Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ও [গণিত] ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হলে [গণিত] ও [গণিত] ঘটনাদ্বয় কি স্বাধীন? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর: [গণিত] ও [গণিত] ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হলে [গণিত] ও [গণিত] ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হবে। যেহেতু [গণিত] ও [গণিত] দুটি পরস্পর স্বাধীন। সুতরাং, [গণিত] . [চিত্র] ভেনচিত্র হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] ও [গণিত] ঘটনাদ্বয় পরস্পর স্বাধীন।

HSC Statistics 2nd Paper Chapter 1: সম্ভাবনা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Statistics 2nd Paper · Chapter 1: সম্ভাবনা · সৃজনশীল

ও ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হলে ও ঘটনাদ্বয় কি স্বাধীন? ব্যাখ্যা কর।

উদ্দীপক

আরিফ প্রথমবার একটি সাদা রঙের ছক্কা এবং জাহিন দ্বিতীয়বারে একটি কালো রঙের ছক্কা নিক্ষেপ করে। আরিফের ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যা =x= x ও জাহিনের ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যা =y= y দ্বারা চিহ্নিত করা হলো। আরিফ বললো যে, x=2yx=2 y ও 2x=y2 x=y ঘটনাদ্বয়কে যথাক্রমে AA ও BB ঘটনা দ্বারা চিহ্নি করা হলে AA ও BB ঘটনাদ্বয় ঘটার সম্ভাবনা সমান।

কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ · 2025

উত্তর

দুটি ঘটনা অধীন হওয়ার শর্ত হলো : (i) A∩B≠∅\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \neq \varnothing এবং (ii) P(A∩B)=P(A)×P(B)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})

উত্তর

AA ও BB ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হলে A‾\overline{\mathbf{A}} ও B‾\overline{\mathbf{B}} ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হবে। যেহেতু AAও BB দুটি পরস্পর স্বাধীন। সুতরাং, P(A∩B)=P(A)×P(B)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B}). question image ভেনচিত্র হতে পাই, B‾=(A∩B‾)∪(A‾∩B‾)\overline{\mathrm{B}}=(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}}) \cup(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}}) বা, P(B‾)=P[(A∩B‾)∪(A‾∩B‾)]\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=\mathrm{P}[(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}}) \cup(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}})] =P(A∩B‾)+P⋅(A‾∩B‾)]=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})+\mathrm{P} \cdot(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}})]  বা, P(A‾∩B‾)=P(B‾)−P(A∩B‾)=P(B‾)−P(A)×P(B‾)=P(B‾)[1−P(A)]=P(B‾)×P(A‾)][∵P(A)+P(A‾)=1]∴P(A‾∩B‾)=P(A‾)×P(B‾)\begin{aligned} \text{ বা, } \quad \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}}) & =\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}}) \\ & =\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}}) \\ & =\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})[1-\mathrm{P}(\mathrm{A})] \\ & =\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}}) \times \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})] \quad[\because \mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=1] \\ \therefore \quad \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}}) & =\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})\end{aligned} অর্থাৎ, A‾\overline{\mathbf{A}} ও B‾\overline{\mathbf{B}} ঘটনাদ্বয় পরস্পর স্বাধীন।

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, আরিফের ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যা =x= x এবং জাহিনের ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যা =y= y দুটি নিরক্ষেপ ছক্কা নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্রটি নিচে উল্লেখ করা হলো: question image ∴ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S)=62=36n(S)=6^2=36 টি। ধরি, C=x≥5C=x \geq 5 হওয়ার ঘটনা। CC ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) ∴n(C)=12∴P(C)=P(x≥5)=n(C)n(S)=1236=13\begin{array}{ll}\therefore & n(C)=12 \\ \therefore & P(C)=P(x \geq 5)=\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\end{array} এবং D=y≤5D=y \leq 5 হওয়ার ঘটনা। DD ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) ∴n(D)=3\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{D})=3 ∴P(D)=P(y≤5)=n(D)n(S)=3036=56\therefore \quad P(D)=P(y \leq 5)=\frac{n(D)}{n(S)}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6} সুতরাং, P(C)=P(x≥5)=13\mathrm{P}(\mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{x} \geq 5)=\frac{1}{3} এবং P(D)=P(y≤5)=56\mathrm{P}(\mathrm{D})=\mathrm{P}(\mathrm{y} \leq 5)=\frac{5}{6}

উত্তর

ধরি, A=(x=2y)A=(x=2 y) হওয়ার ঘটনা। AA ঘটনার অনুকূল, নমুনা বিন্দুগুলো হলো: (2,1),(4,2),(6,3)(2, 1), (4, 2), (6, 3) ∴n(A)=3∴P(A)=P(x=2y)=n(A)n(S)=336=112\begin{aligned} & \therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{A})=3 \\ & \therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}(\mathrm{x}=2 \mathrm{y})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\end{aligned} আবার, B=(2x=y)B=(2 x=y) হওয়ার ঘটনা। BB ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: (1,2),(2,4),(3,6)(1, 2), (2, 4), (3, 6) ∴n(B)=3∴P(B)=P(2x=y)=n(B)n(S)=336=112\begin{array}{ll}\therefore & n(B)=3 \\ \therefore & P(B)=P(2 x=y)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\end{array} এখানে, P(A)=P(B)P(A) = P(B) অতএব, আরিফের বক্তব্য যথার্থ ছিল।
HSCStatistics 2nd PaperChapter 1: সম্ভাবনাকুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক
নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?
খ
P(B)+P(Bˉ)=1P(B)+P(\bar{B})=1 ব্যাখ্যা কর।
গ
কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক
নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?
খ
P(B)+P(Bˉ)=1P(B)+P(\bar{B})=1 ব্যাখ্যা কর।
গ
কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলো। সে বললো মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনান্বয় স্বাধীন।

Jessore · 2025

ক
পরীক্ষণের সংজ্ঞা দাও।
খ
"সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান এক"- ব্যাখ্যা কর।
গ
উদ্দীপক হতে মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলো। সে বললো মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনান্বয় স্বাধীন।

Jessore · 2025

ক
পরীক্ষণের সংজ্ঞা দাও।
খ
"সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান এক"- ব্যাখ্যা কর।
গ
উদ্দীপক হতে মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ধান গবেষণা ইনস্টিটিউট দুটি সার XX ও YY এর প্রয়োগের ফলাফল নিরূপণ করে নিম্নরূপ: P(X)=0.33,P(Y)=0.75\mathrm{P}(\mathrm{X})=0.33, \mathrm{P}(\mathrm{Y})=0.75 এবং P(X∪Y)=0.83\mathrm{P}(\mathrm{X} \cup \mathrm{Y})=0.83.

Dhaka · 2025

ক
সম্ভাবনার সংজ্ঞা দাও।
খ
সম্ভাবনার মান কি সর্বদা । হতে ছোট হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।
গ
সার দুটি একত্রে প্রয়োগের ফলাফলের সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
P(X/Y)P(X/Y), এবং P(Y/X)P(Y/X) এর মান সমান হবে কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ধান গবেষণা ইনস্টিটিউট দুটি সার XX ও YY এর প্রয়োগের ফলাফল নিরূপণ করে নিম্নরূপ: P(X)=0.33,P(Y)=0.75\mathrm{P}(\mathrm{X})=0.33, \mathrm{P}(\mathrm{Y})=0.75 এবং P(X∪Y)=0.83\mathrm{P}(\mathrm{X} \cup \mathrm{Y})=0.83.

Dhaka · 2025

ক
সম্ভাবনার সংজ্ঞা দাও।
খ
সম্ভাবনার মান কি সর্বদা । হতে ছোট হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।
গ
সার দুটি একত্রে প্রয়োগের ফলাফলের সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
P(X/Y)P(X/Y), এবং P(Y/X)P(Y/X) এর মান সমান হবে কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

একটি পরীক্ষণে শিক্ষার্থীরা একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা টস করে-জানালো যে, মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

Dhaka · 2025

ক
নমুনা বিন্দুর সংজ্ঞা লেখ।
খ
"স্বাধীন ঘটনা অবর্জনশীল হয়"- ব্যাখ্যা কর।
গ
মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
শিক্ষার্থীদের মন্তব্যের যথার্থতা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

একটি পরীক্ষণে শিক্ষার্থীরা একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা টস করে-জানালো যে, মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

Dhaka · 2025

ক
নমুনা বিন্দুর সংজ্ঞা লেখ।
খ
"স্বাধীন ঘটনা অবর্জনশীল হয়"- ব্যাখ্যা কর।
গ
মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
শিক্ষার্থীদের মন্তব্যের যথার্থতা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন · Jessore

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক
নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?
খ
P(B)+P(Bˉ)=1P(B)+P(\bar{B})=1 ব্যাখ্যা কর।
গ
কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন · Jessore

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক
নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?
খ
P(B)+P(Bˉ)=1P(B)+P(\bar{B})=1 ব্যাখ্যা কর।
গ
কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন · Jessore

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক
নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?
খ
P(B)+P(Bˉ)=1P(B)+P(\bar{B})=1 ব্যাখ্যা কর।
গ
কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন · Jessore

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক
নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?
খ
P(B)+P(Bˉ)=1P(B)+P(\bar{B})=1 ব্যাখ্যা কর।
গ
কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।উদ্দীপক হতে মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।[গণিত] , এবং [গণিত] এর মান সমান হবে কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য করসার দুটি একত্রে প্রয়োগের ফলাফলের সম্ভাবনা নির্ণয় কর।শিক্ষার্থীদের মন্তব্যের যথার্থতা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।[গণিত] ব্যাখ্যা কর।[গণিত] ব্যাখ্যা কর।[গণিত] ব্যাখ্যা কর।নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন