Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] খাড়া দেয়ালের পাদদেশ হতে ভূমি বরাবর [গণিত] দূরত্বে কোনো বিন্দু হতে [গণিত] কোণে একটি বস্তু নিক্ষেপ করা হলে তা দেয়ালের উপর দিয়ে গেল এবং দেয়ালের অপর পার্শ্বে [গণিত] দূরত্বে মাটিতে পড়ল। দেখাও যে, দেয়ালটির উচ্চতা [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, একটি বস্তুকণা [গণিত] বিন্দু থেকে [গণিত] আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে [গণিত] কোণে প্রক্ষিপ্ত হলো। [গণিত] বিন্দুগামী আনুভূমিক ও উল্লম্ব [গণিত] ও [গণিত] রেখাদ্দয় যথাক্রমে [গণিত] -অক্ষ ও [গণিত] -অক্ষ ধরলে t সময়ে কণাটি [গণিত] বিন্দুতে অবস্থান করে। [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] এর আনুভূমিক উপাংশ [গণিত] ও উল্লম্ব উপাংশ [গণিত] এবং আনুভূমিকের দিকে অভিকর্ষজ ত্বরণশূন্য ও উল্লম্ব ত্বরণ [গণিত] সময়ে আনুভূমিক সরণ, [গণিত] সময়ে উল্লম্ব সরণ, [গণিত] নং সমীকরণে [গণিত] এর মান বসিয়ে পাই, [গণিত] অর্থাৎ দেয়ালটির উচ্চতা [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি · সৃজনশীল

উদ্দীপকের আলোকে খাড়া দেয়ালের পাদদেশ হতে ভূমি বরাবর দূরত্বে কোনো ব…

উদ্দীপক

উদ্দীপক: question image

Chittagong · 2025

উত্তর

question image মনে করি, সমান বেগদ্ধয় uu এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha । বেগদ্বয়ের লব্ধি ww যদি একটি বেগের সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে, তাহলে, tan⁡θ=usin⁡αu+ucos⁡α=sin⁡(2×α2)1+cos⁡(2×α2)=2sin⁡α2cos⁡α22cos⁡2α2=sin⁡α2cos⁡α2=tan⁡α2∴θ=α2\begin{aligned} & \quad \tan \theta=\frac{u \sin \alpha}{u+u \cos \alpha} \\ & \quad=\frac{\sin \left(2 \times \frac{\alpha}{2}\right)}{1+\cos \left(2 \times \frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\tan \frac{\alpha}{2} \\ & \therefore \quad \theta=\frac{\alpha}{2}\end{aligned} অতএব, সমমানের সমবিন্দু বেগের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে। (দেখানো হলো)

উত্তর

question image উদ্দীপক অনুসারে, স্থান দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব OA=aM,OAOA=a M, OA এর মধ্যবিন্দু। ∴s=OM=MA=OA2=a2\therefore \mathrm{s}=\mathrm{OM}=\mathrm{MA}=\frac{\mathrm{OA}}{2}=\frac{\mathrm{a}}{2} মনে করি, MM বিন্দুতে বস্কুটির বেগ vv এবং OMOM অংশ যেতে t1t_1 ও MA অংশ যেতে t2t_2 সময় লাগে। মোট সময়, t=t1+t2t=t_1+t_2 OMOM অংশের জন্য : s=(0+v2)t1s=\left(\frac{0+v}{2}\right) t_1 রা, s=Vt12s=\frac{\mathrm{Vt}_1}{2}…….(i)\ldots\ldots.(i) এবং v=0+f1t1\mathrm{v}=0+f_1 t_1 বা, t1=vf1t_1=\frac{v}{f_1} …….(ii)\ldots\ldots.(ii) MAMA অংশের জন্য : s=(v+02)t2s=\left(\frac{v+0}{2}\right) t_2 বা, s=Vt22s=\frac{\mathrm{Vt}_2}{2}…...(iii)\ldots...(iii) এবং 0=v−f2t20=v-f_2 t_2 বা, t2=vf2t_2=\frac{v}{f_2}…...(iv)\ldots...(iv) (i)(i) ও (iii)(iii) নং যোগ করে পাই, s+s=v2(t1+t2)s+s=\frac{v}{2}\left(t_1+t_2\right) বা, v=4st1+t2v=\frac{4 s}{t_1+t_2}…...(v)\ldots...(v) আবার, (ii)(ii) ও (iv)(iv) নং যোগ করে পাই, t1+t2=v(1f1+1f2)t_1+t_2=v\left(\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}\right) বা, t1+t2=4st1+t2(f1+f2f1f2)t_1+t_2=\frac{4 s}{t_1+t_2}\left(\frac{f_1+f_2}{f_1 f_2}\right) বা, (t1+t2)2=4×a2(f1+f2f1f2)\left(t_1+t_2\right)^2=4 \times \frac{a}{2}\left(\frac{f_1+f_2}{f_1 f_2}\right) বা, t1+t2=2a(f1+f2)f1f2\mathrm{t}_1+\mathrm{t}_2=\sqrt{\frac{2 \mathrm{a}\left(f_1+f_2\right)}{f_1 f_2}} ∴t=2a(f1+f2)f1f2\therefore \quad \mathrm{t}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{a}\left(f_1+f_2\right)}{f_1 f_2}} অতএব, 00 থেকে MM বিন্দুতে পৌছাতে কণাটির 2a(f1+f2)f1f2\sqrt{\frac{2 a\left(f_1+f_2\right)}{f_1 f_2}} সময় লাগবে।

উত্তর

question image মনে করি, একটি বস্তুকণা 00 বিন্দু থেকে uu আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে α=45∘\alpha=45^{\circ} কোণে প্রক্ষিপ্ত হলো। OO বিন্দুগামী আনুভূমিক ও উল্লম্ব OXOX ও OYOY রেখাদ্দয় যথাক্রমে xx-অক্ষ ও yy-অক্ষ ধরলে t সময়ে কণাটি N(p,h)N(p, h) বিন্দুতে অবস্থান করে। 00 বিন্দুতে uu এর আনুভূমিক উপাংশ ucos⁡αu \cos \alpha ও উল্লম্ব উপাংশ usin⁡αu \sin \alpha এবং আনুভূমিকের দিকে অভিকর্ষজ ত্বরণশূন্য ও উল্লম্ব ত্বরণ −g.- g. tt সময়ে আনুভূমিক সরণ, p=ucos⁡αt\mathrm{p}=\mathrm{u} \cos \alpha \mathrm{t} ∴t=pucos⁡α\therefore t=\frac{p}{u \cos \alpha} tt সময়ে উল্লম্ব সরণ, h=usin⁡αt−12gt2h=u \sin \alpha t-\frac{1}{2} g t^2 …...(i)\ldots...(i) (i)(i) নং সমীকরণে tt এর মান বসিয়ে পাই, h=usin⁡α⋅pucos⁡α−12gp2u2cos⁡2α=ptan⁡α−gp22u2cos⁡2α=ptan⁡α−gp2⋅tan⁡α2u2⋅sin⁡αcos⁡α=ptan⁡α(1−gpu2sin⁡2α)=ptan⁡α(1−pu2sin⁡2αg)=ptan⁡α(1−pR)=ptan⁡45∘(1−pp+q)[∵OA=R=p+q]=p⋅1(p+q−pp+q)=p⋅qp+q=pqp+q∴h=pgp+q\begin{aligned} h & =u \sin \alpha \cdot \frac{p}{u \cos \alpha}-\frac{1}{2} g \frac{p^2}{u^2 \cos^2 \alpha}=p \tan \alpha-\frac{g p^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha} \\ & =p \tan \alpha-\frac{g p^2 \cdot \tan \alpha}{2 u^2 \cdot \sin \alpha \cos \alpha}=p \tan \alpha\left(1-\frac{g p}{u^2 \sin 2 \alpha}\right) \\ & =p \tan \alpha\left(1-\frac{p}{\frac{u^2 \sin 2 \alpha}{g}}\right)=p \tan \alpha\left(1-\frac{p}{R}\right) \\ & =p \tan 45^{\circ}\left(1-\frac{p}{p+q}\right)[\because O A=R=p+q] \\ & =p \cdot 1\left(\frac{p+q-p}{p+q}\right)=p \cdot \frac{q}{p+q}=\frac{p q}{p+q} \\ \therefore h & =\frac{p g}{p+q}\end{aligned} অর্থাৎ দেয়ালটির উচ্চতা pqp+q\frac{p q}{p+q} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একজন মোটর সাইকেল আরোহী 1515 মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে 5 m/sec⁡25\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে অশ্বারোহীর পশ্চাতে মোটর সাইকেল চালাতে লাগল। অশ্বারোহী 12.5 m/sec⁡12.5\mathrm{~m/\sec} সমবেগে যাচ্ছিল। দৃশ্যকল্প-২: 6060 মিটার উচ্চ স্তম্ভের শীর্ষ হতে আনুভূমিকের সাথে 30°30° কোণে 100 m/sec⁡100\mathrm{~m/\sec} আদিবেগে একটি বস্তু নিক্ষিপ্ত হলো।

Jessore · 2017

ক
একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?

দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

S1 = {1, 3, 4, 5, 7, 9, 20} S2=12,13,14,15,16,17,18S^2 = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}

Sylhet · 2017

ক
একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
খ
S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?
গ
S1 এর উপাদানগুলির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?

S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

চিত্রে O বিন্দু হতে বায়ুশূন্য স্থানে প্রক্ষিপ্ত একটি বস্তুর গতিপথ দেখানো হয়েছে । question image

Sylhet · 2017

ক
কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}
খ
প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর
গ
দেখাও যে, vgcosec⁡⁡α\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{g}} \operatorname{\cosec} \alpha সময় পরে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি তার প্রক্ষেপণ g দিকের সাথে লম্বভাবে চলবে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একটি টাওয়ারের চূড়া হতে একখণ্ড পাথর 2 মিটার নিচে নামার পর অপর একখণ্ড পাথর চূড়ার 6 মিটার নিচ হতে ফেলে দেওয়া হলো। দৃশ্যকল্প-২: কোনো প্রক্ষিপ্ত বস্তুর দুইটি গতিপথে বৃহত্তম উচ্চতা যথাক্রমে 8m এবং 10m.

Chittagong · 2017

ক
একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, R=165R=16 \sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?

একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে [গণিত] ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিকS1 এর উপাদানগুলির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হএকটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভদেখাও যে, [গণিত] সময় পরে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি তার প্রক্ষেপণ g দিকের সাথে লম্বভাবে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ করকোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবদৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয়একটি বস্তু 15m/ [গণিত] বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রম

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন