Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ফাংশনটির [গণিত] ব্যবধিতে চরম মান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] প্রদত্ত ফাংশন, [গণিত] ; যখন [গণিত] মান বসিয়ে পাই, [গণিত] এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] চরম মানের (Maximum/Minimum value) জন্য, [গণিত] হবে। [গণিত] হয় [গণিত] অথবা [গণিত] যেহেতু প্রদত্ত ব্যবধি [গণিত] , তাই: [গণিত] এবং [গণিত] লঘুমান ও গুরুমান যাচাই: ১ম ক্ষেত্র: যখন [গণিত] (অর্থাৎ [গণিত] এবং [গণিত] ) [গণিত] যেহেতু [গণিত] , তাই [গণিত] বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান (Minimum value) বিদ্যমান। [গণিত] নির্ণেয় লঘুমান [গণিত] ২য় ক্ষেত্র: যখন [গণিত] যেহেতু [গণিত] , তাই [গণিত] বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান (Maximum value) বিদ্যমান। [গণিত] নির্ণেয় গুরুমান [গণিত] ফাংশনটির গুরুমান [গণিত] এবং লঘুমান [গণিত] ।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

ফাংশনটির ব্যবধিতে চরম মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=xf(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}. দৃশ্যকল্প-২: h(x)=sin⁡xh(x)=\sin x.

উত্তর

ধরি, y=cos⁡−11−x21+x2y=\cos^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} আবার, ধরি, x=tan⁡θx=\tan \theta ∴θ=tan⁡−1x\therefore \quad \theta=\tan^{-1} x ∴y=cos⁡−11−tan⁡2θ1+tan⁡2θ\therefore \quad y =\cos^{-1} \frac{1-\tan^{2} \theta}{1+\tan^{2} \theta} =cos⁡−1(cos⁡2θ)=2θ=2tan⁡−1x=\cos^{-1}(\cos 2 \theta)=2 \theta=2 \tan^{-1} x x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ddx(2tan⁡−1x)\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left(2 \tan^{-1} x\right) =2ddx(tan⁡−1x)=2 \frac{d}{d x}\left(\tan^{-1} x\right) =2×11+x2=2 \times \frac{1}{1+x^{2}} =21+x2=\frac{2}{1+x^{2}} নির্ণেয় অন্তরজ : 21+x2\frac{2}{1+x^{2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=xf(x) = \sqrt{x} সুতরাং, f(y)=yf(y) = \sqrt{y} এবং f(c)=cf(c) = \sqrt{c} প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ, f(x)+f(y)=f(c)f(x) + f(y) = f(c) ⇒x+y=c⋯(i)\Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{c} \quad \cdots (i) যেহেতু (a,b)(a, b) বিন্দুটি (i)(i) নং বক্ররেখার উপর অবস্থিত (স্পর্শবিন্দু), তাই: a+b=c⋯(ii)\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c} \quad \cdots (ii) এখন, (i)(i) নং সমীকরণকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, ddx(x)+ddx(y)=ddx(c)\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) = \frac{d}{dx}(\sqrt{c}) ⇒12x+12ydydx=0\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0 ⇒12ydydx=−12x\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} ⇒dydx=−yx\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} (a,b)(a, b) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, (dydx)(a,b)=−ba\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(a, b)} = -\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} আমরা জানি, (x1,y1)(x_1, y_1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) অতএব, (a,b)(a, b) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, y−b=−ba(x−a)y - b = -\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} (x - a) উভয়পক্ষকে b\sqrt{b} দ্বারা ভাগ করে পাই, yb−bb=−xa+aa\frac{y}{\sqrt{b}} - \frac{b}{\sqrt{b}} = -\frac{x}{\sqrt{a}} + \frac{a}{\sqrt{a}} ⇒yb−b=−xa+a\Rightarrow \frac{y}{\sqrt{b}} - \sqrt{b} = -\frac{x}{\sqrt{a}} + \sqrt{a} ⇒xa+yb=a+b\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{a}} + \frac{y}{\sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} ⇒xa+yb=c[(ii)\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{a}} + \frac{y}{\sqrt{b}} = \sqrt{c} \quad [(ii) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে ]] ⇒xac+ybc=1⋯(iii)\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{a}\sqrt{c}} + \frac{y}{\sqrt{b}\sqrt{c}} = 1 \quad \cdots (iii) (iii)(iii) নং সমীকরণটি xA+yB=1\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1 আকারের একটি সরলরেখা। এখানে, xx-অক্ষ হতে কর্তিত অংশ =ac= \sqrt{ac} yy-অক্ষ হতে কর্তিত অংশ =bc= \sqrt{bc} ∴\therefore স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল: =ac+bc= \sqrt{ac} + \sqrt{bc} =c(a+b)= \sqrt{c}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) =c⋅c[(ii)= \sqrt{c} \cdot \sqrt{c} \quad [(ii) নং সমীকরণ হতে ]] =c= c যা একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=sin⁡xh(x) = \sin x প্রদত্ত ফাংশন, y=1+2h(x)+3[1−{h(x)}2]y = 1 + 2h(x) + 3\left[1 - \{h(x)\}^2\right]; যখন x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] মান বসিয়ে পাই, y=1+2sin⁡x+3(1−sin⁡2x)y = 1 + 2\sin x + 3(1 - \sin^2 x) y=1+2sin⁡x+3cos⁡2xy = 1 + 2\sin x + 3\cos^2 x xx এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=0+2cos⁡x+3⋅2cos⁡x(−sin⁡x)\frac{dy}{dx} = 0 + 2\cos x + 3 \cdot 2\cos x (-\sin x) dydx=2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x\frac{dy}{dx} = 2\cos x - 6\sin x \cos x পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=−2sin⁡x−6[sin⁡x(−sin⁡x)+cos⁡x(cos⁡x)]\frac{d^2y}{dx^2} = -2\sin x - 6\left[ \sin x (-\sin x) + \cos x (\cos x) \right] d2ydx2=−2sin⁡x−6(cos⁡2x−sin⁡2x)\frac{d^2y}{dx^2} = -2\sin x - 6(\cos^2 x - \sin^2 x) d2ydx2=−2sin⁡x−6(1−sin⁡2x−sin⁡2x)\frac{d^2y}{dx^2} = -2\sin x - 6(1 - \sin^2 x - \sin^2 x) d2ydx2=−2sin⁡x−6(1−2sin⁡2x)\frac{d^2y}{dx^2} = -2\sin x - 6(1 - 2\sin^2 x) চরম মানের (Maximum/Minimum value) জন্য, dydx=0\frac{dy}{dx} = 0 হবে। ⇒2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=0\Rightarrow 2\cos x - 6\sin x \cos x = 0 ⇒2cos⁡x(1−3sin⁡x)=0\Rightarrow 2\cos x (1 - 3\sin x) = 0 হয় cos⁡x=0\cos x = 0 অথবা 1−3sin⁡x=01 - 3\sin x = 0 যেহেতু প্রদত্ত ব্যবধি 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2}, তাই: cos⁡x=0⇒x=π2\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} এবং 1−3sin⁡x=0⇒sin⁡x=13⇒x=sin⁡−1(13)1 - 3\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) লঘুমান ও গুরুমান যাচাই: ১ম ক্ষেত্র: যখন x=π2x = \frac{\pi}{2} (অর্থাৎ sin⁡x=1\sin x = 1 এবং cos⁡x=0\cos x = 0) d2ydx2=−2(1)−6(1−2⋅12)=−2−6(1−2)=−2+6=4\frac{d^2y}{dx^2} = -2(1) - 6(1 - 2\cdot 1^2) = -2 - 6(1 - 2) = -2 + 6 = 4 যেহেতু d2ydx2>0\frac{d^2y}{dx^2} > 0, তাই x=π2x = \frac{\pi}{2} বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান (Minimum value) বিদ্যমান। ∴\therefore নির্ণেয় লঘুমান =1+2sin⁡(π2)+3cos⁡2(π2)= 1 + 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) =1+2(1)+3(0)=3= 1 + 2(1) + 3(0) = 3 ২য় ক্ষেত্র: যখন sin⁡x=13\sin x = \frac{1}{3} d2ydx2=−2(13)−6{1−2(13)2}\frac{d^2y}{dx^2} = -2\left(\frac{1}{3}\right) - 6\left\{1 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2\right\} =−23−6(1−29)= -\frac{2}{3} - 6\left(1 - \frac{2}{9}\right) =−23−6(79)= -\frac{2}{3} - 6\left(\frac{7}{9}\right) =−23−143=−2−143=−163= -\frac{2}{3} - \frac{14}{3} = \frac{-2 - 14}{3} = -\frac{16}{3} যেহেতু d2ydx2<0\frac{d^2y}{dx^2} < 0, তাই x=sin⁡−1(13)x = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান (Maximum value) বিদ্যমান। ∴\therefore নির্ণেয় গুরুমান =1+2(13)+3{1−(13)2}= 1 + 2\left(\frac{1}{3}\right) + 3\left\{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2\right\} =1+23+3(1−19)= 1 + \frac{2}{3} + 3\left(1 - \frac{1}{9}\right) =1+23+3(89)= 1 + \frac{2}{3} + 3\left(\frac{8}{9}\right) =1+23+83= 1 + \frac{2}{3} + \frac{8}{3} =3+2+83=133=413= \frac{3 + 2 + 8}{3} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} ফাংশনটির গুরুমান 4134\frac{1}{3} এবং লঘুমান 33 ।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন