Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বেগে প্রক্ষিপ্ত একটি বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতা [গণিত] . দেখাও যে, বস্তুটিকে [গণিত] বিন্দু হতে নিক্ষেপ করা হলে উহা [গণিত] উচ্চতা অতিক্রম করতে পারবে যদি [গণিত] হয়।

উত্তর: [চিত্র] গ [গণিত] এবং [গণিত] হতে, [গণিত] বা, [গণিত] দেওয়া আছে, নিক্ষেপ বেগ, [গণিত] ধরি, বস্তুটির নিক্ষেপণ কোণ [গণিত] এবং t সময় পর বস্তুটি AB উচ্চতা অতিক্রম করবে। [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] [(i) নং হতে মান বসিয়ে] বা, [গণিত] . বা, [গণিত] এর দ্বিঘাত সমীকরণ। প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্য এর সমান অথবা বৃহত্তর হবে। অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] , যা গ্রহণযোগ্য নয়। [গণিত] বা , [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] বিন্দু হতে নিক্ষিপ্ত বস্তুটি [গণিত] উচ্চতা অতিক্রম করবে যদি [গণিত] হয় । (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি · সৃজনশীল

বেগে প্রক্ষিপ্ত একটি বস্তুর সর্বোচ্চ উচ্চতা . দেখাও যে, বস্তুটিকে …

উদ্দীপক

question image

উত্তর

uu ও বেগ দুইটির মান সমান হনে অর্থাৎ u=vu=v লব্ধির দিক, tan⁡θ=vsin⁡αu+vcos⁡α\tan \theta=\frac{v \sin \alpha}{u+v \cos \alpha} =usin⁡αu+ucos⁡α=sin⁡α1+cos⁡α=2sin⁡α2cos⁡α22cos⁡2α2=tan⁡α2\begin{aligned} & =\frac{u \sin \alpha}{u+u \cos \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} \\ & =\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}=\tan \frac{\alpha}{2}\end{aligned} ∴θ=α2\therefore \quad \theta=\frac{\alpha}{2}. অর্থাৎ সমমানের দুইটি বেগের নব্পি, বেগ দুইটির অন্তর্গত কোণকে সমদ্মিখন্ডিত করে। (দেখানো হলো)

উত্তর

এখানে, সর্বোচ্চ উচ্চতা = H B বিন্দু হতে pp মিটার নিচে নামার পর বেগ =v=v ∴v2=02+2gp\therefore \quad \mathrm{v}^2=0^2+2 \mathrm{gp} বা, v2=2gpv^2=2 \mathrm{gp} বা, v=2gp{\mathrm{v}}=\sqrt{2 \mathrm{gp}}………..(1)\ldots\ldots\ldots..(1) আবার, ধরি, ১ম বস্তু ও ২য় বস্তুর ক্ষেত্রে tt সময় পর ভূমিতে পৌছে। ১ম বস্মুর ক্ষেত্রে, (h−p)(\mathrm{h}-\mathrm{p}) দূরত্ত নামার বেলায় আদিবেগ =v=v, সময় =t=t ∴h−p=vt+12gt2\therefore \quad h-p=v t+\frac{1}{2} g t^2 বা, h−p=2gpt+12gt2h-p=\sqrt{2 g p} t+\frac{1}{2} g t^2.………..(2)\ldots\ldots\ldots..(2) ২য় বস্তুর ক্ষেত্রে, ( h−q\mathrm{h}-\mathrm{q} ) দূরত্ব নামার বেলায় আদিবেগ =0=0, সময় =t=\mathrm{t} ∴h−q=0+12gt2\therefore \mathrm{h}-\mathrm{q}=0+\frac{1}{2} \mathrm{gt}^2 বা, h−q=12gt2h-q=\frac{1}{2} g t^2………..(3)\ldots\ldots\ldots..(3) সমীকরণ (2)(2) ও (3)(3) হতে পাই, h−p=2gpt+h−qh-p=\sqrt{2 g p} t+h-q বা, q−p=2gptq-p=\sqrt{2 g p t} বা, (q−p)2=2gtt2(q-p)^2=2 \mathrm{gtt}^2 বা, t2=(q−p)22gp\mathrm{t}^2=\frac{(\mathrm{q}-\mathrm{p})^2}{2 \mathrm{gp}} বা, 12gt2=(q−p)24p\frac{1}{2} g t^2=\frac{(q-p)^2}{4 p}………..(4)\ldots\ldots\ldots..(4) (4)(4) এর মান (3)(3) এ বসিয়ে পাই, ∴h−q=(q−p)24p\therefore \quad h-q=\frac{(q-p)^2}{4 p} বা, h=q+(q−p)24p=4pq+q2−2pq+p24ph=q+\frac{(q-p)^2}{4 p}=\frac{4 p q+q^2-2 p q+p^2}{4 p} বা, h=p2+2pq+q24ph=\frac{p^2+2 p q+q^2}{4 p} বা, h=(p+q)24ph=\frac{(p+q)^2}{4 p} বা, 4ph=(p+q)24 p h=(p+q)^2 ∴(p+q)2=4ph\therefore \quad(p+q)^2=4 p h. (দেখানো হলো)

উত্তর

question image গ △ABCএAB=h\triangle \mathrm{ABC} এ \mathrm{AB}=\mathrm{h} এবং AC=d\mathrm{AC}=\mathrm{d} △ABC\triangle \mathrm{ABC} হতে, BC2=AC2+AB2\mathrm{BC}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{AB}^2 বা, BC2=d2+h2\mathrm{BC}^2=\mathrm{d}^2+\mathrm{h}^2 ∴BC=h2+d2\therefore \quad \mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{h}^2+\mathrm{d}^2} দেওয়া আছে, নিক্ষেপ বেগ, ums−1\mathrm{um} \mathrm{s}^{-1} ∴H=u22 g∴u2=2gH\begin{array}{ll}\therefore & \mathrm{H}=\frac{\mathrm{u}^2}{2 \mathrm{~g}} \therefore & \mathrm{u}^2=2 \mathrm{gH}\end{array} ধরি, বস্তুটির নিক্ষেপণ কোণ α\alpha এবং t সময় পর বস্তুটি AB উচ্চতা অতিক্রম করবে। ∴d=ucos⁡αt\therefore \quad \mathrm{d}=\mathrm{u} \cos \alpha \mathrm{t} বা, t=ducos⁡αt=\frac{d}{u \cos \alpha} এবং h=usin⁡αt−12gt2h=u \sin \alpha t-\frac{1}{2} g t^2 বা, h=usin⁡α⋅dusec⁡α−12g(dusec⁡α)2h=u \sin \alpha \cdot \frac{d}{u} \sec \alpha-\frac{1}{2} g\left(\frac{d}{u} \sec \alpha\right)^2 ∴h=dtan⁡α−12 g d2u2sec⁡2α\therefore \quad \mathrm{h}=\mathrm{d} \tan \alpha-\frac{1}{2} \mathrm{~g} \frac{\mathrm{~d}^2}{\mathrm{u}^2} \sec^2 \alpha এখন, h=dtan⁡α−12 g d22gH(1+tan⁡2α)\mathrm{h}=\mathrm{d} \tan \alpha-\frac{1}{2} \mathrm{~g} \frac{\mathrm{~d}^2}{2 \mathrm{gH}}\left(1+\tan^2 \alpha\right) [(i) নং হতে মান বসিয়ে] বা, 4 dHtan⁡α−d2−d2tan⁡2α=4hH4 \mathrm{~d} \mathrm{H} \tan \alpha-\mathrm{d}^2-\mathrm{d}^2 \tan^2 \alpha=4 \mathrm{hH} ∴d2tan⁡2α−4 dHtan⁡α+(4HH+d2)=0\therefore \quad \mathrm{d}^2 \tan^2 \alpha-4 \mathrm{~d} \mathrm{H} \tan \alpha+\left(4 \mathrm{HH}+\mathrm{d}^2\right)=0. বা, tan⁡α\tan \alpha এর দ্বিঘাত সমীকরণ। প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্য এর সমান অথবা বৃহত্তর হবে। অর্থাৎ, (−4dH)2−4 d2(4hH+d2)≥0(-4 \mathrm{dH})^2-4 \mathrm{~d}^2\left(4 \mathrm{hH}+\mathrm{d}^2\right) \geq 0 বা, 16 d2H2−16 d2hH−4 d4≥016 \mathrm{~d}^2 \mathrm{H}^2-16 \mathrm{~d}^2 h \mathrm{H}-4 \mathrm{~d}^4 \geq 0 বা, 4H2−4hH−d2≥04 \mathrm{H}^2-4 \mathrm{hH}-\mathrm{d}^2 \geq 0 বা, (2H)2−2.2H.h+h2≥h2+d2(2 H)^2-2.2 H . h+h^2 \geq h^2+d^2 বা, (2H−h)2≥h2+d2(2 H-h)^2 \geq h^2+d^2 বা, 2H−h≥±h2+d22 \mathrm{H}-\mathrm{h} \geq \pm \sqrt{\mathrm{h}^2+\mathrm{d}^2} বা, 2H≥h±h2+d22 \mathrm{H} \geq \mathrm{h} \pm \sqrt{\mathrm{h}^2+\mathrm{d}^2} এখন, h−h2+d2<0\mathrm{h}-\sqrt{\mathrm{h}^2+\mathrm{d}^2}<0, যা গ্রহণযোগ্য নয়। ∴2H≥h+h2+d2\therefore \quad 2 \mathrm{H} \geq h+\sqrt{\mathrm{h}^2+\mathrm{d}^2} বা , 2H≥h+BC\quad 2 \mathrm{H} \geq \mathrm{h}+\mathrm{BC} ∴BC+h≤2H\therefore \quad \mathrm{BC}+\mathrm{h} \leq 2 \mathrm{H} অর্থাৎ, CC বিন্দু হতে নিক্ষিপ্ত বস্তুটি ABAB উচ্চতা অতিক্রম করবে যদি BC+h≤2H\mathrm{BC}+\mathrm{h} \leq 2 \mathrm{H} হয় । (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একজন মোটর সাইকেল আরোহী 1515 মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে 5 m/sec⁡25\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে অশ্বারোহীর পশ্চাতে মোটর সাইকেল চালাতে লাগল। অশ্বারোহী 12.5 m/sec⁡12.5\mathrm{~m/\sec} সমবেগে যাচ্ছিল। দৃশ্যকল্প-২: 6060 মিটার উচ্চ স্তম্ভের শীর্ষ হতে আনুভূমিকের সাথে 30°30° কোণে 100 m/sec⁡100\mathrm{~m/\sec} আদিবেগে একটি বস্তু নিক্ষিপ্ত হলো।

Jessore · 2017

ক
একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?

দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

S1 = {1, 3, 4, 5, 7, 9, 20} S2=12,13,14,15,16,17,18S^2 = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}

Sylhet · 2017

ক
একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
খ
S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?
গ
S1 এর উপাদানগুলির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?

S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

চিত্রে O বিন্দু হতে বায়ুশূন্য স্থানে প্রক্ষিপ্ত একটি বস্তুর গতিপথ দেখানো হয়েছে । question image

Sylhet · 2017

ক
কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}
খ
প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর
গ
দেখাও যে, vgcosec⁡⁡α\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{g}} \operatorname{\cosec} \alpha সময় পরে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি তার প্রক্ষেপণ g দিকের সাথে লম্বভাবে চলবে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একটি টাওয়ারের চূড়া হতে একখণ্ড পাথর 2 মিটার নিচে নামার পর অপর একখণ্ড পাথর চূড়ার 6 মিটার নিচ হতে ফেলে দেওয়া হলো। দৃশ্যকল্প-২: কোনো প্রক্ষিপ্ত বস্তুর দুইটি গতিপথে বৃহত্তম উচ্চতা যথাক্রমে 8m এবং 10m.

Chittagong · 2017

ক
একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, R=165R=16 \sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?

একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে [গণিত] ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিকS1 এর উপাদানগুলির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হএকটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভদেখাও যে, [গণিত] সময় পরে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি তার প্রক্ষেপণ g দিকের সাথে লম্বভাবে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ করকোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবদৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয়একটি বস্তু 15m/ [গণিত] বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রম

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন