Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে [গণিত] এর লঘুমান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] চরম মানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর জন্য [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] এর লঘুমান বিদ্যমান। [গণিত] লঘুমান [গণিত] নির্ণেয় লঘুমান 40.

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে এর লঘুমান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=2x3−3x2−6x+20f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}+20 দৃশ্যকল্প-২: g(t)=et.\mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{\mathrm{t}}.

Sylhet · 2025

উত্তর

ধরি, y=(x)13x\mathrm{y}=(\mathrm{x})^{\frac{1}{3 \mathrm{x}}} উভয়পক্ষে $ln⁡\ln নিয়ে পাই, বা,ln⁡\ln y=ln⁡x13x=13xln⁡y=\ln x^{\frac{1}{3 x}}=\frac{1}{3 x} \ln x$ xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, 1ydydx=13xddx(ln⁡x)+ln⁡xddx(13x)\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{3 \mathrm{x}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\ln \mathrm{x})+\ln \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{1}{3 \mathrm{x}}\right) বা, 1ydydx=13x⋅1x+13⋅ln⁡x(−1x2)\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{3 \mathrm{x}} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{3} \cdot \ln \mathrm{x}\left(-\frac{1}{\mathrm{x}^2}\right) বা, 1ydydx=13x2−ln⁡x3x2\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{3 \mathrm{x}^2}-\frac{\ln \mathrm{x}}{3 \mathrm{x}^2} বা, 1ydydx=1−ln⁡x3x2\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1-\ln \mathrm{x}}{3 \mathrm{x}^2}. বা, dydx=y(1−ln⁡x3x2)\frac{d y}{d x}=y\left(\frac{1-\ln x}{3 x^2}\right) ∴ddx(x)13x=x13x(1−ln⁡x3x2)\therefore \frac{d}{d x}(x)^{\frac{1}{3 x}}=x^{\frac{1}{3 x}}\left(\frac{1-\ln x}{3 x^2}\right)

উত্তর

প্রদত্ত বক্ররেখা, f(x)=2x3−3x2−6x+20f(x)=2 x^3-3 x^2-6 x+20 ধরি, y=f(x)=2x3−3x2−6x+20\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}+20 বক্রেরখাটি yy অক্ষকে ছেদ করলে, x=0\mathrm{x}=0 ∴y=2(0)3−3(0)2−6(0)+20\therefore y=2(0)^3-3(0)^2-6(0)+20 ∴y=20\therefore y=20 অর্থাৎ, বক্ররেখাটি yy অক্ষকে (0,20)(0,20) বিন্দুতে ছেদ করে। এখন, dydx=2.3x2−3.2x−6.1+0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2.3 \mathrm{x}^2-3.2 \mathrm{x}-6.1+0 =6x2−6x−6=6(x2−x−1)=6 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}-6=6\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{x}-1\right) ∴(0,20)\therefore(0,20) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল, m=dydx=6(0−0−1)=−6m=\frac{d y}{d x}=6(0-0-1)=-6 (0,20)(0,20) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, y−20=−6(x−0)\mathrm{y}-20=-6(\mathrm{x}-0) বা, y−20=−6xy-20=-6 x ∴6x+y−20=0\therefore 6 \mathrm{x}+\mathrm{y}-20=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ : 6x+y−20=06 x+y-20=0

উত্তর

দেওয়া আছে, g(t)=et\mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{\mathrm{t}} ধরি, y=16 g(3x)+25 g(−3x)\mathrm{y}=16 \mathrm{~g}(3 \mathrm{x})+25 \mathrm{~g}(-3 \mathrm{x}) ∴y=16e3x+25e−3x\therefore y=16 e^{3 x}+25 e^{-3 x} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=16ddx(e3x)+25ddx(e−3x)\frac{d y}{d x}=16 \frac{d}{d x}\left(e^{3 x}\right)+25 \frac{d}{d x}\left(e^{-3 x}\right) বা, dydx=16×3e3x+25(−3)e−3x=48e3x−75e−3x\frac{d y}{d x}=16 \times 3 e^{3 x}+25(-3) e^{-3 x}=48 e^{3 x}-75 e^{-3 x} পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=48ddx(e3x)−75ddx(e−3x)\frac{d^2 y}{d x^2}=48 \frac{d}{d x}\left(e^{3 x}\right)-75 \frac{d}{d x}\left(e^{-3 x}\right) বা, d2ydx2=48×3e3x+75×3e−3x=144e3x+225e−3x\frac{d^2 y}{d x^2}=48 \times 3 e^{3 x}+75 \times 3 e^{-3 x}=144 e^{3 x}+225 e^{-3 x} চরম মানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, 48e3x−75e−3x=048 e^{3 x}-75 e^{-3 x}=0 বা, 48e3x=75e−3x48 e^{3 x}=75 e^{-3 x} বা, e3xe−3x=7548=2516\frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}}{\mathrm{e}^{-3 \mathrm{x}}}=\frac{75}{48}=\frac{25}{16} বা, e3x+3x=2516e^{3 x+3 x}=\frac{25}{16} বা, e6x=2516e^{6 x}=\frac{25}{16} বা, (e3x)2=(54)2\left(e^{3 x}\right)^2=\left(\frac{5}{4}\right)^2 বা, e3x=54\mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}=\frac{5}{4} বা, ln⁡e3x=ln⁡54\ln e^{3 x}=\ln \frac{5}{4} বা, 3x=ln⁡543 x=\ln \frac{5}{4} ∴x=13ln⁡54\therefore x=\frac{1}{3} \ln \frac{5}{4} x=13ln⁡54x=\frac{1}{3} \ln \frac{5}{4} এর জন্য d2ydx2\frac{d^2 y}{d x^2} =144e3⋅13ln⁡54+225e+3⋅13ln⁡54=144 e^{3 \cdot \frac{1}{3} \ln \frac{5}{4}}+225 e^{+3 \cdot \frac{1}{3} \ln \frac{5}{4}} =144eln⁡54+22554=144 e^{\ln \frac{5}{4}}+\frac{225}{\frac{5}{4}} =144×54+22554=180+180=144 \times \frac{5}{4}+\frac{225}{\frac{5}{4}}=180+180 =360>0=360>0 ∴x=13ln⁡54\therefore x=\frac{1}{3} \ln \frac{5}{4} বিন্দুতে yy এর লঘুমান বিদ্যমান। ∴\therefore লঘুমান =16e3⋅13ln⁡54+25e3⋅13ln⁡54=16 \mathrm{e}^{3 \cdot \frac{1}{3} \ln \frac{5}{4}}+\frac{25}{\mathrm{e}^{3 \cdot \frac{1}{3} \ln \frac{5}{4}}} =16×54+25×45=20+20=40=16 \times \frac{5}{4}+25 \times \frac{4}{5}=20+20=40 নির্ণেয় লঘুমান 40.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন