Chapter 1: সম্ভাবনা Statistics 2nd Paper

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক

নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?

উত্তর

কোনো দৈব পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে।

খ

$P(B)+P(\bar{B})=1$ ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

$\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1$ ব্যাখ্যা: মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে একটি ঘটনা। নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা, $n (S) = n$ B ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n (B) = m$ তাহলে B ঘটনার প্রতিকূল উপাদান সংখ্যা, $n(\bar{B})=n-m$ $\therefore P(B)=\frac{m}{n}$ $P(\bar{B})=\frac{n-m}{n}[\because P(\bar{B})=B$ ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ] $\therefore P(B)+P(\bar{B})=\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n}$ $=\frac{m+n-m}{n}=\frac{n}{n}=1 .$

গ

কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

পাত্রে সবুজ বল = 7 টি পাত্রে সাদা বল = ১ টি পাত্রে মোট বল = 12 টি পাত্র হতে নিলু দুটি বল মোট = ${ }^{12} \mathrm{C}_2$ = 66টি উপায়ে নির্বাচন করতে পারবে। $\therefore$ কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = P (কমপক্ষে একটি বল সবুজ) = P (একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা অথবা দুটি বল সবুজ) = P (একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা) + P (দুটি বল সবুজ) $=\frac{{ }^7 C_1 \times{ }^5 C_1}{{ }^{12} C_2}+\frac{{ }^7 C_2}{{ }^{12} C_2}=\frac{7 \times 5}{66}+\frac{21}{66}$ $=\frac{35}{66}+\frac{21}{66}=\frac{35+21}{66}=\frac{56}{66}=\frac{28}{33}$ সুতরাং, কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{28}{33}$.

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

যে মনে করি, A = বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা এবং B = বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{A})$ = P [বলদ্বয় একই রঙের। = P [বলদ্বয় সবুজ অথবা বলদ্বয় সাদা। = P [বলদ্বয় সবুজ] + P [বলদ্বয় সাদা] $=\frac{{ }^7 C_2}{{ }^{12} C_2}+\frac{{ }^5 C_2}{{ }^{12} C_2}=\frac{21}{66}+\frac{10}{66}=\frac{21+10}{66}=\frac{31}{66}$ এবং, P(B) = P [বলদ্বয় ভিন্ন রঙের। = P [একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা] $=\frac{{ }^7 C_1 \times{ }^5 C_1}{{ }^{12} C_2}=\frac{7 \times 5}{66}=\frac{35}{66}$ এখন, A ও B ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা হবে, যদি $\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$ হয়। এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{31}{66}+\frac{35}{66}=\frac{31+35}{66}=\frac{66}{66}=1$ সুতরাং, A ও B ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা। অর্থাৎ, বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা এবং ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক

নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?

উত্তর

কোনো দৈব পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে।

খ

$P(B)+P(\bar{B})=1$ ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

$\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1$ ব্যাখ্যা: মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে একটি ঘটনা। নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা, $n (S) = n$ B ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n (B) = m$ তাহলে B ঘটনার প্রতিকূল উপাদান সংখ্যা, $n(\bar{B})=n-m$ $\therefore P(B)=\frac{m}{n}$ $P(\bar{B})=\frac{n-m}{n}[\because P(\bar{B})=B$ ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ] $\therefore P(B)+P(\bar{B})=\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n}$ $=\frac{m+n-m}{n}=\frac{n}{n}=1 .$

গ

কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

পাত্রে সবুজ বল = 7 টি পাত্রে সাদা বল = ১ টি পাত্রে মোট বল = 12 টি পাত্র হতে নিলু দুটি বল মোট = ${ }^{12} \mathrm{C}_2$ = 66টি উপায়ে নির্বাচন করতে পারবে। $\therefore$ কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = P (কমপক্ষে একটি বল সবুজ) = P (একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা অথবা দুটি বল সবুজ) = P (একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা) + P (দুটি বল সবুজ) $=\frac{{ }^7 C_1 \times{ }^5 C_1}{{ }^{12} C_2}+\frac{{ }^7 C_2}{{ }^{12} C_2}=\frac{7 \times 5}{66}+\frac{21}{66}$ $=\frac{35}{66}+\frac{21}{66}=\frac{35+21}{66}=\frac{56}{66}=\frac{28}{33}$ সুতরাং, কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{28}{33}$.

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

যে মনে করি, A = বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা এবং B = বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{A})$ = P [বলদ্বয় একই রঙের। = P [বলদ্বয় সবুজ অথবা বলদ্বয় সাদা। = P [বলদ্বয় সবুজ] + P [বলদ্বয় সাদা] $=\frac{{ }^7 C_2}{{ }^{12} C_2}+\frac{{ }^5 C_2}{{ }^{12} C_2}=\frac{21}{66}+\frac{10}{66}=\frac{21+10}{66}=\frac{31}{66}$ এবং, P(B) = P [বলদ্বয় ভিন্ন রঙের। = P [একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা] $=\frac{{ }^7 C_1 \times{ }^5 C_1}{{ }^{12} C_2}=\frac{7 \times 5}{66}=\frac{35}{66}$ এখন, A ও B ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা হবে, যদি $\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$ হয়। এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{31}{66}+\frac{35}{66}=\frac{31+35}{66}=\frac{66}{66}=1$ সুতরাং, A ও B ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা। অর্থাৎ, বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা এবং ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলো। সে বললো মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনান্বয় স্বাধীন।

Jessore · 2025

ক

পরীক্ষণের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কতকগুলো নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোনো একটি কাজ বা চেষ্টা পুনরাবৃত্তি করা হলে সেটিকে পরীক্ষা বা পরীক্ষণ বলে।

খ

"সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান এক"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1 দ্বারা বুঝায় ঘটনাটি নিশ্চিত ঘটনা। যে -ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। আর নিশ্চিত ঘটনার অনুকূলে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা এবং নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা সর্বদাই সমান হয়। অর্থাৎ, P (নিশ্চিত ঘটনা) = 1। আমরা জানি, সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ, সম্ভাবনার সর্বনিম্ন মান 0 এবং সর্বোচ্চ মান 1। অতএব, সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1।

গ

উদ্দীপক হতে মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরা যাক, $\mathrm{A}=$ মুদ্রার বিপরীত পিঠ পাওয়ার ঘটনা। A ঘটনার অনুকুল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HT1, HT2, HT3, HT4, HT5, HT6, TH1, TH2, TH3, TH4, TH5, TH6 $\therefore n(A)=12$ $\therefore P$ (মুদ্রায় বিপরীত শিঠ পাওয়ার) $=P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ সুতরাং মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা = $=\frac{1}{2}$. টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S হবে নিম্নরূপ: $\therefore$ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S)=24$ টি।

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

ধরা যাক, B = মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা এবং C = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, TT1, TT2, TT3, TT4, TT5, TT6 $\therefore n(B)=12$ $\therefore \mathrm{P}$ (মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার) $=\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH1, HH3, HH5, HT1, HT3, HT5, TH1, TH3, TH5, TT1, TT3, TT5 $\therefore n(C)=12$ $\therefore P$ (ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার) $=P(C)=\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ এখানে, $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$ এর অনুকৃল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH1, HH3, HH5, TT1, TT3, TT5 $\therefore n(B \cap C)=6$ $\therefore P(B \cap C)=\frac{n(B \cap C)}{n(S)}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$ এখন, $B$ ও $C$ ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে, যদি $P(B \cap C)=P(B) \times P(C)$ হয়। এখানে, $P(B) \times P(C)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(B \cap C)$ সুতরাং, B ও C ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ, মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলো। সে বললো মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনান্বয় স্বাধীন।

Jessore · 2025

ক

পরীক্ষণের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কতকগুলো নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোনো একটি কাজ বা চেষ্টা পুনরাবৃত্তি করা হলে সেটিকে পরীক্ষা বা পরীক্ষণ বলে।

খ

"সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান এক"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1 দ্বারা বুঝায় ঘটনাটি নিশ্চিত ঘটনা। যে -ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। আর নিশ্চিত ঘটনার অনুকূলে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা এবং নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা সর্বদাই সমান হয়। অর্থাৎ, P (নিশ্চিত ঘটনা) = 1। আমরা জানি, সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ, সম্ভাবনার সর্বনিম্ন মান 0 এবং সর্বোচ্চ মান 1। অতএব, সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1।

গ

উদ্দীপক হতে মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরা যাক, $\mathrm{A}=$ মুদ্রার বিপরীত পিঠ পাওয়ার ঘটনা। A ঘটনার অনুকুল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HT1, HT2, HT3, HT4, HT5, HT6, TH1, TH2, TH3, TH4, TH5, TH6 $\therefore n(A)=12$ $\therefore P$ (মুদ্রায় বিপরীত শিঠ পাওয়ার) $=P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ সুতরাং মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা = $=\frac{1}{2}$. টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S হবে নিম্নরূপ: $\therefore$ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S)=24$ টি।

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

ধরা যাক, B = মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা এবং C = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, TT1, TT2, TT3, TT4, TT5, TT6 $\therefore n(B)=12$ $\therefore \mathrm{P}$ (মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার) $=\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH1, HH3, HH5, HT1, HT3, HT5, TH1, TH3, TH5, TT1, TT3, TT5 $\therefore n(C)=12$ $\therefore P$ (ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার) $=P(C)=\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ এখানে, $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$ এর অনুকৃল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH1, HH3, HH5, TT1, TT3, TT5 $\therefore n(B \cap C)=6$ $\therefore P(B \cap C)=\frac{n(B \cap C)}{n(S)}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$ এখন, $B$ ও $C$ ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে, যদি $P(B \cap C)=P(B) \times P(C)$ হয়। এখানে, $P(B) \times P(C)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(B \cap C)$ সুতরাং, B ও C ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ, মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি পরীক্ষণে শিক্ষার্থীরা একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা টস করে-জানালো যে, মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

Dhaka · 2025

ক

নমুনা বিন্দুর সংজ্ঞা লেখ।

উত্তর

নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি ফলাফল বা উপাদানকে নমুনা বিন্দু বলে।

খ

"স্বাধীন ঘটনা অবর্জনশীল হয়"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দুটি স্বাধীন ঘটনা সর্বদা অবর্জনশীল হয়। ব্যাখ্যা : মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা যেন $\mathrm{P}(\mathrm{A}) \neq 0$; এবং $\mathrm{P}(\mathrm{B}) \neq 0$. এখন, $A$ ও $B$ ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$ হবে। যেহেতু $P(A) \neq 0$ এবং $P(B) \neq 0$ $\therefore P(A \cap B) \neq 0$ $\ldots.. (i)$ আবার, $A$ ও $B$ ঘটনা দুটি অবর্জনশীল হলে, $A \cap B \neq \varnothing$ $\therefore P(A \cap B) \neq 0$

$$\ldots.. (ii) (i)$$

ও (ii) নং সমীকরণ হতে দেখা যাছে যে, দুটি মাধীন ঘটনা সর্বদা অবর্জনশীল হয়। অর্থাৎ, মাধীন ঘটনা অবর্জনশীল হয়।

গ

মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা টস পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র S হলো নিম্নরূপ: $\therefore$ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S)=2^1 \times 6^1=2 \times 6=12$টি ধরি, $A=$ মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। A ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : H1, H3, H5 $\therefore n(A)=3$ $\therefore P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ $\therefore$ মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা, $\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{4^{\prime}}$

ঘ

শিক্ষার্থীদের মন্তব্যের যথার্থতা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর

মনে করি, $\mathrm{B}=$ মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা এবং $\mathrm{C}=$ ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : T1, T2, T3, T4, T5, T6 $\therefore n(B)=6$ $\therefore P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ আবার, C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : H2, H4, H6, T2, T4, T6 $\therefore n(C)=6$ $\therefore P(C)=\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ এখানে, B ও C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : T2, T4, T6 $\therefore n(B \cap C)=3$ $\therefore P(B \cap C)=\frac{n(B \cap C)}{n(S)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ এখন, B ও C ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হবে যদি $\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})$ হয়। এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ এবং $\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\frac{1}{4}$ $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{~B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{~B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})$ $\therefore$ A ও B ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ, মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অতএব, শিক্ষার্থীদের মন্তব্য যথার্থ ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি পরীক্ষণে শিক্ষার্থীরা একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা টস করে-জানালো যে, মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

Dhaka · 2025

ক

নমুনা বিন্দুর সংজ্ঞা লেখ।

উত্তর

নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি ফলাফল বা উপাদানকে নমুনা বিন্দু বলে।

খ

"স্বাধীন ঘটনা অবর্জনশীল হয়"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দুটি স্বাধীন ঘটনা সর্বদা অবর্জনশীল হয়। ব্যাখ্যা : মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা যেন $\mathrm{P}(\mathrm{A}) \neq 0$; এবং $\mathrm{P}(\mathrm{B}) \neq 0$. এখন, $A$ ও $B$ ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$ হবে। যেহেতু $P(A) \neq 0$ এবং $P(B) \neq 0$ $\therefore P(A \cap B) \neq 0$ $\ldots.. (i)$ আবার, $A$ ও $B$ ঘটনা দুটি অবর্জনশীল হলে, $A \cap B \neq \varnothing$ $\therefore P(A \cap B) \neq 0$

$$\ldots.. (ii) (i)$$

ও (ii) নং সমীকরণ হতে দেখা যাছে যে, দুটি মাধীন ঘটনা সর্বদা অবর্জনশীল হয়। অর্থাৎ, মাধীন ঘটনা অবর্জনশীল হয়।

গ

মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা টস পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র S হলো নিম্নরূপ: $\therefore$ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S)=2^1 \times 6^1=2 \times 6=12$টি ধরি, $A=$ মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। A ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : H1, H3, H5 $\therefore n(A)=3$ $\therefore P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ $\therefore$ মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা, $\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{4^{\prime}}$

ঘ

শিক্ষার্থীদের মন্তব্যের যথার্থতা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর

মনে করি, $\mathrm{B}=$ মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা এবং $\mathrm{C}=$ ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : T1, T2, T3, T4, T5, T6 $\therefore n(B)=6$ $\therefore P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ আবার, C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : H2, H4, H6, T2, T4, T6 $\therefore n(C)=6$ $\therefore P(C)=\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ এখানে, B ও C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : T2, T4, T6 $\therefore n(B \cap C)=3$ $\therefore P(B \cap C)=\frac{n(B \cap C)}{n(S)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ এখন, B ও C ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হবে যদি $\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})$ হয়। এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ এবং $\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\frac{1}{4}$ $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{~B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{~B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})$ $\therefore$ A ও B ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ, মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অতএব, শিক্ষার্থীদের মন্তব্য যথার্থ ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক

নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?

উত্তর

কোনো দৈব পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে।

খ

$P(B)+P(\bar{B})=1$ ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

$\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1$ ব্যাখ্যা: মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে একটি ঘটনা। নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা, $n (S) = n$ B ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n (B) = m$ তাহলে B ঘটনার প্রতিকূল উপাদান সংখ্যা, $n(\bar{B})=n-m$ $\therefore P(B)=\frac{m}{n}$ $P(\bar{B})=\frac{n-m}{n}[\because P(\bar{B})=B$ ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ] $\therefore P(B)+P(\bar{B})=\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n}$ $=\frac{m+n-m}{n}=\frac{n}{n}=1 .$

গ

কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

পাত্রে সবুজ বল = 7 টি পাত্রে সাদা বল = ১ টি পাত্রে মোট বল = 12 টি পাত্র হতে নিলু দুটি বল মোট = ${ }^{12} \mathrm{C}_2$ = 66টি উপায়ে নির্বাচন করতে পারবে। $\therefore$ কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = P (কমপক্ষে একটি বল সবুজ) = P (একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা অথবা দুটি বল সবুজ) = P (একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা) + P (দুটি বল সবুজ) $=\frac{{ }^7 C_1 \times{ }^5 C_1}{{ }^{12} C_2}+\frac{{ }^7 C_2}{{ }^{12} C_2}=\frac{7 \times 5}{66}+\frac{21}{66}$ $=\frac{35}{66}+\frac{21}{66}=\frac{35+21}{66}=\frac{56}{66}=\frac{28}{33}$ সুতরাং, কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{28}{33}$.

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

যে মনে করি, A = বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা এবং B = বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{A})$ = P [বলদ্বয় একই রঙের। = P [বলদ্বয় সবুজ অথবা বলদ্বয় সাদা। = P [বলদ্বয় সবুজ] + P [বলদ্বয় সাদা] $=\frac{{ }^7 C_2}{{ }^{12} C_2}+\frac{{ }^5 C_2}{{ }^{12} C_2}=\frac{21}{66}+\frac{10}{66}=\frac{21+10}{66}=\frac{31}{66}$ এবং, P(B) = P [বলদ্বয় ভিন্ন রঙের। = P [একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা] $=\frac{{ }^7 C_1 \times{ }^5 C_1}{{ }^{12} C_2}=\frac{7 \times 5}{66}=\frac{35}{66}$ এখন, A ও B ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা হবে, যদি $\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$ হয়। এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{31}{66}+\frac{35}{66}=\frac{31+35}{66}=\frac{66}{66}=1$ সুতরাং, A ও B ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা। অর্থাৎ, বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা এবং ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

Jessore · 2025

ক

নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?

উত্তর

কোনো দৈব পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে।

খ

$P(B)+P(\bar{B})=1$ ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

$\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1$ ব্যাখ্যা: মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে একটি ঘটনা। নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা, $n (S) = n$ B ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n (B) = m$ তাহলে B ঘটনার প্রতিকূল উপাদান সংখ্যা, $n(\bar{B})=n-m$ $\therefore P(B)=\frac{m}{n}$ $P(\bar{B})=\frac{n-m}{n}[\because P(\bar{B})=B$ ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ] $\therefore P(B)+P(\bar{B})=\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n}$ $=\frac{m+n-m}{n}=\frac{n}{n}=1 .$

গ

কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

পাত্রে সবুজ বল = 7 টি পাত্রে সাদা বল = ১ টি পাত্রে মোট বল = 12 টি পাত্র হতে নিলু দুটি বল মোট = ${ }^{12} \mathrm{C}_2$ = 66টি উপায়ে নির্বাচন করতে পারবে। $\therefore$ কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = P (কমপক্ষে একটি বল সবুজ) = P (একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা অথবা দুটি বল সবুজ) = P (একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা) + P (দুটি বল সবুজ) $=\frac{{ }^7 C_1 \times{ }^5 C_1}{{ }^{12} C_2}+\frac{{ }^7 C_2}{{ }^{12} C_2}=\frac{7 \times 5}{66}+\frac{21}{66}$ $=\frac{35}{66}+\frac{21}{66}=\frac{35+21}{66}=\frac{56}{66}=\frac{28}{33}$ সুতরাং, কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{28}{33}$.

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

যে মনে করি, A = বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা এবং B = বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{A})$ = P [বলদ্বয় একই রঙের। = P [বলদ্বয় সবুজ অথবা বলদ্বয় সাদা। = P [বলদ্বয় সবুজ] + P [বলদ্বয় সাদা] $=\frac{{ }^7 C_2}{{ }^{12} C_2}+\frac{{ }^5 C_2}{{ }^{12} C_2}=\frac{21}{66}+\frac{10}{66}=\frac{21+10}{66}=\frac{31}{66}$ এবং, P(B) = P [বলদ্বয় ভিন্ন রঙের। = P [একটি বল সবুজ এবং একটি বল সাদা] $=\frac{{ }^7 C_1 \times{ }^5 C_1}{{ }^{12} C_2}=\frac{7 \times 5}{66}=\frac{35}{66}$ এখন, A ও B ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা হবে, যদি $\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$ হয়। এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{31}{66}+\frac{35}{66}=\frac{31+35}{66}=\frac{66}{66}=1$ সুতরাং, A ও B ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা। অর্থাৎ, বলদ্বয় একই রঙের হওয়ার ঘটনা এবং ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলো। সে বললো মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনান্বয় স্বাধীন।

Jessore · 2025

ক

পরীক্ষণের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কতকগুলো নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোনো একটি কাজ বা চেষ্টা পুনরাবৃত্তি করা হলে সেটিকে পরীক্ষা বা পরীক্ষণ বলে।

খ

"সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান এক"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1 দ্বারা বুঝায় ঘটনাটি নিশ্চিত ঘটনা। যে -ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। আর নিশ্চিত ঘটনার অনুকূলে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা এবং নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা সর্বদাই সমান হয়। অর্থাৎ, P (নিশ্চিত ঘটনা) = 1। আমরা জানি, সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ, সম্ভাবনার সর্বনিম্ন মান 0 এবং সর্বোচ্চ মান 1। অতএব, সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1।

গ

উদ্দীপক হতে মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরা যাক, $\mathrm{A}=$ মুদ্রার বিপরীত পিঠ পাওয়ার ঘটনা। A ঘটনার অনুকুল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HT1, HT2, HT3, HT4, HT5, HT6, TH1, TH2, TH3, TH4, TH5, TH6 $\therefore n(A)=12$ $\therefore P$ (মুদ্রায় বিপরীত শিঠ পাওয়ার) $=P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ সুতরাং মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা = $=\frac{1}{2}$. টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S হবে নিম্নরূপ: $\therefore$ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S)=24$ টি।

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

ধরা যাক, B = মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা এবং C = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, TT1, TT2, TT3, TT4, TT5, TT6 $\therefore n(B)=12$ $\therefore \mathrm{P}$ (মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার) $=\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH1, HH3, HH5, HT1, HT3, HT5, TH1, TH3, TH5, TT1, TT3, TT5 $\therefore n(C)=12$ $\therefore P$ (ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার) $=P(C)=\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ এখানে, $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$ এর অনুকৃল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH1, HH3, HH5, TT1, TT3, TT5 $\therefore n(B \cap C)=6$ $\therefore P(B \cap C)=\frac{n(B \cap C)}{n(S)}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$ এখন, $B$ ও $C$ ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে, যদি $P(B \cap C)=P(B) \times P(C)$ হয়। এখানে, $P(B) \times P(C)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(B \cap C)$ সুতরাং, B ও C ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ, মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলো। সে বললো মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনান্বয় স্বাধীন।

Jessore · 2025

ক

পরীক্ষণের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কতকগুলো নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোনো একটি কাজ বা চেষ্টা পুনরাবৃত্তি করা হলে সেটিকে পরীক্ষা বা পরীক্ষণ বলে।

খ

"সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান এক"- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1 দ্বারা বুঝায় ঘটনাটি নিশ্চিত ঘটনা। যে -ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। আর নিশ্চিত ঘটনার অনুকূলে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা এবং নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা সর্বদাই সমান হয়। অর্থাৎ, P (নিশ্চিত ঘটনা) = 1। আমরা জানি, সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ, সম্ভাবনার সর্বনিম্ন মান 0 এবং সর্বোচ্চ মান 1। অতএব, সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1।

গ

উদ্দীপক হতে মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরা যাক, $\mathrm{A}=$ মুদ্রার বিপরীত পিঠ পাওয়ার ঘটনা। A ঘটনার অনুকুল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HT1, HT2, HT3, HT4, HT5, HT6, TH1, TH2, TH3, TH4, TH5, TH6 $\therefore n(A)=12$ $\therefore P$ (মুদ্রায় বিপরীত শিঠ পাওয়ার) $=P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ সুতরাং মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা = $=\frac{1}{2}$. টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S হবে নিম্নরূপ: $\therefore$ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S)=24$ টি।

ঘ

উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

ধরা যাক, B = মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা এবং C = ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, TT1, TT2, TT3, TT4, TT5, TT6 $\therefore n(B)=12$ $\therefore \mathrm{P}$ (মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার) $=\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH1, HH3, HH5, HT1, HT3, HT5, TH1, TH3, TH5, TT1, TT3, TT5 $\therefore n(C)=12$ $\therefore P$ (ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার) $=P(C)=\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$ এখানে, $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$ এর অনুকৃল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH1, HH3, HH5, TT1, TT3, TT5 $\therefore n(B \cap C)=6$ $\therefore P(B \cap C)=\frac{n(B \cap C)}{n(S)}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$ এখন, $B$ ও $C$ ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে, যদি $P(B \cap C)=P(B) \times P(C)$ হয়। এখানে, $P(B) \times P(C)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(B \cap C)$ সুতরাং, B ও C ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অর্থাৎ, মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো