Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [(1) নং সমীকরণ হতে ] [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x.

Rajshahi · 2021

উত্তর

দেওয়া আছে, y=sin⁡{2tan⁡−11−x1+x}y=\sin \left\{2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right\} ধরি, x=cos⁡θx=\cos \theta বা, θ=cos⁡−1x\theta=\cos^{-1} \mathrm{x} ∴y=sin⁡{2tan⁡−11−cos⁡θ1+cos⁡θ}\therefore y=\sin \left\{2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right\} =sin⁡{2tan⁡−12sin⁡2θ22cos⁡2θ2}=\sin \left\{2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin^{2} \frac{\theta}{2}}{2 \cos^{2} \frac{\theta}{2}}}\right\} =sin⁡{2tan⁡−1tan⁡θ2}=sin⁡(2⋅θ2)=sin⁡θ=\sin \left\{2 \tan^{-1} \tan \frac{\theta}{2}\right\}=\sin \left(2 \cdot \frac{\theta}{2}\right)=\sin \theta বা, y=sin⁡(cos⁡−1x)\mathrm{y}=\sin \left(\cos^{-1} \mathrm{x}\right) বা, dydx=ddx{sin⁡(cos⁡−1x)}\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left\{\sin \left(\cos^{-1} x\right)\right\} বা, dydx=cos⁡(cos⁡−1x)−11−x2\frac{d y}{d x}=\cos \left(\cos^{-1} x\right) \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} ∴dydx=−x1−x2\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\mathrm{x}}{\sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}} নির্ণেয় dydx=−x1−x2\frac{d y}{d x}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}.

উত্তর

\begin{aligned}& \text{ দেওয়া আছে, } \mathrm{f}(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x} \\& \therefore \mathrm{f}(3 \mathrm{x})=\tan 3 \mathrm{x} \\& \text{ ধরি, } g(x)=f(3 x)=\tan 3 x \\& \therefore g(x+h)=\tan (3 x+3 h) \\& \text{ মূল নিয়মের সংংজ্ঞ|নুসারে, } \\& \frac{d}{d x} g(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\tan (3 x+3 h)-\tan 3 x}{h} \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{\sin (3 x+3 h)}{\cos (3 x+3 h)}-\frac{\sin 3 x}{\cos 3 x}\right] \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{\sin (3 x+3 h) \cdot \cos 3 x-\cos (3 x+3 h) \cdot \sin 3 x}{\cos (3 x+3 h} \cdot \cos 3 x}\right] \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{\sin (3 x+3 h-3 x)}{\cos (3 x+3 h} \cdot \cos 3 x} \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin 3 h}{h} \cdot \frac{1}{\cos (3 x+3 h} \cdot \cos 3 x} \\& =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin 3 h}{3 h} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (3 x+3 h} \cos 3 x} \\& {[\because \mathrm{h} \rightarrow 0 \text{ হলে } 3 \mathrm{~h} \rightarrow 0]} \\& =3 \cdot \frac{1}{\cos (3 x+0} \cdot \cos 3 x} \\& =3 \cdot \frac{1}{\cos 3 x \cdot \cos 3 x}=3 \cdot \frac{1}{\cos^{2} 3 x}=3 \sec^{2} 3 x \\& \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathrm{f}(3 \mathrm{x})=3 \sec^{2} 3 \mathrm{x} \text{. }\end{aligned} নির্ণেয় অন্তজ : 3sec⁡23x3 \sec^{2} 3 \mathrm{x}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x} বা, f′(x)=sec⁡2x\mathrm{f}'(\mathrm{x})=\sec^{2} \mathrm{x} বা, y=f(x)+f′(x)y=f(x)+\sqrt{f^{\prime}(x)} বা, y=tan⁡x+sec⁡2xy=\tan x+\sqrt{\sec^{2} x} বা, y=tan⁡x+sec⁡xy=\tan x+\sec x বা, y=sin⁡xcos⁡x+1cos⁡xy=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{1}{\cos x} বা, y=sin⁡x+1cos⁡xy=\frac{\sin x+1}{\cos x}. x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=cos⁡xddx(sin⁡x+1)−(sin⁡x+1)ddxcos⁡xcos⁡2xy_{1}=\frac{\cos x \frac{d}{d x}(\sin x+1)-(\sin x+1) \frac{d}{d x} \cos x}{\cos^{2} x} বা, y1=cos⁡x⋅cos⁡x+(sin⁡x+1)sin⁡xcos⁡2xy_{1}=\frac{\cos x \cdot \cos x+(\sin x+1) \sin x}{\cos^{2} x} বা, y1=cos⁡2x+sin⁡2x+sin⁡x1−sin⁡2xy_{1}=\frac{\cos^{2} x+\sin^{2} x+\sin x}{1-\sin^{2} x} বা, y1=1+sin⁡x(1+sin⁡x)(1−sin⁡x)[∵sin⁡2x+cos⁡2x=1]\mathrm{y}_{1}=\frac{1+\sin \mathrm{x}}{(1+\sin \mathrm{x})(1-\sin \mathrm{x})}\left[\because \sin^{2} \mathrm{x}+\cos^{2} \mathrm{x}=1\right] বা, y1=11−sin⁡x\mathrm{y}_{1}=\frac{1}{1-\sin \mathrm{x}} আবার, x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y2=(1−sin⁡x)ddx(1)−1ddx(1−sin⁡x)(1−sin⁡x)2y_{2}=\frac{(1-\sin x) \frac{d}{d x}(1)-1 \frac{d}{d x}(1-\sin x)}{(1-\sin x)^{2}} বা, y_{2}=\frac{(1-\sin x) \cdot 0-1 \cdot(0-\cos x)}{(1-\sin x}^{2}} বা, y2=cos⁡x(1−sin⁡x)2\mathrm{y}_{2}=\frac{\cos \mathrm{x}}{(1-\sin \mathrm{x})^{2}} বা, (1−sin⁡x)y2=cos⁡x1−sin⁡x(1-\sin x) y_{2}=\frac{\cos x}{1-\sin x} বা, (1−sin⁡x)y2=cos⁡∘x⋅(1+sin⁡x)(1+sin⁡x)(1−sin⁡x)(1-\sin \mathrm{x}) \mathrm{y}_{2}=\frac{\cos^{\circ} \mathrm{x} \cdot(1+\sin \mathrm{x})}{(1+\sin \mathrm{x})(1-\sin \mathrm{x})} বা, (1−sin⁡x)y2=cos⁡x(1+sin⁡x1−sin⁡2x(1-\sin x) y_{2}=\frac{\cos x(1+\sin x}{1-\sin^{2} x} বা, (1−sin⁡x)y2=cos⁡x(1+sin⁡x)cos⁡2x(1-\sin x) y_{2}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{\cos^{2} x} বা, (1−sin⁡x)⋅y2=1+sin⁡xcos⁡x(1-\sin x) \cdot y_{2}=\frac{1+\sin x}{\cos x} বা, (1−sin⁡x)y2=y(1-\sin \mathrm{x}) \mathrm{y}_{2}=\mathrm{y}[(1) নং সমীকরণ হতে ] ∴(1−sin⁡x)y2−y=0\therefore(1-\sin \mathrm{x}) \mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}=0. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন