Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] উভয়পক্ষকে [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকর করে পাই, বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এবং হলে দেখাও যে, .

উদ্দীপক

f(t)=tan⁡tf(\mathrm{t})=\tan \mathrm{t}

Dinajpur · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, y=xx\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{x}} উভয়পক্ষে ln⁡নিয়েআমরাপাই,ln⁡y=ln⁡xx=xln⁡x\ln নিয়ে আমরা পাই,\ln y=\ln x^x=x \ln x x\mathbf{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, 1ydydx=x ddx(ln⁡x)+ln⁡x ddx(x)\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{dx}}(\ln \mathrm{x})+\ln \mathrm{x} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{dx}}(\mathrm{x}) বা, 1ydydx=x1x+ln⁡x.1\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x} \frac{1}{\mathrm{x}}+\ln \mathrm{x} .1 বা, 1ydydx=16+ln⁡x\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{6}+\ln \mathrm{x} বা, dydx=y(1+ln⁡x)\frac{d y}{d x}=y(1+\ln x) ∴dydx=xx(1+ln⁡x)\therefore \frac{d y}{d x}=x^x(1+\ln x) নির্ণেয় dydx=xx(1+ln⁡x)\frac{d y}{d x}=x^x(1+\ln x)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(t)=tantf(t)= tant ধরি, y=4+2f(x)cos⁡x−3{f(x)}2cos⁡2x\mathrm{y}=4+2 f(\mathrm{x}) \cos \mathrm{x}-3\{f(\mathrm{x})\}^2 \cos^2 \mathrm{x} বা, y=4+2tan⁡xcos⁡x−3tan⁡2xcos⁡2x=⊕4y=4+2 \tan x \cos x-3 \tan^2 x \cos^2 x \stackrel{\oplus}{=} 4 +2sin⁡xcos⁡xcos⁡x−3sin⁡2xcos⁡2xcos⁡2x+2 \frac{\sin x}{\cos x} \cos x-3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cos^2 x বা, y=4+2sin⁡x−3sin⁡2xy=4+2 \sin x-3 \sin^2 x উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=0+2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x\frac{d y}{d x}=0+2 \cos x-6 \sin x \cos x =2cos⁡x−3.2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x−3sin⁡2x=2 \cos x-3.2 \sin x \cos x=2 \cos x-3 \sin 2 x xx এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=−2sin⁡x−3cos⁡2x.2\frac{d^2 y}{d x^2} =-2 \sin x-3 \cos 2 x .2 =−2sin⁡x−6cos⁡2x=−2sin⁡x−6(1−2sin⁡2x)=-2 \sin x-6 \cos 2 x=-2 \sin x-6\left(1-2 \sin^2 x\right) =−2sin⁡x−6+12sin⁡2x=12sin⁡2x−2sin⁡x−6=-2 \sin x-6+12 \sin^2 x=12 \sin^2 x-2 \sin x-6 চরম মানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, 2cos⁡x−3sin⁡2x=02 \cos x-3 \sin 2 x=0 বা, 2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=02 \cos x-6 \sin x \cos x=0 বা, 2cos⁡x(1−3sin⁡x)=02 \cos x(1-3 \sin x)=0 হয়, cos⁡x=0\cos \mathrm{x}=0 বা, cos⁡x=cos⁡π2\cos x=\cos \frac{\pi}{2} ∴x=π2\therefore x=\frac{\pi}{2} যখন cos⁡x=0\cos x=0 তখন sin⁡x=1\sin x=1 কিস্তু 0<x<π20<\mathrm{x}<\frac{\pi}{2}. অথবা, 1−3sin⁡x=01-3 \sin x=0 বা, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} বা, x=sin⁡−113x=\sin^{-1} \frac{1}{3} ∴0<x<π2\therefore 0<x<\frac{\pi}{2} সীমার মধ্যে sin⁡x\sin x এর কেবল একটি মান পাওয়া যাবে। ∴0<x<π2\therefore 0<\mathrm{x}<\frac{\pi}{2} সীমার মধ্যে x এর কোনো মান এর জন্য cos⁡x=0\cos \mathrm{x}=0 সত্য নয়। সুতরাং x=π2x=\frac{\pi}{2} বিন্দুতে ফাংশনের কোনো চরমমান নেই। আবার, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} হলে, d2ydx=12(13)2−2(13)−6\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dx}}=12\left(\frac{1}{3}\right)^2-2\left(\frac{1}{3}\right)-6 =43−23−6=4−2−183=−163<01=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-6=\frac{4-2-18}{3}=-\frac{16}{3}<01 সুতরাং x=sin⁡−113x=\sin^{-1} \frac{1}{3} রিন্দুতে yy ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান, ymax⁡=4+2(13)−3(13)2=4+23=13=12+2−13=133y_{\max }=4+2\left(\frac{1}{3}\right)-3\left(\frac{1}{3}\right)^2=4+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}=\frac{12+2-1}{3}=\frac{13}{3} নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান : 133\frac{13}{3}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(t)=xtan⁡tf(\mathrm{t})=x \tan \mathrm{t} ∴x=f(t)=tan⁡t\therefore x=f(t)=\tan t বা, x=tan⁡tx=\tan t বা, t=tan⁡−1xt=\tan^{-1} x এবং y=f(pt)=tan⁡(pt)=tan⁡(ptan⁡−1x)y=f(p t)=\tan (p t)=\tan \left(p \tan^{-1} x\right) উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=sec⁡2(ptan⁡−1x)⋅p1+x2y_1=\sec^2\left(p \tan^{-1} x\right) \cdot \frac{p}{1+x^2} বা, y1={1+tan⁡2(Ptan⁡−1x)}⋅P1+x2\mathrm{y}_1=\left\{1+\tan^2\left(\mathrm{P} \tan^{-1} \mathrm{x}\right)\right\} \cdot \frac{\mathrm{P}}{1+\mathrm{x}^2} [∵sec⁡2θ=1+tan⁡2θ]\left[\because \sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\right] বা, y1=p1+x2(1+tan⁡2(ptan⁡−1x)y_1=\frac{p}{1+x^2}\left(1+\tan^2\left(p \tan^{-1} x\right)\right. বা, y1=p1+x2(1+y2)y_1=\frac{p}{1+x^2}\left(1+y^2\right) বা, (1+x2)y1=p(1+y2)\left(1+x^2\right) y_1=p\left(1+y^2\right) পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকর করে পাই, বা, (1+x2)y2+y1(0+2x)=p(0+2yy1)\left(1+x^2\right) y_2+y_1(0+2 x)=p\left(0+2 y y_1\right) বা, (1+x2)y2+2xy1=2pyy1\left(1+x^2\right) y_2+2 x y_1=2 p y y_1 বা, (1+x2)y2+2xy1−2pyy1=0\left(1+x^2\right) y_2+2 x y_1-2 p y y_1=0 ∴(1+x2)y2+2(x−py)y1=0\therefore\left(1+\mathrm{x}^2\right) \mathrm{y}_2+2(\mathrm{x}-\mathrm{py}) \mathrm{y}_1=0. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন