Chapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি Higher Math 2nd Paper

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একজন মোটর সাইকেল আরোহী $15$ মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে $5\mathrm{~m/\sec}^2$ ত্বরণে অশ্বারোহীর পশ্চাতে মোটর সাইকেল চালাতে লাগল। অশ্বারোহী $12.5\mathrm{~m/\sec}$ সমবেগে যাচ্ছিল। দৃশ্যকল্প-২: $60$ মিটার উচ্চ স্তম্ভের শীর্ষ হতে আনুভূমিকের সাথে $30°$ কোণে $100\mathrm{~m/\sec}$ আদিবেগে একটি বস্তু নিক্ষিপ্ত হলো।

Jessore · 2017

ক

একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে $7\mathrm{~m/\sec}^2$ ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

উত্তর

এখানে, আদিবেগ $\mathrm{u}=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ত্বরণ, $f=7 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ সময়, $\mathrm{t}=3$ ∴ অতিক্রান্ত দূরত্ব, $\mathrm{S}=\mathrm{u}+\frac{1}{2} f(2 \mathrm{t}-1)$ $=0+\frac{1}{2} \times 7(2 \times 3-1)$ $=\frac{1}{2} \times 7 \times 5=17.5 \mathrm{~m}$ অতএব কণাটি তৃতীয় সেকেন্ডে 17.5 m দূরত্ব অতিক্রম করবে।

খ

দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?

উত্তর

এখানে, মোটর সাইকেল আরোহীর আদিবেগ $\mathrm{u_1}=0\mathrm{~m/\sec}$, ত্বরণ $\mathrm{f_1}=5\mathrm{~m/\sec}^2$, অশ্বারোহীর সমবেগ $\mathrm{v}=12.5\mathrm{~m/\sec}$. ধরি, মোটর সাইকেল আরোহী $\mathrm{A}$ বিন্দু হতে সরলরেখায় AB এর দিকে এর অপর বিন্দু C তে 'অশ্বারোহীকে দেখতে পায় এবং যাত্রা শুরুর । সেকেন্ড পরে তারা B বিন্দুতে মিলিত হয়। এখানে, $\mathrm{AC}=15 \mathrm{~m}$আবার, $\mathrm{AB}=\mathrm{u}_1 \mathrm{t}+\frac{1}{2} f_1 \mathrm{t}^2=0 \times \mathrm{t}+\frac{1}{2} \times 5 \times \mathrm{t}^2=\frac{5}{2} \mathrm{t}^2$ $\mathrm{CB}=\mathrm{vt}=12.5 \mathrm{t}$ এখন, $\mathrm{AB}-\mathrm{CB}=\mathrm{AC}$. বা, $\frac{5}{2} \mathrm{t}^2-12.5 \mathrm{t}=15$ বা, $\frac{5}{2} \mathrm{t}^2-\frac{25}{2} \mathrm{t}=15$ বা, $5 t^2-25 t=30$, বা, $t^2-5 t-6=0$ বা, $t^2-6 t+t-6=0$ বা, $t(t-6)+1(t-6)=0$ বা, $(t-6)(t+1)=0$ $\therefore$ হয় $\mathrm{t}-6=0$ বা, $\mathrm{t}=6$ অথবা, $\mathrm{t}+1=0$ বা, $\mathrm{t}=-1$ যা গ্রহণযোগ্য নয় এখন, $\mathrm{AB}=\frac{5}{2} \times 6^2=90 \mathrm{~m}$ অতএব, মোটর সাইকেল আরোহী 90 m দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে।

গ

দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?

উত্তর

দৃশ্যকল্প ২ থেকে পাই, বস্তুটির আদিবেগ $\mathrm{v}_0=100 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ নিক্ষেপণ কোণ $\alpha=30^{\circ}$ স্তম্ভের উচ্চতা, $\mathrm{y}=60 \mathrm{~m}$ অভিকর্ষজ ত্বরণ $\mathrm{g}=0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ এখন বস্তুটি ভূমিতে আঘাত করতে প্রয়োজনীয় সময় $t$ হলে $y=-v_0 \sin \alpha t+\frac{1}{2} g t^2$ বা, $60=-100 \times\left(\sin 30^{\circ}\right) \times \mathrm{t}+\frac{1}{2} \times 9.8 \times \mathrm{t}^2$ বা, $60=-50 \mathrm{t}+4.9 \mathrm{t}^2$ বা, $4.9 t^2-50 t-60=0$ বা, $\mathrm{t}=\frac{-(-50) \pm \sqrt{(-50)^2-4 \times 4.9 \times(-60)}}{2 \times 4.9}$ $\therefore \quad \mathrm{t}=11.29 \mathrm{~s},-1.08 \mathrm{~s}$ কিন্তু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, ∴ বস্তুটির অতিক্রান্ত অনুভূমিক দূরত্ব, $\mathrm{x} =\mathrm{v}_0 \cos \alpha \mathrm{t}$ $=100 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \times \cos 30^{\circ} \times 11.29 \mathrm{~s}=977.74 \mathrm{~m}$ অতএব, দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বসুটি স্তন্ড হতে 977.74 m দূরে ভূমিকে আঘাত করবে।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

চিত্রে O বিন্দু হতে বায়ুশূন্য স্থানে প্রক্ষিপ্ত একটি বস্তুর গতিপথ দেখানো হয়েছে ।

Sylhet · 2017

ক

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, $u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}$

উত্তর

মনে করি, $\mathrm{u}_1$ ও $\mathrm{u}_2$ বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ সুতরাং, $u_1$ বেপের ক্রিয়ারেখা বরাবর $u_1$ ও $u_2$ বেগের লম্বাংশের বীজগণিতীয় যোগফল $=u_1 \cos 0^{\circ}+u_2 \cos \alpha=u_1+u_2 \cos \alpha$ $\mathrm{u}_1$ এর দিক বরাবর u বেগের লম্বাংশ =u [শর্ত অনুযায়ী] যেহেতু যে কোনো রেখা বরাবর লব্ধির লম্বাংশ এবং অংশক বেগগুলোর লম্বাংশের বীজগণিতীয় যোগফল পরস্পর সমান। অতএব, $\mathrm{u}_1+\mathrm{u}_2 \cos \alpha=\mathrm{u}_2$ বা, $\mathrm{u}_2 \cos \alpha=\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1$ আবার, প্রদত্ত বেগ দুইটির লব্ধির মান $\begin{aligned} \mathrm{u} & =\sqrt{\mathrm{u}_1^2+\mathrm{u}_2^2+2 \mathrm{u}_1 \mathrm{u}_2 \cos \alpha} \\ & =\sqrt{\mathrm{u}_1^2+\mathrm{u}_2^2+2 \mathrm{u}_1\left(\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1\right)} \\ & =\sqrt{\mathrm{u}_1^2+\mathrm{u}_2^2+2 \mathrm{u}_1 \mathrm{u}_2-2 \mathrm{u}_1^2}\end{aligned}$ $\therefore \mathrm{u}=\sqrt{\mathrm{u}_2{ }^2-\mathrm{u}_1{ }^2+2 \mathrm{u}_1 \mathrm{u}_2}$ (দেখানো হলো)

খ

প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

উত্তর

দেওয়া আছে, প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি p ও q দূরত্বে অবস্থিত যথাক্রমে q ও p উচ্চতাকে কোনো রকমে অতিক্রম করে। আমরা জানি, প্রক্ষেপণ কোণ $\alpha,$ প্রক্ষেপণ বেগ v এবং আনুভূমিক পাল্লা R হলে $y=x \tan \alpha\left(1-\frac{x}{R}\right)$ $\therefore \mathrm{q}=\mathrm{p} \tan \alpha\left(1-\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{R}}\right)$$\ldots\ldots. (i)$ এবং $\mathrm{p}=\mathrm{q} \tan \alpha\left(1-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{R}}\right)$

$$\ldots\ldots. (ii) (i)$$

নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করি, $\frac{q}{p}=\frac{p\left(1-\frac{p}{R}\right)}{q\left(1-\frac{q}{R}\right)}$ বা, $\frac{q^2}{p^2}=\frac{R-p}{R-q}$ বा, $q^2 R-q^3=p^2 R-p^3$ বা, $\mathrm{p}^3-\mathrm{q}^3=R\left(\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2\right)$ বা, $(p-q)\left(p^2+p q+q^2\right)=R(p-q)(p+q)$ $\therefore \mathrm{R}=\frac{\mathrm{p}^2+\mathrm{pq}+\mathrm{q}^2}{\mathrm{p}+\mathrm{q}}$ (Ans.)

গ

দেখাও যে, $\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{g}} \operatorname{\cosec} \alpha$ সময় পরে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি তার প্রক্ষেপণ g দিকের সাথে লম্বভাবে চলবে।

উত্তর

t সময়ে বস্তুকণাটির আনুভূমিক বেগ = vcos $\alpha$ t সময়ে বস্তুকণাটির উল্লম্ব বেগ = vsin $\alpha-g t$ যেহেতু বস্তুকণাটি প্রক্ষেপণ দিকের সাথে লম্বভাবে চলে কাজেই এটি আনুভূমিকের সাথে $\left(90^{\circ}+\alpha\right)$ কোণ উৎপন্ন করবে। বা, $-\cot \alpha=\frac{\mathrm{v} \sin \alpha-\mathrm{gt}}{\mathrm{v} \cos \alpha}$ বা, $-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{v} \sin \alpha-\mathrm{gt}}{\mathrm{v} \cos \alpha}$ বা, $v \sin^2 \alpha-g t \sin \alpha=-v \cos^2 \alpha$ বা, v( $\left.\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha\right)=\mathrm{gt} \sin \alpha$ বা, $\mathrm{v}=\mathrm{gt} \sin \alpha$ বা, $\mathrm{t}=\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{g} \sin \alpha}$ $\therefore \mathrm{t}=\frac{\mathrm{vcosec} \alpha}{\mathrm{g}}$ (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একটি টাওয়ারের চূড়া হতে একখণ্ড পাথর 2 মিটার নিচে নামার পর অপর একখণ্ড পাথর চূড়ার 6 মিটার নিচ হতে ফেলে দেওয়া হলো। দৃশ্যকল্প-২: কোনো প্রক্ষিপ্ত বস্তুর দুইটি গতিপথে বৃহত্তম উচ্চতা যথাক্রমে 8m এবং 10m.

Chittagong · 2017

ক

একটি বস্তু 15m/$\sec$ বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?

উত্তর

এখানে, $u=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \alpha=30^{\circ}, \mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ∴ বস্তুটির ভ্রমণকাল $=\frac{2 \mathrm{u} \sin \alpha}{\mathrm{g}}=\frac{2 \times 15 \times \sin 30^{\circ}}{9.8}$ $=\frac{2 \times 15 \times \frac{1}{2}}{9.8}=\frac{15}{9.8}=1.53 \mathrm{~s}$ (Ans.)

খ

দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, AB টাওয়ারের B থেকে একখন্ড পাথর BC = 2 মিটার নিচে C তে নামার পর অপর একখন্ড পাথর 6 মি. নিচের D বিন্দু থেকে ফেলা হলো। ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা AB = h মি. ∴ CD = BD - BC=6 - 2 = 4 মি. AC = AB - BC = (h - 2) মি. AD = AB-BD = (h-6) মি. C বিন্দুতে প্রথম পাথর খন্ডটির বেগ হলে v , $v^2=0^2+2 g \times 2$ $\therefore \quad v=6.26$ মি./সে. ধরি দ্বিতীয় পাথরটির পতনকাল t প্রথম খন্ডটির ক্ষেত্রে, $\mathrm{h}-2=\mathrm{vt}+\frac{1}{2} \mathrm{gt}^2$ $\ldots\ldots.(i)$ দ্বিতীয় খন্ডটির ক্ষেত্রে, $h-6=\frac{1}{2} g t^2$

$$\ldots\ldots.(ii) (i) - (ii)$$

থেকে পাই, বা, $t=\frac{4}{6.26} \quad \therefore t=0.64$ সে. v ও t এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই, $h-6=\frac{1}{2} \times 9.8 \times(0.64)^2$ বা, h = 6+2 ∴h = ৪ মি. (Ans.)

গ

দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, $R=16 \sqrt{5}$

উত্তর

একই গতিবে গে নিক্ষিপ্ত দুইটি প্রক্ষেপকের আনুভূমিক পাল্লার মান একই হবে যদি একটির নিক্ষেপণ কোণ $\alpha$ এবং অপরটির (90°-$\alpha )$ হয়। এক্ষেত্রে, ধরি, নিক্ষেপণ বেগ = u ∴ $\alpha$ কোণে নিক্ষিপ্ত প্রক্ষেপকের সর্বোচ্চ উচ্চতা, $h=\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2 g}$ $\therefore \frac{\mathrm{u}^2 \sin^2 \alpha}{2 \mathrm{~g}}=8$ $\ldots\ldots. (i)$ এবং (90°- $\alpha)$ কোণে নিক্ষিপ্ত প্রক্ষেপকের সর্বোচ্চ উচ্চতা, $\mathrm{h}^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^2 \sin^2\left(90^{\circ}-\alpha\right)}{2 \mathrm{~g}}$ $\therefore \frac{\mathrm{u}^2 \cos^2 \alpha}{2 \mathrm{~g}}=10$ $\ldots\ldots (ii)$ আবার, আনুভূমিক পাল্লা $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \alpha}{\mathrm{g}}$ এখন, (i) ও (ii) গুণ করে পাই, $\frac{\mathrm{u}^4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{4 \mathrm{~g}^2}=80$ বা, $\frac{\mathrm{u}^4(\sin \alpha \cos \alpha)^2}{4 \mathrm{~g}^2}=80$ বা, $\frac{\frac{1}{4} u^4(2 \sin \alpha \cos \alpha)^2}{4 \mathrm{~g}^2}=80$ বা, $\frac{\mathrm{u}^4(\sin 2 \alpha)^2}{16 \mathrm{~g}^2}=80$ বা, $\left(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \alpha}{\mathrm{g}}\right)^2=1280$ বা, $\mathrm{R}^2=1280$ $\therefore \mathrm{R}=16 \sqrt{5}$ (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো