Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] এর লঘুমান [গণিত] , যেখানে [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] আবার, [গণিত] গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর জন্য, [গণিত] ফাংশনটির লঘুমান পাওয়া বাবে। নির্ণেয় লঘুমান [গণিত] যেখানে [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, এর লঘুমান , যেখানে .

উদ্দীপক

x2y−5xy+6y−x+7=0x^{2} y-5 x y+6 y-x+7=0 একটি বক্ররেখার সমীকরণ এবং f(x)=emxf(x)=e^{m x}.

উত্তর

ধরি, y=cos⁡−1(1+x2)12y=\cos^{-1}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \quad এবং x=cos⁡θx=\cos \theta =cos⁡−1(1+cos⁡θ2)12∴θ=cos⁡−1x=\cos^{-1}\left(\frac{1+\cos \theta}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \quad \therefore \theta=\cos^{-1} \mathrm{x} =cos⁡−1(2cos⁡2θ22)12=\cos^{-1}\left(\frac{2 \cos^{2} \frac{\theta}{2}}{2}\right)^{\frac{1}{2}} =cos⁡−1(cos⁡2θ2)12=cos⁡−1(cos⁡θ2)=θ2=12cos⁡−1x=\cos^{-1}\left(\cos^{2} \frac{\theta}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\cos^{-1}\left(\cos \frac{\theta}{2}\right)=\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2} \cos^{-1} x ∴dydx=ddx(12cos⁡−1x)\therefore \quad \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{1}{2} \cos^{-1} \mathrm{x}\right) =12ddx(cos⁡−1x)=12×−11−x2=−121−x2=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}\left(\cos^{-1} x\right)=\frac{1}{2} \times \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} ∴ddx{cos⁡−1(1+x2)12}=−121−x2\therefore \quad \frac{d}{d x}\left\{\cos^{-1}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right\}=-\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}.

উত্তর

দেওয়া আছে, x2y−5xy+6y−x+7=0x^{2} y-5 x y+6 y-x+7=0 …...(i)\ldots... (i) বক্ররেখাটি xx অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুত, y=0y=0 (i)নং সমীকরণ হতে পাই, x2.0−5x.0+6.0−x+7=0\mathrm{x}^{2} .0-5 \mathrm{x} .0+6.0-\mathrm{x}+7=0 ∴x=7\therefore \quad \mathrm{x}=7 অর্থাৎ, বক্ররেখাটি xx অক্ষকে (7,0)(7,0) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার, (i) নং কে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকীরণ করে পাই, x2dydx+y×2x−5xdydx−5y×1+6dydx−1=0x^{2} \frac{d y}{d x}+y \times 2 x-5 x \frac{d y}{d x}-5 y \times 1+6 \frac{d y}{d x}-1=0 বা, (x2−5x+6)dydx=1+5y−2xy\left(x^{2}-5 x+6\right) \frac{d y}{d x}=1+5 y-2 x y ∴dydx=1+5y−2xyx2−5x+6\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1+5 \mathrm{y}-2 \mathrm{xy}}{\mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+6} (7,0)(7,0) বিন্দুতে ঢাল, (dydx)(7,0)=1+5.0−2.7.072−5×7+6\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{(7,0)}=\frac{1+5.0-2.7 .0}{7^{2}-5 \times 7+6} =149−35+6=120=\frac{1}{49-35+6}=\frac{1}{20} (7,0)(7,0) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−y1=(dydx)(7,0)(x−x1)y-y_{1}=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(7,0)}\left(x-x_{1}\right) বা, y−0=120(x−7)y-0=\frac{1}{20}(x-7) বা, 20y=x−720 y=x-7 ∴x−20y−7=0\therefore \quad x-20 y-7=0 (7,0)(7,0) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, y−y1=−1(dydx)(7,0)(x−x1)y-y_{1}=-\frac{1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(7,0)}}\left(x-x_{1}\right) বা, y−0=−1120(x−7)y-0=-\frac{1}{\frac{1}{20}}(x-7) বা, y=−20(x−7)y=-20(x-7) বা, y=−20(x−7)y=-20(x-7) বা, y=−20x+140y=-20 x+140 ∴20x+y−140=0\therefore 20 \mathrm{x}+\mathrm{y}-140=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, x−20y−7=0x-20 y-7=0 এবং অভিলম্বের সমীকরণ, 20x+y−140=020 x+y-140=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=emxf(x)=e^{m x} ∴a2f(x)+b2f(x)=a2emx+b2emx\therefore \quad a^{2} f(x)+\frac{b^{2}}{f(x)}=a^{2} e^{m x}+\frac{b^{2}}{e^{m x}} ধরি, y=a2emx+b2emxy=a^{2} e^{m x}+\frac{b^{2}}{e^{m x}} ∴dydx=a2memx−b2(emx)−1−1×memx\therefore \quad \frac{d y}{d x}=a^{2} m e^{m x}-b^{2}\left(e^{m x}\right)^{-1-1} \times m e^{m x} =ma2emx−b2memx(emx)2=ma2emx−mb2emx=m a^{2} e^{m x}-\frac{b^{2} m e^{m x}}{\left(e^{m x}\right)^{2}}=m a^{2} e^{m x}-\frac{m b^{2}}{e^{m x}} আবার, d2ydx2=ma2×memx+mb2(emx)−2×memx\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=m a^{2} \times m e^{m x}+m b^{2}\left(e^{m x}\right)^{-2} \times m e^{m x} =a2m2emx+b2m2emx=a^{2} m^{2} e^{m x}+\frac{b^{2} m^{2}}{e^{m x}} গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, ma2emx−mb2emx=0m a^{2} e^{m x}-\frac{m b^{2}}{e^{m x}}=0 বা, a2(emx)2−b2emx=0\frac{a^{2}\left(e^{m x}\right)^{2}-b^{2}}{e^{m x}}=0 বা, a2(emx)2−b2=0a^{2}\left(e^{m x}\right)^{2}-b^{2}=0 বা, (emx)2=b2a2\left(e^{m x}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}} বা, emx=bae^{m x}=\frac{b}{a} বা, ln⁡emx=ln⁡ba\ln e^{m x}=\ln \frac{b}{a} বা, mx⁡ln⁡e=ln⁡ba\operatorname{mx} \ln e=\ln \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} বা, mx×1=ln⁡bam x \times 1=\ln \frac{b}{a} ∴x=1 mln⁡ba\therefore \quad x=\frac{1}{\mathrm{~m}} \ln \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} x=1mln⁡bax=\frac{1}{m} \ln \frac{b}{a} এর জন্য, d2ydx2=a2m2em×1mln⁡ba+b2m2em×1mln⁡ba\frac{d^2 y}{d x^2}=a^2 m^2 e^{m \times \frac{1}{m} \ln \frac{b}{a}}+\frac{b^2 m^2}{e^{m \times \frac{1}{m} \ln \frac{b}{a}}} =a2m2ebm+b2m2emn−=a2m2×ba+b2m2ba=a^{2} m^{2} e^{\frac{b}{m}}+\frac{b^{2} m^{2}}{e^{m_{n}^{-}}}=a^{2} m^{2} \times \frac{b}{a}+\frac{b^{2} m^{2}}{\frac{b}{a}} =abm2+abm2=2abm2>0=a b m^{2}+a b m^{2}=2 a b m^{2}>0 ∴\therefore ফাংশনটির লঘুমান পাওয়া বাবে। নির্ণেয় লঘুমান =a2em×1mln⁡ba+b2em×1mln⁡ba=a^{2} e^{m \times \frac{1}{m} \ln \frac{b}{a}}+\frac{b^{2}}{e^{m \times \frac{1}{m} \ln \frac{b}{a}}} =a2eln⁡ba+b2eln⁡ba=a2×ba+b2ba=ab+ab2b=ab+ab=a^{2} e^{\ln \frac{b}{a}}+\frac{b^{2}}{e^{\ln \frac{b}{a}}}=a^{2} \times \frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{\frac{b}{a}}=a b+\frac{a b^{2}}{b}=a b+a b =2ab,=2 a b, যেখানে a>0,b>0a>0, b>0 (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন