{1+\tan^2\left(m \tan^{-1} x\right)\right\} বা, (1+x2)y1=m(1+y2)\left(1+x^2\right) y_1=m\left(1+y^2\right) xx-এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই, (1+x2)y2+2xy1=m(2yy1)\left(1+x^2\right) y_2+2 x y_1=m\left(2 y y_1\right) বা, (1+x2)y2+2xy1−2myy1=0\left(1+x^2\right) y_2+2 x y_1-2 m y y_1=0 ∴(1+x2)y2−2(my−x)y1=0\therefore \quad\left(1+x^2\right) y_2-2(m y-x) y_1=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে; g(x)=4e−x+9e−x=4ex+9e−xg(x)=\frac{4}{e^{-x}}+9 e^{-x}=4 e^x+9 e^{-x} ধরি, y=g(x)=4ex+9e−xy=g(x)=4 e^x+9 e^{-x} ∴dydx=4ex+9e−x⋅(−1)=4ex−9e−x\therefore \frac{d y}{d x}=4 e^x+9 e^{-x} \cdot(-1)=4 e^x-9 e^{-x} ∴d2ydx2=4ex+9e−x\therefore \frac{d^2 y}{d x^2}=4 e^x+9 e^{-x} ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0. ∴4ex−9e−x=0\therefore \quad 4 e^x-9 e^{-x}=0 বা, 4ex=9e−x=9ex4 e^x=9 e^{-x}=\frac{9}{e^x} বা, e2x=94e^{2 x}=\frac{9}{4} বা, (ex)2=(32)2\left(e^x\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2 বা, ex=32e^x=\frac{3}{2} ∴x=ln⁡32\therefore \quad x=\ln \frac{3}{2} x=ln⁡32x=\ln \frac{3}{2} এর জন্য, d2ydx2=4eln⁡32+91eln⁡32\frac{d^2 y}{d x^2}=4 e^{\ln \frac{3}{2}}+9 \frac{1}{e^{\ln \frac{3}{2}}} =4×32+9×23=6+6=12>0=4 \times \frac{3}{2}+9 \times \frac{2}{3}=6+6=12>0 ∴x=ln⁡32\therefore \quad \mathrm{x}=\ln \frac{3}{2} এর জন্য y এর ক্ষুদ্রতম মান বিদ্যমান। ∴ ক্ষুদ্রতম মান y=4eln⁡32+91ln⁡32=432+923=6+6=12y=4 e^{\ln \frac{3}{2}}+9 \frac{1}{\ln \frac{3}{2}}=4 \frac{3}{2}+9 \frac{2}{3}=6+6=12 নির্ণেয় চরমমান 12.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন