Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] নির্ণয় কর।

উত্তর: [গণিত] প্রদত্ত রাশি [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

[গণিত] নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡−12xf(x)=\cos^{-1} 2 x

Sylhet · 2019

উত্তর

দেয়া আছে, f(x)=cos⁡−12x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos^{-1} 2 \mathrm{x} ∴esin⁡{f(x)}=esin⁡{cos⁡−12x}\therefore e^{\sin \{f(x)\}}=e^{\sin \left\{\cos^{-1} 2 x\right\}} ∴ddx\therefore \frac{d}{d x} ={esin⁡{cos⁡−12x}}=esin⁡{cos⁡−12x}×ddxsin⁡(cos⁡−12x)=\left\{e^{\sin \left\{\cos^{-1} 2 x\right\}}\right\}=e^{\sin \left\{\cos^{-1} 2 x\right\}} \times \frac{d}{d x} \sin \left(\cos^{-1} 2 x\right) =esin⁡{cos⁡−12x}×cos⁡(cos⁡−12x)×ddx(cos⁡−12x)=e^{\sin \left\{\cos^{-1} 2 x\right\}} \times \cos \left(\cos^{-1} 2 x\right) \times \frac{d}{d x}\left(\cos^{-1} 2 x\right) =esin⁡(cos⁡−12x)×2x×−11−2x2×ddx(2x)=e^{\sin \left(\cos^{-1} 2 x\right)} \times 2 x \times \frac{-1}{\sqrt{1-2 x^2}} \times \frac{d}{d x}(2 x) =esin⁡(cos⁡−12x)×−2x1−4x2×2=e^{\sin \left(\cos^{-1} 2 x\right)} \times \frac{-2 x}{\sqrt{1-4 x^2}} \times 2 =−4xesin⁡(cos⁡−12x)1−4x2=\frac{-4 x e^{\sin \left(\cos^{-1} 2 x\right)}}{\sqrt{1-4 x^2}} নির্ণেয় অন্তরজ −4xesin⁡(cos⁡−12x)1−4x2\frac{-4 x e^{\sin \left(\cos^{-1} 2 x\right)}}{\sqrt{1-4 x^2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡−12x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos^{-1} 2 \mathrm{x} এবং In y=f(x)\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}) বা, In y=cos⁡−12xy=\cos^{-1} 2 \mathrm{x} বা, 1yy1=−11−4x2×2\frac{1}{y} y_1=\frac{-1}{\sqrt{1-4 x^2}} \times 2 [x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, y11−4x2=−2yy_1 \sqrt{1-4 x^2}=-2 \mathrm{y} বা, y12(1−4x2)=4y2y_1^2\left(1-4 x^2\right)=4 y^2 বা, (1−4x2)×2y1y2+y12(0−8x)=4×2yy1\left(1-4 x^2\right) \times 2 y_1 y_2+y_1^2(0-8 \mathrm{x})=4 \times 2 y y_1 [পুনরায় x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, (1−4x2)y2−4xy1=4y\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) y_2-4 \mathrm{x} y_1=4 \mathrm{y} ∴(1−4x2)y2−4xy1−4y=0\therefore\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) y_2-4 \mathrm{x} y_1-4 \mathrm{y}=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

f(x)=cos⁡−12x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos^{-1} 2 \mathrm{x} প্রদত্ত রাশি =∫xf(x)dx=\int x f(x) d x =∫xcos⁡−12xdx=\int x \cos^{-1} 2 x d x =cos⁡−12x∫xdx−{ddx(cos⁡−12x)∫xdx}dx=\cos^{-1} 2 x \int x d x-\left\{\frac{d}{d x}\left(\cos^{-1} 2 x\right) \int x d x\right\} d x =12x2cos⁡−12x−∫−11−4x2×2×x22dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\int \frac{-1}{\sqrt{1-4 x^2}} \times 2 \times \frac{x^2}{2} d x =12x2cos⁡−12x+∫x21−4x2dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x+\int \frac{x^2}{\sqrt{1-4 x^2}} d x =12x2cos⁡−12x−14∫1−4x2−11−4x2dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{4} \int \frac{1-4 x^2-1}{\sqrt{1-4 x^2}} d x =12x2cos⁡−12x−14∫1−4x21−4x2dx+14∫11−4x2dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{4} \int \frac{1-4 x^2}{\sqrt{1-4 x^2}} d x+\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1-4 x^2}} d x =12x2cos⁡−12x−14∫1−4x2dx+18∫1(12)2−x2dx=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{4} \int \sqrt{1-4 x^2} d x+\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2}-x^2} d x =12x2cos⁡−12x−14×2∫(12)2−x2dx+18sin⁡−1×(x12)=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{4} \times 2 \int \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-x^2} d x+\frac{1}{8} \sin^{-1} \times\left(\frac{x}{\frac{1}{2}}\right) =12x2cos⁡−12x−12[x(12)2−x22+(12)22sin⁡−1(x12)]+18sin⁡−1(2x)+c[∵∫a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−1xa+c]=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{2}\left[\frac{x \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-x^2}}{2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{\frac{1}{2}}\right)\right]+\frac{1}{8} \sin^{-1}(2 x)+c\left[\because \int \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}+c\right] =12x2cos⁡−12x−12×x21−4x22−12×18sin⁡−1(2x)+c=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{1}{2} \times \frac{\frac{x}{2} \sqrt{1-4 x^2}}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \sin^{-1}(2 x)+c =12x2cos⁡−12x−x1−4x28+116sin⁡−1(2x)+c=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{x \sqrt{1-4 x^2}}{8}+\frac{1}{16} \sin^{-1}(2 x)+c ∴∫Xf(x)dx=12x2cos⁡−12x−x1−4x28+116sin⁡−1(2x)+c\therefore \int_{\mathrm{X}} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\frac{1}{2} x^2 \cos^{-1} 2 x-\frac{x \sqrt{1-4 x^2}}{8}+\frac{1}{16} \sin^{-1}(2 x)+c
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
[গণিত] নির্ণয় কর। | Prosthuti