Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

একখানা রেলগাড়ি A স্টেশন হতে ছেড়ে D স্টেশনে গিয়ে থামে। গাড়িখানা AB অংশ সমত্বরণে, CD অংশ সমমন্দনে এবং [গণিত] অংশ সমবেগে চলে। প্রমাণ কর যে, উহার গড়বেগ ও সর্বোচ্চ বেগের অনুপাত [গণিত] .

উত্তর: মনে করি, স্টেশন দুইটির দূরত্ব = d, ধরি, রেলগাড়ি [গণিত] অংশ [গণিত] ত্বরণে [গণিত] সে. চলে, ভেখানে লেষ বেগ v হয়। [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] ধরি, [গণিত] গতিবেগে রেলগাড়িটি [গণিত] অংশ [গণিত] সেকেন্ডে চলে [গণিত] শেষ [গণিত] অংশ পথের জন্য গাড়িটি [গণিত] সমমন্দনে [গণিত] সেকেন্ড ধরে চলে। [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] গড় বেগ [গণিত] গড়বেগ : সর্বোচ্চ বেগ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি · সৃজনশীল

একখানা রেলগাড়ি A স্টেশন হতে ছেড়ে D স্টেশনে গিয়ে থামে। গাড়িখানা …

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : আনুভূমিকের সাথে α\alpha কোনে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তু নিক্ষেপণ বিন্দু হতে যথাক্রমে q ও p দূরত্বে অবস্থিত p ও q উচ্চতাবিশিষ্ট দুইটি দেয়াল কোনো রকমে অতিক্রম করে। দৃশ্যকল্প-২ question image AB=1mADCD=1nAD\mathrm{AB}=\frac{1}{m} \mathrm{AD} \quad \mathrm{CD}=\frac{1}{n} \mathrm{AD}

Sylhet · 2019

উত্তর

question image মনে করি, সমান বেগদ্বয় u এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha। বেগদ্বয়ের লব্ধি w\mathrm{w} যদি একটি বেগের সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে, tan⁡θ=usin⁡αu+ucos⁡α\tan \theta=\frac{u \sin \alpha}{u+u \cos \alpha} =sin⁡(2×α2)1+cos⁡(2×α2)=\frac{\sin \left(2 \times \frac{\alpha}{2}\right)}{1+\cos \left(2 \times \frac{\alpha}{2}\right)} =2sin⁡α2cos⁡α22cos⁡2α2=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^{2} \frac{\alpha}{2}} =sin⁡α2cos⁡α2=tan⁡α2=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos^{\frac{\alpha}{2}}}=\tan \frac{\alpha}{2} ∴θ=α2\therefore \theta=\frac{\alpha}{2} অতএব, লব্ধি বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমান দুইভারে বিভক্ত করে। (দেখানো হলো)

উত্তর

question image উদ্দীপকের তথ্যনুসারে চিত্র অঙ্কন করে পাই, ধরি, প্রক্ষেপকের নিক্ষেপণ কোণ = α\alpha এবং অনুভূমিক পাল্লা =R=\mathrm{R} এখন, q=ptan⁡α(1−pR)\mathrm{q}=\mathrm{p} \tan \alpha\left(1-\frac{p}{R}\right) ব্যবহার করে পাই, q=ptan⁡α(1−PR)……(1)\mathrm{q}=\mathrm{p} \tan \alpha\left(1-\frac{P}{R}\right) \ldots\ldots (1) p=qtan⁡α(1−qR)……(2)\mathrm{p}=\mathrm{q} \tan \alpha\left(1-\frac{q}{R}\right) \ldots\ldots (2) (1)নং কে (২) নং দ্বারা ভাগ করে পাই, qp=pq1−pR1−qR\frac{q}{p}=\frac{p}{q} \frac{1-\frac{p}{R}}{1-\frac{q}{R}} বা, q2p2=R−pR−q\frac{q^{2}}{p^{2}}=\frac{R-p}{R-q} বা, P2R−P3=q2R−q3\mathrm{P}^{2} \mathrm{R}-\mathrm{P}^{3}=\mathrm{q}^{2} \mathrm{R}-\mathrm{q}^{3} বা, R(p2−q2)=p3−q3R\left(p^{2}-q^{2}\right)=p^{3}-q^{3} বা, R=p3−q3p2−q2=(p−q)(p2+pq+q2)(p+q)(p−q)\mathrm{R}=\frac{p^{3}-q^{3}}{p^{2}-q^{2}}=\frac{(p-q)\left(p^{2}+p q+q^{2}\right)}{(p+q)(p-q)} বা, R=p2+pq+q2p+q\mathrm{R}=\frac{p^{2}+p q+q^{2}}{p+q} বা, R(p+q)=p2+pq+q2R(p+q)=p^{2}+p q+q^{2} অতএব বস্তুটির অনুভূমিক পাল্লা R(p+q)=p2+pq+q2\mathrm{R}(\mathrm{p}+\mathrm{q})=\mathrm{p}^{2}+\mathrm{pq}+\mathrm{q}^{2} (দেখানো হলো)

উত্তর

মনে করি, স্টেশন দুইটির দূরত্ব = d, ধরি, রেলগাড়ি dm\frac{d}{m} অংশ ff ত্বরণে t1\mathrm{t}_{1} সে. চলে, ভেখানে লেষ বেগ v হয়। ∴v=ft1\therefore \mathrm{v}=\mathrm{ft}_{1} ∣←……d……→∣dmbd−(dm+dn)cdnD\frac{|\leftarrow \ldots \ldots d\ldots \ldots \rightarrow |}{\quad \frac{d}{m} \quad b \quad d - (\frac{d}{m}+\frac{d}{n})c\frac{d}{n}\quad D} বা, t1=vf\mathrm{t}_{1}=\frac{v}{f} এবং dm=12ft12=12vt1…(1)\frac{d}{m}=\frac{1}{2} \mathrm{ft}_{1}^{2}=\frac{1}{2} \mathrm{vt}_{1} \ldots (1) ধরি, v\mathrm{v} গতিবেগে রেলগাড়িটি d−(dm+dn)\mathrm{d}-\left(\frac{d}{m}+\frac{d}{n}\right) অংশ t2\mathrm{t}_{2} সেকেন্ডে চলে ∴d−(dm+dn)=vt2\therefore \mathrm{d}-\left(\frac{d}{m}+\frac{d}{n}\right)=\mathrm{vt}_{2} শেষ dn\frac{d}{n} অংশ পথের জন্য গাড়িটি f1\mathrm{f}_{1} সমমন্দনে t3\mathrm{t}_{3} সেকেন্ড ধরে চলে। ∴0=v−f1t3\therefore 0=\mathrm{v}-\mathrm{f}_{1} \mathrm{t}_{3} বা, t3=vf1\mathrm{t}_{3}=\frac{v}{f_{1}} এবং dn=vt3−12f1t32=vt3−12vt3\frac{d}{n}=\mathrm{vt}_{3}-\frac{1}{2} \mathrm{f}_{1} \mathrm{t}_{3}{ }^{2}=\mathrm{vt}_{3}-\frac{1}{2} \mathrm{vt}_{3} =12vt3=\frac{1}{2} \mathrm{vt}_{3} গড় বেগ =dm+d−(dm+dn)+dnt1+t2+t3=\frac{\frac{d}{m}+d-\left(\frac{d}{m}+\frac{d}{n}\right)+\frac{d}{n}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}} =d2dmv+(d−dm−dn)v+2dnv=\frac{d}{\frac{2 d}{m v}+\frac{\left(d-\frac{d}{m}-\frac{d}{n}\right)}{v}+\frac{2 d}{n v}} =vdd{2m+1−1m−1n+2n)=v1+1m+1n=\frac{v d}{d\left\{\frac{2}{m}+1-\frac{1}{m}-\frac{1}{n}+\frac{2}{n}\right)}=\frac{v}{1+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}} ∴ গড়বেগ  সর্বোচ্চ বেগ =v1+1m+1nv=11+1m+1n\therefore \frac{\text{ গড়বেগ }}{\text{ সর্বোচ্চ বেগ }}=\frac{\frac{v}{1+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}{v}=\frac{1}{1+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}} ∴\therefore গড়বেগ : সর্বোচ্চ বেগ =1:(1+1m+1n)=1:\left(1+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 9: সমতলে বস্তুকনার গতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একজন মোটর সাইকেল আরোহী 1515 মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা হতে 5 m/sec⁡25\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে অশ্বারোহীর পশ্চাতে মোটর সাইকেল চালাতে লাগল। অশ্বারোহী 12.5 m/sec⁡12.5\mathrm{~m/\sec} সমবেগে যাচ্ছিল। দৃশ্যকল্প-২: 6060 মিটার উচ্চ স্তম্ভের শীর্ষ হতে আনুভূমিকের সাথে 30°30° কোণে 100 m/sec⁡100\mathrm{~m/\sec} আদিবেগে একটি বস্তু নিক্ষিপ্ত হলো।

Jessore · 2017

ক
একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?

দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে 7 m/sec⁡27\mathrm{~m/\sec}^2 ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

S1 = {1, 3, 4, 5, 7, 9, 20} S2=12,13,14,15,16,17,18S^2 = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}

Sylhet · 2017

ক
একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
খ
S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?
গ
S1 এর উপাদানগুলির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?

S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হতে 3 এর গুণিতক সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

একটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

চিত্রে O বিন্দু হতে বায়ুশূন্য স্থানে প্রক্ষিপ্ত একটি বস্তুর গতিপথ দেখানো হয়েছে । question image

Sylhet · 2017

ক
কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}
খ
প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর
গ
দেখাও যে, vgcosec⁡⁡α\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{g}} \operatorname{\cosec} \alpha সময় পরে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি তার প্রক্ষেপণ g দিকের সাথে লম্বভাবে চলবে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবর u এর লম্বাংশের পরিমাণ u2 হলে দেখাও যে, u=u22−u12+2u1u2u=\sqrt{u_2^2-u_1^2+2 u_1 u_2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একটি টাওয়ারের চূড়া হতে একখণ্ড পাথর 2 মিটার নিচে নামার পর অপর একখণ্ড পাথর চূড়ার 6 মিটার নিচ হতে ফেলে দেওয়া হলো। দৃশ্যকল্প-২: কোনো প্রক্ষিপ্ত বস্তুর দুইটি গতিপথে বৃহত্তম উচ্চতা যথাক্রমে 8m এবং 10m.

Chittagong · 2017

ক
একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, R=165R=16 \sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয় তবে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?

একটি বস্তু 15m/sec⁡\sec বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রমণকাল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বস্তুটি স্তম্ভ হতে কত দূরে ভূমিকে আঘাত করবে?দৃশ্যকল্প-১ হতে মোটর সাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে [গণিত] ত্বরণে চলতে থাকলে তৃতীয় সেকেন্ডে কত দূরত্ব অতিকS1 এর উপাদানগুলির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।S1 এবং S2 হতে একটি করে সংখ্যা দৈবভাবে বাছাই করা হলে S1 হতে মৌলিক সংখ্যা এবং S2 হএকটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হলে 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভদেখাও যে, [গণিত] সময় পরে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি তার প্রক্ষেপণ g দিকের সাথে লম্বভাবে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা p, q এর মাধ্যমে প্রকাশ করকোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত u1 ও u2 মানের দুইটি বেগের লব্ধির মান u এবং u1 এর দিক বরাবদৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ হতে যদি দুইটি পাথরই স্থির অবস্থা হতে পড়ে এবং একই সাথে ভূমিতে পতিত হয়একটি বস্তু 15m/ [গণিত] বেগে আনুভূমিকের সাথে 30° কোণে নিক্ষিপ্ত হলে বস্তুটির ভ্রম

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন