Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

h(x)=cos⁡3x,u=tan⁡−12xh(x)=\cos 3 x, u=\tan^{-1} 2 x

উত্তর

lim⁡x→01−cos⁡3xx2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 3 x}{x^2} =lim⁡x→02sin⁡23x2x2=2lim⁡x→0(sin⁡3x23x2)2⋅94=2⋅12⋅94=92=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3 x}{2}}{x^2}=2 \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{3 x}{2}}{\frac{3 x}{2}}\right)^2 \cdot \frac{9}{4}=2 \cdot 1^2 \cdot \frac{9}{4}=\frac{9}{2} নির্ণেয় মান : 92\frac{9}{2}.

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=cos⁡3xh(x) = \cos 3x ∴h(x+t)=cos⁡3(x+t)=cos⁡(3x+3t)\therefore h(x + t) = \cos 3(x + t) = \cos (3x + 3t) অন্তরজের সংজ্ঞা থেকে পাই, ddxh(x)=lim⁡t→0h(x+t)−h(x)t=lim⁡t→0cos⁡(3x+3t)−cos⁡3xt\frac{d}{dx} h(x) = \lim_{t \to 0} \frac{h(x+t) - h(x)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos (3x+3t) - \cos 3x}{t} =lim⁡t→02sin⁡3x+3t+3x2sin⁡3x−3x−3t2t= \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin \frac{3x+3t+3x}{2} \sin \frac{3x - 3x - 3t}{2}}{t} =2lim⁡t→0sin⁡(6x+3t2)⋅sin⁡(−3t2)t= 2 \lim_{t \to 0} \sin \left(\frac{6x+3t}{2}\right) \cdot \frac{\sin \left(\frac{-3t}{2}\right)}{t} =2lim⁡t→0sin⁡(6x+3t2)⋅lim⁡t→0−sin⁡3t23t2⋅32= 2 \lim_{t \to 0} \sin \left(\frac{6x+3t}{2}\right) \cdot \lim_{t \to 0} \frac{-\sin \frac{3t}{2}}{\frac{3t}{2}} \cdot \frac{3}{2} =2sin⁡(6x+02)⋅(−32)lim⁡3t2→0sin⁡3t23t2= 2 \sin \left(\frac{6x+0}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \lim_{\frac{3t}{2} \to 0} \frac{\sin \frac{3t}{2}}{\frac{3t}{2}} [∵t→0 বলে,3t2→0]\left[\because t \to 0 \text{ বলে}, \frac{3t}{2} \to 0\right] =2sin⁡3x⋅(−32)⋅1=−3sin⁡3x= 2 \sin 3x \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot 1 = -3 \sin 3x ∴ddx(cos⁡3x)=−3sin⁡3x.\therefore \frac{d}{dx}(\cos 3x) = -3 \sin 3x.

উত্তর

দেওয়া আছে, u=tan⁡−12xu = \tan^{-1} 2x বা, tan⁡u=2x\tan u = 2x আবার, ln⁡y=u\ln y = u বা, ln⁡y=tan⁡−12x\ln y = \tan^{-1} 2x বা, ddxln⁡y=ddxtan⁡−12x\frac{d}{dx} \ln y = \frac{d}{dx} \tan^{-1} 2x বা, 1y⋅y1=11+4x2⋅2\frac{1}{y} \cdot y_1 = \frac{1}{1 + 4x^2} \cdot 2 বা, (1+4x2)y1=2y(1 + 4x^2) y_1 = 2y বা, ddx(1+4x2)⋅y1=ddx2y\frac{d}{dx} (1 + 4x^2) \cdot y_1 = \frac{d}{dx} 2y বা, (1+4x2)ddxy1+y1ddx(1+4x2)=2y1(1 + 4x^2) \frac{d}{dx} y_1 + y_1 \frac{d}{dx} (1 + 4x^2) = 2y_1 বা, (1+4x2)y2+y1⋅8x=2y1(1 + 4x^2) y_2 + y_1 \cdot 8x = 2y_1 বা, {1+(2x)2}y2+(8x−2)y1=0\{1 + (2x)^2\} y_2 + (8x - 2) y_1 = 0 বা, (1+tan⁡2u)y2+2(2⋅2x−1)y1=0(1 + \tan^2 u) y_2 + 2(2 \cdot 2x - 1) y_1 = 0 ∴sec⁡2u⋅y2+2(2tan⁡u−1)y1=0\therefore \sec^2 u \cdot y_2 + 2(2 \tan u - 1) y_1 = 0 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন