Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

g(x) ফাংশনটির চরমমান (যদি থাকে) নির্ণয় কর।

উত্তর: ধরি, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] চরম মানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে 6 घ্যারা ভাগ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে, [গণিত] সুতরাং [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। [গণিত] সর্বনিম্ন মান, [গণিত] আবার, [গণিত] হলে, [গণিত] সুতরাং [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। [গণিত] সর্বোচ্চ মান, [গণিত] ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে 8 ও [গণিত] ।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

g(x) ফাংশনটির চরমমান (যদি থাকে) নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=emsin⁡−12xf(x)=e^{m \sin^{-1} 2 x} এবং g(x)=2x3−3x2−12x+1\mathrm{g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+1.

Chittagong · 2025

উত্তর

lim⁡x→01−cos⁡x2x2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{2 x^2} =lim⁡x→02sin⁡2x22x2=lim⁡x→0sin⁡2x2x2=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 x^2}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} =lim⁡x→0sin⁡x2x2⋅12×lim⁡x→0sin⁡x2x2⋅12=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \times \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} =1×12×1×12=14=1 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} নির্ণেয় মান : 14\frac{1}{4}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=emsin−12xf(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{msin}^{-1} 2 \mathrm{x}} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, f′(x)=ddx(emsin⁡−12x)f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}\left(e^{m \sin -12 x}\right) বা, f′(x)=emsin⁡−12x⋅m⋅11−(2x)2⋅2f^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{m} \sin^{-1} 2 \mathrm{x}} \cdot \mathrm{m} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(2 \mathrm{x})^2}} \cdot 2 =2 m1−4x2⋅emsin⁡−12x=\frac{2 \mathrm{~m}}{\sqrt{1-4 \mathrm{x}^2}} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{m} \sin^{-1} 2 \mathrm{x}} =2m1−4x2⋅f(x)=\frac{2 m}{\sqrt{1-4 x^2}} \cdot f(x) বা, (f′(x))2=4 m21−4x2(f(x))2\left(f^{\prime}(\mathrm{x})\right)^2=\frac{4 \mathrm{~m}^2}{1-4 \mathrm{x}^2}(f(\mathrm{x}))^2 [বর্গ করে] বা, (1−4x2)(f′(x))2=4 m2(f(x))2\left(1-4 \mathrm{x}^2\right)\left(f^{\prime}(\mathrm{x})\right)^2=4 \mathrm{~m}^2(f(\mathrm{x}))^2 পুনরায়, xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, (1−4x2)⋅2f′(x)f′′(x)+(f′(x))2⋅(0−8x)=4 m2⋅2f(x)f′(x)\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) \cdot 2 f^{\prime}(\mathrm{x}) f^{\prime \prime}(\mathrm{x})+\left(f^{\prime}(\mathrm{x})\right)^2 \cdot(0-8 \mathrm{x})=4 \mathrm{~m}^2 \cdot 2 f(\mathrm{x}) f^{\prime}(\mathrm{x}) বা, 2(1−4x2)f′(x)⋅f′′(x)−8x(f′(x))2=8 m2f(x)f′(x)2\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) f^{\prime}(\mathrm{x}) \cdot f^{\prime \prime}(\mathrm{x})-8 \mathrm{x}\left(f^{\prime}(\mathrm{x})\right)^2=8 \mathrm{~m}^2 f(\mathrm{x}) f^{\prime}(\mathrm{x}) বা, (1−4x2)f′′(x)−4xf′(x)=4m2f(x)[2f′(x)\left(1-4 x^2\right) f^{\prime \prime}(x)-4 x f^{\prime}(x)=4 m^2 f(x)\left[2 f^{\prime}(x)\right. দ্বারা উভয়পক্ষে ভাগ করে] ∴(1−4x2)f′′(x)−4xf′(x)=4 m2f(x)\therefore\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) f^{\prime \prime}(\mathrm{x})-4 \mathrm{x} f^{\prime}(\mathrm{x})=4 \mathrm{~m}^2 f(\mathrm{x}) [প্রমাণিত]

উত্তর

ধরি, y=g(x)=2x3−3x2−12x+1y=g(x)=2 x^3-3 x^2-12 x+1 xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=2.3x2−3.2x−12.1+0y_1=2.3 x^2-3.2 x-12.1+0 বা, y1=6x2−6x−12y_1=6 x^2-6 x-12 পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y2=6.2x−6.1−0y_2=6.2 x-6.1-0 বা, y2=12x−6\mathrm{y}_2=12 \mathrm{x}-6 চরম মানের জন্য, y1=0\mathrm{y}_1=0 বা, 6x2−6x−12=06 x^2-6 x-12=0 বা, x2−x−2=0x^2-x-2=0 [উভয়পক্ষকে 6 घ্যারা ভাগ করে] বা, x2−2x+x−2=0x^2-2 x+x-2=0 বা, x(x−2)+1(x−2)=0x(x-2)+1(x-2)=0 বা, (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 ∴x=2,−1\therefore x=2,-1 x=2x=2 হলে, y2=12×2−6=18>0y_2=12 \times 2-6=18>0 সুতরাং x=2x=2 বিন্দুতে g(x)g(x) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান, ymin⁡=2(2)3−3(2)2−12(2)+1\mathrm{y}_{\min }=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+1 =16−12−24+1=−19=16-12-24+1=-19 আবার, x=−1x=-1 হলে, y2=12×(−1)−6=−18<0y_2=12 \times(-1)-6=-18<0 সুতরাং x=−1x=-1 বিন্দুতে g(x)g(x) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান, ymax⁡=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+1y_{\max } =2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1 =−2−3+12+1=8=-2-3+12+1=8 ∴g(x)\therefore \mathrm{g}(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে 8 ও −19-19।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
g(x) ফাংশনটির চরমমান (যদি থাকে) নির্ণয় কর। | Prosthuti