Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] আবার [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] এর জন্য [গণিত] এর লঘুমান বিদ্যমান। [গণিত] ফাংশनটির লঘুমান, [গণিত] নির্ণেয় ফাংশনটির সর্বোচ্চমান -3 এবং সর্বনিম্নমান [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

t=xxln⁡x,y=sin⁡(msin−1x)\mathrm{t}=\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \ln \mathrm{x}, \mathrm{y}=\sin \left(\mathrm{msin}^{-1} \mathrm{x}\right), h(x)=2x3−21x2+36x−20h(x)=2 x^{3}-21 x^{2}+36 x-20

Chittagong · 2021

উত্তর

দেওয়া আছে, t=xxln⁡xt=x^{x} \ln x বা, dtdx=ddx(xxln⁡x)\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \ln \mathrm{x}\right) =xxddxln⁡x+ln⁡xddxxx=x^{x} \frac{d}{d x} \ln x+\ln x \frac{d}{d x} x^{x} =xx⋅1x+ln⁡xdvdx……..(i)=x^{x} \cdot \frac{1}{x}+\ln x \frac{d v}{d x} \ldots\ldots.. (i) যেখানে, v=xx\mathrm{v}=\mathrm{x}^{\mathrm{x}} বা, ln⁡v=ln⁡xx\ln v=\ln x^{x} বা, ln⁡v=xln⁡x\ln v=x \ln x বা, ddxln⁡v=ddx(xln⁡x)\frac{d}{d x} \ln v=\frac{d}{d x}(x \ln x) বা, 1vdvdx=xddxln⁡x+ln⁡xddx(x)\frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=x \frac{d}{d x} \ln x+\ln x \frac{d}{d x}(x) বা, 1vdvdx=x⋅1x+ln⁡x⋅1\frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=x \cdot \frac{1}{x}+\ln x \cdot 1 বা, dvdx=v(1+ln⁡x)=xx(1+ln⁡x)\frac{d v}{d x}=v(1+\ln x)=x^{x}(1+\ln x) (1) নং সমীকরণে dvdx\frac{d v}{d x} এর মান বসিয়ে পাই, dtdx=xx⋅1x+ln⁡x⋅xx(1+ln⁡x)\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}}+\ln \mathrm{x} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{x}}(1+\ln \mathrm{x}) ∴dtdx=xx{1x+(1+ln⁡x)ln⁡x}\therefore \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{1}{\mathrm{x}}+(1+\ln \mathrm{x}) \ln \mathrm{x}\right\}

উত্তর

দেওয়া আছে, y=sin⁡(msin⁡−1x)y=\sin \left(m \sin^{-1} x\right) বা, sin⁡−1y=msin⁡−1x\sin^{-1} y=m \sin^{-1} x বা, ddxsin⁡−1y=ddx(msin⁡−1x)\frac{d}{d x} \sin^{-1} y=\frac{d}{d x}\left(m \sin^{-1} x\right) বা, 11−y2⋅y1=m11−x2\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \cdot y_{1}=m \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} বা, y121−y2=m21−x2[\frac{y_{1}^{2}}{1-y^{2}}=\frac{m^{2}}{1-x^{2}}[ বর্গ করে ]] বা, (1−x2)y12=m2(1−y2)\left(1-x^{2}\right) y_{1}^{2}=m^{2}\left(1-y^{2}\right) বা, ddx{(1−x2)⋅y12}=ddx{m2(1−y2)}\frac{d}{d x}\left\{\left(1-x^{2}\right) \cdot y_{1}^{2}\right\}=\frac{d}{d x}\left\{m^{2}\left(1-y^{2}\right)\right\} বা, (1−x2)ddxy12+y12ddx(1−x2)=m2(0−2y⋅y1)\left(1-x^{2}\right) \frac{d}{d x} y_{1}^{2}+y_{1}^{2} \frac{d}{d x}\left(1-x^{2}\right)=m^{2}\left(0-2 y \cdot y_{1}\right) বা, (1−x2)⋅2y1⋅y2+y12⋅(−2x)=−2m2y1\left(1-x^{2}\right) \cdot 2 y_{1} \cdot y_{2}+y_{1}^{2} \cdot(-2 x)=-2 m^{2} y_{1} বা, (1−x2)y2−xy1=−m2y\left(1-x^{2}\right) y_{2}-x y_{1}=-m^{2} y ∴(1−x2)y2−xy1+m2y=0\therefore\left(1-x^{2}\right) y_{2}-x y_{1}+m^{2} y=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=2x3−21x2+36x−20\mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{3}-21 \mathrm{x}^{2}+36 \mathrm{x}-20 ∴h′(x)=6x2−42x+36\therefore h^{\prime}(x)=6 x^{2}-42 x+36 ∴h′′(x)=12x−42\therefore \mathrm{h}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=12 \mathrm{x}-42 সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, h′(x)=0h^{\prime}(x)=0 বা, 6x2−42x+36=06 x^{2}-42 x+36=0 বা, x2−7x+6=0x^{2}-7 x+6=0 বা, x2−6x−x+6=0x^{2}-6 x-x+6=0 বা, x(x−6)−1(x−6)=0x(x-6)-1(x-6)=0 বা, (x−6)(x−1)=0(x-6)(x-1)=0 হয়, x−6=0x-6=0 আবার x−1=0\mathrm{x}-1=0 ∴x=6∴x=1\therefore x=6 \quad \therefore \mathrm{x}=1 এখন, x=1x=1 হলে, h′′(1)=12.1−42=−30<0h^{\prime \prime}(1)=12.1-42=-30<0 ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1 এর জন্য h(x)\mathrm{h}(\mathrm{x}) ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। ∴\therefore ফাংশনটির গুরুমান, h(1)=2.13−21.12+36.1−20h(1)=2.1^{3}-21.1^{2}+36.1-20 =2−21+36−20=−3\begin{aligned}& =2-21+36-20 \\& =-3\end{aligned} আবার, x=6x=6 হলে, h′′(6)=12.6−42=30>0h^{\prime \prime}(6)=12.6-42=30>0 ∴x=6\therefore \mathrm{x}=6 এর জন্য h(x)\mathrm{h}(\mathrm{x}) এর লঘুমান বিদ্যমান। ∴\therefore ফাংশनটির লঘুমান, h(6)=2.63−21.62+36.6−20h(6)=2.6^{3}-21.6^{2}+36.6-20 =432−756+216−20=432-756+216-20 নির্ণেয় ফাংশনটির সর্বোচ্চমান -3 এবং সর্বনিম্নমান =−128=-128
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন