Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-II এর ফাংশনের চরমমান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] চরমমানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে [গণিত] এর জন্য [গণিত] ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। [গণিত] সর্বনিম্ন মান [গণিত] =-19 (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-II এর ফাংশনের চরমমান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-I: y(x+1)(x+2)−x+4=0y(x+1)(x+2)-x+4=0 দৃশ্যকল্প-II : h(x)=2x3−3x2−12x+1\mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+1

উত্তর

দেওয়া আছে, y=sec⁡xy=\sec x x এর সাপকক্ষ পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে, ∴y1=sec⁡xtan⁡x\therefore \mathrm{y}_1=\sec \mathrm{x} \tan \mathrm{x} বা, y2=sec⁡x⋅ddx(tan⁡x)+tan⁡x⋅ddx(sec⁡x)y_2=\sec x \cdot \frac{d}{d x}(\tan x)+\tan x \cdot \frac{d}{d x}(\sec x) =sec⁡x⋅sec⁡2x+tan⁡x⋅tan⁡x⋅sec⁡x=\sec x \cdot \sec^2 x+\tan x \cdot \tan x \cdot \sec x =sec⁡x(sec⁡2x+tan⁡2x)=\sec x\left(\sec^2 x+\tan^2 x\right) =sec⁡x(sec⁡2x+sec⁡2x−1)=\sec x\left(\sec^2 x+\sec^2 x-1\right) =sec⁡x(2sec⁡2x−1)=\sec x\left(2 \sec^2 x-1\right) ∴y2=y(2y2−1)\therefore \mathrm{y}_2=\mathrm{y}\left(2 \mathrm{y}^2-1\right) (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, y(x+1)(x+2)−x+4=0……\mathrm{y}(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+2)-\mathrm{x}+4=0 \ldots \ldots (i) যেহেতু বক্ররেখাটি xx-অক্ষকে ছেদ করে। সুতরাং y=0y=0 y\mathrm{y} এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, 0(x+1)(x+2)−x+4=00(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+2)-\mathrm{x}+4=0 বা, 0−x+4=00-x+4=0 ∴x=4\therefore \mathrm{x}=4 ∴\therefore ছেদববিন্দু (4,0)(4,0) (i) নং হতে পাই, y(x2+3x+2)−x+4=0\mathrm{y}\left(\mathrm{x}^2+3 \mathrm{x}+2\right)-\mathrm{x}+4=0 x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx{y(x2+3x+2)−x+4}=ddx(0)\frac{d}{d x}\left\{y\left(x^2+3 \mathrm{x}+2\right)-\mathrm{x}+4\right\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(0) বা, y(2x+3)+(x2+3x+2)dydx−1+0=0y(2 x+3)+\left(x^2+3 x+2\right) \frac{d y}{d x}-1+0=0 বা, (x2+3x+2)dydx=1−2xy−3y\left(x^2+3 x+2\right) \frac{d y}{d x}=1-2 x y-3 y ∴dydx=1−2xy−3yx2+3x+2\therefore \frac{d y}{d x}=\frac{1-2 x y-3 y}{x^2+3 x+2} (4,0)(4,0) বিন্দুতে dydx=1−2×4×0−3×042+3×4+2=130\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1-2 \times 4 \times 0-3 \times 0}{4^2+3 \times 4+2}=\frac{1}{30} (4,0)(4,0) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−0=dydx(x−4)y-0=\frac{d y}{d x}(x-4) বা, y=130(x−4)y=\frac{1}{30}(x-4) বা, 30y=x−430 y=x-4 ∴x−30y−4=0 (Ans.) \therefore \mathrm{x}-30 \mathrm{y}-4=0 \text{ (Ans.) } (4,0)(4,0) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, (x−4)+130(y−0)=0(x-4)+\frac{1}{30}(y-0)=0 বা, 30x−120+y=030 \mathrm{x}-120+\mathrm{y}=0 ∴30x+y=120 (Ans.) \therefore 30 \mathrm{x}+\mathrm{y}=120 \text{ (Ans.) }

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=2x3−3x2−12x+1\mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+1 ∴h′(x)=6x2−6x−12\therefore \mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=6 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}-12  h′′(x)=12x−6\mathrm{~h}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=12 \mathrm{x}-6 চরমমানের জন্য, h′(x)=0\mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x})=0 বা, 6x2−6x−12=06 x^2-6 x-12=0 বা, x2−x−2=0x^2-x-2=0 বা, x2−2x+x−2=0x^2-2 x+x-2=0 বা, x(x−2)+1(x−2)=0\mathrm{x}(\mathrm{x}-2)+1(\mathrm{x}-2)=0 বা, (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 ∴x=−1,2\therefore \mathrm{x}=-1,2 x=−1\mathrm{x}=-1 হলে h′′(x)=12(−1)−6=−18<0\mathrm{h}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=12(-1)-6=-18<0 x = - 1 এর জন্য h(x) ফাংশনে সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ =h(−1)=\mathrm{h}(-1) =2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+1=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1 =−2−3+12+1=-2-3+12+1 =8 (Ans.) x=2\mathrm{x}=2 হলে, h′′(x)=12×2−6=18>0\mathrm{h}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=12 \times 2-6=18>0 x=2\mathrm{x}=2 এর জন্য h(x)\mathrm{h}(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান =h(2)=\mathrm{h}(2) =2×23−3×22−12×2+1=2 \times 2^3-3 \times 2^2-12 \times 2+1 =16−12−24+1=16-12-24+1 =-19 (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন