Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] ; যেখানে [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এখানে, [গণিত] বা, [গণিত] .. (1) [গণিত] -এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (i) নং হতো [গণিত] আবার, [গণিত] -এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ করো যে, ; যেখানে .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প ১: f(x)=2x3−21x2+36x−20f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-21 \mathrm{x}^2+36 \mathrm{x}-20. দৃশ্যকল্প ২: g(x)=sin⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}.

উত্তর

ধরি, f(x)=cos⁡2xf(x)=\cos 2 x ∴f(x+h)=cos⁡2(x+h)\therefore f(x+h)=\cos 2(x+h) সংজ্ঞানুসারে, ddx{f(x)}=lim⁡f(x+h)−f(x)h\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{f(\mathrm{x})\}=\lim \frac{f(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{h}} h→0\mathrm{h} \rightarrow 0 ∴ddx(cos⁡2x)=lim⁡h→0cos⁡2(x+h)−cos⁡2xh\therefore \frac{d}{d x}(\cos 2 x) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos 2(x+h)-\cos 2 x}{h} =lim⁡h→0cos⁡(2x+2h)−cos⁡2xh=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (2 x+2 h)-\cos 2 x}{h} =lim⁡h→02sin⁡(2x+2h+2x2)sin⁡(2x−2h−2x2)h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin \left(\frac{2 x+2 h+2 x}{2}\right) \sin \left(\frac{2 x-2 h-2 x}{2}\right)}{h} =lim⁡h→01h⋅2[sin⁡4x+2h2sin⁡(−2h2)]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot 2\left[\sin \frac{4 x+2 h}{2} \sin \left(\frac{-2 h}{2}\right)\right] =lim⁡h→02h[−sin⁡(2x+h)⋅sin⁡h]=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2}{h}[-\sin (2 x+h) \cdot \sin h] =lim⁡h→0[−2sin⁡(2x+h)sin⁡hh]= \lim_{h \rightarrow 0}\left[-2 \sin (2 x+h) \frac{\sin h}{h}\right] =−2[lim⁡h→0sin⁡(2x+h)×lim⁡h→0sin⁡hh]= -2\left[\lim_{h \rightarrow 0} \sin (2 x+h) \times \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}\right] =−2sin⁡2x×1=−2sin⁡2x= -2 \sin 2 x \times 1=-2 \sin 2 x ∴ddx(cos⁡2x)=−2sin⁡2x.\therefore \frac{d}{d x}(\cos 2 x)= -2 \sin 2 x .

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=2x3−21x2+36x−20f(x)=2 x^3-21 x^2+36 x-20 ∴f(x)=6x2−42x+36\therefore f(x)=6 x^2-42 x+36 ∴f′(x)=12x−42\therefore f^{\prime}(x)=12 x-42 সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, h′(x)=0h^{\prime}(x)=0 বা, 6x2−42x+36=06 x^2-42 x+36=0 বা, x2−7x+6=0x^2-7 x+6=0 বা, x2−6x−x+6=0x^2-6 x-x+6=0 বা, x(x−6)−1(x−6)=0x(x-6)-1(x-6)=0 বা, (x−6)(x−1)=0(x-6)(x-1)=0 হয়, x−6=0x-6=0 ∴x=6\therefore x=6 অথবা, x−1=0\mathrm{x}-1=0 ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1 এখন, x=1\mathrm{x}=1 হলে, h′′(1)=12.1−42=−30<0\mathrm{h}^{\prime \prime}(1)=12.1-42=-30<0 ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1 এর জন্য h(x)\mathrm{h}(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান, h(1)=2.13−21.12+36.1−20h(1)=2.1^3-21.1^2+36.1-20 =2−21+36−20=−3=2-21+36-20=-3 আবার, x=6\mathrm{x}=6 হলে, h′′(6)=12.6−42=30>0\mathrm{h}^{\prime \prime}(6)=12.6-42=30>0 ∴x=6\therefore \mathrm{x}=6 এর জন্য h(x)\mathrm{h}(\mathrm{x}) এর সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। ∴ ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান, h(6)=2.63−21.62+36.6−20h(6) =2.6^3-21.6^2+36.6-20 =432−756+216−20=−128=432-756+216-20=-128 নির্ণেয় ফাংশনটির সর্বোচ্চমান - 3 এবং সর্বনিম্নমান - 128.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=sin⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} এবং x=cos⁡α\mathrm{x}=\cos \alpha বা, α=cos⁡−1(x)\alpha=\cos^{-1}(\mathrm{x}) এখানে, y=g(aα)\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{a} \alpha) বা, y=sin⁡(aα)=sin⁡(a−1x)\mathrm{y}=\sin (\mathrm{a} \alpha)=\sin \left(\mathrm{a}^{-1} \mathrm{x}\right) …..(1)\ldots.. (1) x\mathrm{x}-এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, dydx=cos⁡(acos⁡−1x)ddx(acos⁡−1x)\frac{d y}{d x}=\cos \left(a \cos^{-1} x\right) \frac{d}{d x}\left(a \cos^{-1} x\right) বা, y1=cos⁡(acos⁡−1x){−a1−x2}y_1={\cos }\left(a \cos^{-1} x\right)\left\{\frac{-a}{\sqrt{1-x^2}}\right\} বা, y12=a2cos⁡2(acos⁡−1x)1−x2y_1{ }^2=\frac{a^2 \cos^2\left(a \cos^{-1} x\right)}{1-x^2} [বর্গ করে] বা, (1−x2)y12=a2{1−sin⁡2(acos⁡−1x)}\left(1-x^2\right) y_1^2=a^2\left\{1-\sin^2\left(a \cos^{-1} x\right)\right\} বা, (1−x2)y12=a2(1−y2)[∵\left(1-x^2\right) y_1^2=a^2\left(1-y^2\right)[\because (i) নং হতো ]] আবার, x\mathrm{x}-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx{(1−x2)y12}=a2ddx(1−y2)\frac{d}{d x}\left\{\left(1-x^2\right) y_1^2\right\}=a^2 \frac{d}{d x}\left(1-y^2\right) বা, (1−x2)ddx2y12+y12ddx(1−x2)=−a22dydx\left(1-x^2\right) \frac{d}{d x^2} y_1{ }^2+y_1{ }^2 \frac{d}{d x}\left(1-x^2\right)=-a^2 2 \frac{d y}{d x} বা, (1−x2)2y1y2−2xy12=−2a2yy1\left(1-x^2\right) 2 y_1 y_2-2 x y_1^2=-2 a^2 y y_1 বা, 2y1{(1−x2)y2−xy1}=−2a2yy12 y_1\left\{\left(1-x^2\right) y_2-x y_1\right\}=-2 a^2 y y_1 বা, (1−x2)y2−xy1+a2y=0\left(1-x^2\right) y_2-x y_1+a^2 y=0 [উভয়পক্ষকে 2y12 y_1 দ্বারা ভাগ করে] ∴(1−x2)d2ydx2−dydx+a2y=0\therefore \quad\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d y}{d x}+a^2 y=0. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন