Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্পের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্পের আলোকে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: g(x)=xcosec⁡⁡−11x,y=cos⁡(msin⁡−1p)g(x)=x \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{1}{x}, y=\cos \left(m \sin^{-1} p\right)।

Chittagong · 2017

উত্তর

ধরি, y=ln⁡{x+(x2+a2)}y =\ln \left\{x+\sqrt{ }\left(x^2+a^2\right)\right\} dydx=ddx{x+(x2+a2)}x+(x2+a2)\frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d}{d x}\left\{x+\sqrt{ }\left(x^2+a^2\right)\right\}}{x+\sqrt{\left(x^2+a^2\right)}} =1+2x2(x2+a2)x+(x2+a2)=\frac{1+\frac{2 x}{2 \sqrt{\left(x^2+a^2\right)}}}{x+\sqrt{\left(x^2+a^2\right)}} =(x2+a2)+x(x2+a2)⋅1x+(x2+a2)=1x2+a2=\frac{\sqrt{\left(x^2+a^2\right)+x}}{\sqrt{\left(x^2+a^2\right)}} \cdot \frac{1}{x+\sqrt{\left(x^2+a^2\right)}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=xcosec⁡⁡−11x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{1}{\mathrm{x}} ∴g(x)=xsin⁡−1x\therefore g(x)=x \sin^{-1} x ∴∫xsin⁡−1xdx=sin⁡−1x∫xdx−∫{ddx(sin⁡−1x)∫xdx}dx\therefore \int x \sin^{-1} x d x=\sin^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} x\right) \int x d x\right\} d x =x22sin⁡−1x−∫11−x2⋅x22dx=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} d x =x22sin⁡−1x−12∫1−(1−x2)1−x2dx=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{1-\left(1-x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}} d x =x22sin⁡−1x−12∫dx1−x2+12∫1−x2dx=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2} \int \sqrt{1-x^2} d x =x22sin⁡−1x−12sin⁡−1x+12[x1−x22+12sin⁡−1x]+c=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} \sin^{-1} x+\frac{1}{2}\left[\frac{x \sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2} \sin^{-1} x\right]+c [যেখানে, c সমাকলন ধ্রুবক] =x22sin⁡−1x−14sin⁡−1x+x41−x2+c=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \sin^{-1} x+\frac{x}{4} \sqrt{1-x^2}+c নির্ণেয় যোজিত ফল =x22sin⁡−1x−14sin⁡−1x+x41−x2+c=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \sin^{-1} x+\frac{x}{4} \sqrt{1-x^2}+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, y=cos⁡(msin⁡−1p)y=\cos \left(m \sin^{-1} p\right) x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=ddx{cos⁡(msin⁡−1p)}\mathrm{y}_1=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\cos \left(\mathrm{m} \sin^{-1} \mathrm{p}\right)\right\} বা, y1=−sin⁡(msin⁡−1p)⋅m1−p2y_1=-\sin \left(m \sin^{-1} p\right) \cdot \frac{m}{\sqrt{1-p^2}} বা, y11−p2=−msin⁡(msin⁡−1p)y_1 \sqrt{1-p^2}=-m \sin \left(m \sin^{-1} p\right) বা, y12(1−p2)=m2sin⁡2(msin⁡−1p)y_1^2\left(1-p^2\right)=m^2 \sin^2\left(m \sin^{-1} p\right) বা, y12(1−p2)=m2{1−cos⁡2(msin⁡−1p)}y_1^2\left(1-p^2\right)=m^2\left\{1-\cos^2\left(m \sin^{-1} p\right)\right\} বা, y12(1−p2)=m2(1−y2)y_1^2\left(1-p^2\right)=m^2\left(1-y^2\right) বা, (1−p2)2y1⋅y2−2py12=−2m2y⋅y1\left(1-p^2\right) 2 y_1 \cdot y_2-2 p y_1^2=-2 m^2 y \cdot y_1 ∴(1−p2)y2−py1+m2y=0\therefore \quad\left(1-p^2\right) y_2-p y_1+m^2 y=0. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCA B C ত্রিভুজে a=3ba=\sqrt{3} b এবং A=2BA=2 B দৃশ্যকল্প-২: lny = bz.

Barisal · 2017

ক
lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cosz⁡=x\operatorname{cosz}=x হলে প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1=b2y\left(1-x^2\right) y_2-x y_1=b^2 y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(cosec⁡⁡x−cot⁡x)\lim_{\mathrm{x} \rightarrow 0}(\operatorname{\cosec} \mathrm{x}-\cot \mathrm{x}) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

ক
lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ
y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.
গ
দেখাও যে, g(2x)x\frac{g(2 x)}{x} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 2e\frac{2}{e}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 হলে দেখাও যে, (1−4x2)y2−4xy1−8=0\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=xtan⁡−1x,g(x)=log⁡xaf(x)=x^{\tan^{-1} x}, g(x)=\log_x a h(x)=a+bcos⁡x.h(x)=\sqrt{a+b \cos x} .

Jessore · 2017

ক
lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।
খ
f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
y=h(x)\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) হলে, দেখাও যে, 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{a}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

f(x)f(x) এবং g(x)g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

lim⁡y→01−cos⁡yy\lim_{\mathrm{y} \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{\mathrm{y}} এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: f(p)=e−2pf(p)=e^{-2 p}

Chittagong · 2017

ক
lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
গ
4f(p)+9f(p)4 \mathrm{f}(\mathrm{p})+\frac{9}{\mathrm{f}(\mathrm{p})} এর চরম মান নির্ণয় কর ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে f(p)\mathrm{f}(\mathrm{p}) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

lim⁡x→0(1+3x)xx\lim_{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{x}{x}} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ABC ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।[গণিত] এর চরম মান নির্ণয় কর ।দৃশ্যকল্পের আলোকে p এর সাপেক্ষে মূল নিয়মে [গণিত] এর অন্তরজ নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন